Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта (работа 2)

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

Работу выполнил студент гр.И-29 Уханов Е.В.

Кафедра “Системы и Процессы Управления”

“ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”

Харьков 2001

ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях науки и техники , а также отраслях наукоемкой промышленности , таких как : авиационная , космическая , химическая , энергетическая , - являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией .

Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса-Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. При этом , стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени . Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования .

Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей .

Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :

(1.1)

тогда как :

А = (1.2)

где А заданная матрица размером N x N .

- вектор с N координатами , который подлежит определению ;

N – произвольное целое число ;

заданные вектора правых частей с N координатами .

С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом , на заданных временных промежутках ..

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

2.1. Метод прогноза и коррекции

Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши , а именно к численным решениям многошаговыми методами .

Рассмотрим задачу Коши :

, (2.1.1)

Подставим в (2.1.1) точное решение y(x) , и проинтегрируем это уравнение на отрезке , тогда получим :

(2.1.2)

где в последнем член предполагаем , что p(x) полином , аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином , предположим , что - приближения к решению в точках . Будем считать для начала , что узлы Xi расположены равномерно с шагом h . тогда fi = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2,…,k-N) есть приближения к f (x,y(x)) в точках и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi) ,

( i =k,k-1,k-2,…,k-N) . Таким образом , P – полином степени N , удовлетворяющий условиям P(xi)=fi , ( i = k,k-1,k-2,…,k-N) . В принципе , можем проинтегрировать этот полином явно , что ведет к следующему методу :

(2.1.3)

В простейшем случае , когда N=0 , полином P есть константа , равная fk , и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера :

(2.1.4)

Если N=1 , то P есть линейная функция , проходящая через точки

(xk-1,fk-1) и (xk,fk) , т.е.

(2.1.5)

интегрируя этот полином от Xk до Xk+1 , получим следующий метод :

(2.1.6)

который является двухшаговым , поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1 . Аналогично , если N=2 , то P - есть кубический интерполяционный полином , а соответствующий метод определяется формулой :

(2.1.7)

Отметим , что метод (2.1.6) – есть метод Адамса-Башфорта второго порядка , (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядка .

Для стартования метода (2.1.7) необходимы сведения о четырех предыдущих точках . Соответственно данный метод требует вычисления стартующих данных . Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера , который имеет вид :

Таким образом , подставляя начальные условия, мы находим вторую точку . Следует заметить , что степень точности совпадает со степенью точности остальных методов , что является существенным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции .

Ввиду того , что стартовые методы имеют более низкий порядок , в начале приходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежутка времени . В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования не оправдывает себя . Для этих целей воспользуемся трехшаговым методом прогноза и коррекции с переменным шагом .

Рассуждая также , как для метода Адамса-Башфорта , который излагается в работах : [1],[2],[3] , мы мы приходим к формулам :

Прогноз :

(2.1.8)

Коррекция :

(2.1.9)

где h - шаг интегрирования , изменяющийся на малом промежутке времени в соответствии с условиями Рунге :

,

где в свою очередь - малое конкретное значение , при невыполнении условия которого увеличивается шаг h=h*N а - малое конкретное значение , при невыполнении условия шаг соответственно уменьшается h=h/N , где N - некоторое целое число больше единицы .

Оптимально , для вычисления новой точки , с помощью метода прогноза и коррекции , используется формула :

(2.1.10)

Таким образом, мы воспользовались простым трех шаговым методом прогноза и коррекции , для стартования метода Адамса-Башфорта . Преимущества данного метода заключаются :в его высокой точности , авто подборе шага , что во много раз повышает точность самого метода Адамса-Башфорта , и делает его оптимальным для задач такого рода .

Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанные значения в точке Xk и в предыдущих точках . В принципе , при построении интерполяционного полинома , мы можем использовать и точки Xk+1,Xk+2,… . Простейший случай при этом состаит в использовании точек Xk+1,Xk,…,Xk-N

и построения интерполяционного полинома степени N+1 , удовлетворяющего условиям P(Xi)=fi , (I=k+1,k,…,k-N) . При этом возникает класс методов , известных как методы Адамса-Моултона . Если N=0 , то p – линейная функция , проходящая через точки (Xk,fk) и (Xk+1,f k+1) , и соответствующий метод :

(2.1.11)

является методом Адаиса-Моултона [2] , именно им мы воспользовались в формуле (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки в трех шаговом методе . Если N=2 , то p – кубический полином , построенный по точкам и соответствующий метод :

(2.1.12)

является методом Адамса-Моултона четвертого порядка . В силу того , что по сути fk+1 – неизвестная , то методы Адамса-Моултона (2.1.11),(2.1.12) называют неявными . В тоже время методы Адамса-Башфорта – называют явными .

Теперь воспользовавшись явной формулой (2.1.7) , и неявной формулой (2.1.12) , используя их совместно , мы приходим к методу Адамса-Башфорта четвертого порядка :

(2.1.13)

Стоит обратить внимание , что в целом этод метод является явным . Сначало по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение , являющееся “прогнозом” . Затем используется для вычисления приближенного значения , которое в свою очередь используется в формуле Адамса-Моултона . Таким образом формула Адамса-Моултона “корректирует” корректирует приближение , называемое формулой Адамса-Башфорта .

Теперь рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :

где

A =

Заданная матрица размером NxN ; - вектор с N координатами , который подлежит определению . В связи с тем , что связь между искомыми неизвестными определяется матрицей коэффициентов A , на каждом шаге по времени , необходимо решить систему относительно неизвестных скоростей , для её решения воспользуемся модифицированным методом Гаусса , который описан в разделе 2.2 .

Далее, интегрируя сначала ранее описанными методами : методом Эйлера на первом шаге , трех точечным методом прогноза и коррекции с авто подбором шага , на малом промежутке времени и с малым начальным шагом , для повышения точности стартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование с постоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта (2.1.13) , [2] , [3] .

2.2 Модифицированный метод Гаусса

Как типичный пример решения систем линейных дифференциальных уравнений , рассмотрим систему четырех линейных алгебраических уравнений .

Для решения системы четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными модифицированным методом Гаусса необходимо

Составить систему : (2.2.1)

1) Каждое уравнение делиться на коэффициент при X1

2) Теперь образуем нули в первом столбце матрицы системы : вычитаем 2-ое

из 1-ого , 3-е из 2-ого , 4-ое из 3-его :

(2.2.2)

3) Повторив еще раз эти операции получим систему двух уравнений с двумя неизвестными , решение которой можно получить по формулам Крамера :

(2.2.3)

Решение же X1 и X2 можно получить , подставив в какое-либо из уравнений систем (2.2.1) и (2.2.2) и разрешив эти уравнения относительно соответствующей переменной .

3. ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА

Программа начинается с вывода сообщения о программе . После происходит считывание необходимых исходных данных из файла , для дальнейшей работоспособности алгоритма , а именно – начальных условий и матрицы коэффициентов системы линейных дифференциальных уравнений первого рода , начального шага интегрирования , левого и правого условий Рунге , время интегрирования по трех шаговому методу прогноза и коррекции , время интегрирования по пяти точечному методу Адамса-Башфорта .

С помощью метода Эйлера находим дополнительные начальные условия. Решение систем линейных дифференциальных уравнений мы описываем отдельной процедурой , что облегчает дальнейшую алгоритмизацию .

Далее составляем цикл , для реализации алгоритма нахождения всех Yk+1 точек на заданном малом промежутке времени , и проверкой на условия Рунге , по трех шаговому методу прогноза и коррекции с авто подбором шага . После чего мы организовываем цикл , реализующий алгоритм нахождения точек по методу Адамса-Башфота , на заданном большом промежутке времени и с шагом автоматически подобранным предыдущим методом .

Вычисленные данные записываем файл , по ним формируем массив данных , которые выводим в сответствии с масштабированием на экран в виде графиков .

