Векторная алгебра (работа 1)
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:
a+b=b+a (коммутативность)
(а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)
a + 0=a (наличие нулевого элемента )
a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),
где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a.
Произведением lx вектора а на число l в случае l¹0, а¹О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l<0. Если l=0 или (и) a =0, то la=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами:
l*(a+b)= l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения векторов)
(l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел)
l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность)
1*a=a (умножение на единицу)
Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство).
В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы а, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b,…, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:
aa+bb+…gc=0. (1)
Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов а, b, ...,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a,b, ..,с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b,…, g равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.
Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e>1>,e>2>,e>3> трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:
a=a>1>e>1>+a>2>e>2>+a>3>e>3>.
Числа a>1>,a>2>,a>3> называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a>1>,a>2>,a>3>}.
Два вектора a={a>1>,a>2>,a>3>} и b={b>1>,b>2>,b>3>} равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a>1>,a>2>,a>3>} и b={b>1>,b>2>,b>3>} ,b¹0, является пропорциональность их соответствующих координат: a>1>=lb>1>,a>2>=lb>2>,a>3>=lb>3>>.> Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a>1>,a>2>,a>3>} , b={b>1>,b>2>,b>3>} и c={c>1>,c>2>,c>3>} является равенство :
| a>1> a>2> a>3 >|
| b>1> b>2> b>3>| = 0
| c>1> c>2> c>3 > |
Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов a={a>1>,a>2>,a>3>} и b={b>1>,b>2>,b>3>} равны суммам соответствующих координат: a+b={a>1>+b>1>,a>2>+b>2>,a>3>+b>3>}. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l :
lа= {lа>1>,la>2>, la>3>}.
Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:
(а, b) = | а |*| b | cosj.
За j принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:
(a, b)= (b, а) (коммутативность),
(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивность относительно сложения векторов),
l(a,b)=( la,b) =(a,l6) (сочетательность относительно умножения на число),
(a,b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.
Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т.е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов :
a={a>1>,a>2>,a>3>} и b={b>1>,b>2>,b>3>}
заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:
(a,b)=a>1>b>1>+a>2>b>2>+a>3>b>3>
Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a>1>,a>2>,a>3>} и b={b>1>,b>2>,b>3>}
может быть вычислен по формуле:
>
>
где
>
>
и >
>>
>
Косинусы углов вектора a={a>1>,a>2>,a>3>} с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:
>
>
,
>
>
, >
>.
Направляющие косинусы обладают следующим свойством:
cos2a+cos2b+cos2g=1
Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. >е> а вектора a на ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:
Пр. >е> (a+b)= Пр. >е> a+ Пр. >е> b (аддитивность),
Пр. >е> a = Пр. >е> la (однородность).
Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.
В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
b
b
c
c
a a
правило левой руки правило правой руки
Ниже тройку векторов i,j,k следует считать правой .
Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k:
aVb=| a || b |*sinj
Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:
aVb=-bVa (антикоммутативность),
aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов),
l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число),
aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.
Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a>1>,a>2>} {b>1>,b>2>}, то :
aVb=a>1>b>1>-a>2>b>2.>