Блок-схема приведена в Приложении 1 .

4.ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ

Программа реализующая универсальный алгоритм для решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка произвольного вида , - построена по принципам объектно-ориентированного программирования .Основная программа построена на объектной библиотеке VFH , реализующей возможности реализации гибкого интерфейса между программой и пользователем .

Основная программа включает в себя только один модуль PACM , и использует всего два метода объекта TApplPandC , - метод Application - рабочий цикл программы ; деструктор Done – реализует разрушение таблицы виртуальных методов , и операций , связанных с завершением программы .

Модуль PACM включает в себя модули библиотек - реализующих построение интерфейса . Модуль реализующий алгоритм метода Адамса-Башфорта , и по вычесленным данным строящий график , есть – PACMBtn .

Главным родителем всех объектов есть объект – Tobject . Основным рабочим объектом библиотеки VFH есть объект Tform . Рассмотрим потомка являющегося типичным представителем родителя TForm - TApplPandC . Он имеет два виртуалых метода : MouseHandler : Boolean Б – выходным параметром которого есть признак закрытия формы , и метод FormCreate - реализующий построение интерфейса формы . Не виртуальный метод Application - предназначен для создания формы , конфигурирования программной среды , и дальнейшего управления программой .

Модуль реализующий создание и управления главного и субменю , есть – PACMMenu , позволяющий пользователю изменять параметры и настройки системы , предоставляющий справку о разработчике , а также дает доступ к справочной системе PrandCo M Help System . Данные свойства меню реализуют объекты TMenu , и THelpForm , объектной библиотеки VFH .

Теперь рассмотрим модуль PACMBtn – рреализующий алгоритм построения вычисленных данных . Процедура реализующая алгоритм пяти точечного метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта , - MethodAdamsaBashforta ( h,tp,ta : real ; NU : array[1..N] of real ) – параметры которой представляют : h - начальный шаг интегрирования ; tp – время интегрирования трех точечным методом прогноза и коррекции , ta – время интегрирования по методу Адамса-Башфорта , NU – массив начальных условий . Данная процедура способна производить решения систем линейных дифференциальных уравнений произвольного размера , на произвольном промежутке времени интегрирования . Вычисленные данные записываются в файлы prandcom*.df . Метод реализующий алгоритм построения вычисленных данных произвольной степени сложности , с возможностью построения графиков с не линейно изменяющимся шагом , построения одновременно любого количества графиков , - есть объект TCartFile , обладающего всеми свойствами родителей Tform , Tchart .

К заключению стоит заметить , что программа PrandCo M version 2.41 - разработана на языке Borland Pascal под защищенный режим работы процессора и имеет доступ ко всей оперативной памяти компьютера . Реализует гибкий интерфейс , облегчающим работу с программным обеспечением . Позволяет решить систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Адамса-Башфорта , с возможность просмотра результатов вычисления в виде графиков .

Как показали тестовые программы – разработанный алгоритм предоставляет точность вычислений , погрешность которых не превышает 1% .

Тексты программной оболочки PrandCo M version 2.41 приведены в приложении 4 .

5. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ

Для анализа достоверности получаемых результатов рассмотрим следующие примеры :

5.1.Решение одного дифференциального уравнения

Первым этапом анализа достоверности была проверка правильности решения одного дифференциального уравнения . Полученное численное решение сравнивается с аналитическим .

Пусть требуется решить уравнение :

при начальном условии y(0)=1 , 0<=x<=1 , и шаге интегрирования h=0.1 . Это линейное уравнение , имеющее следующее точное решение :

которое поможет нам сравнить точность численного решения для случая с постоянным шагом , т.к. точность решений с переменным шагом выше . Результаты расчета представлены в Таблице 1 .Как видно из таблицы, отличие между численными и аналитическими решениями удовлетворительное даже для такого большого шага , и не превышает 2% . Теперь решим этот же пример тем же методом , но с переменным шагом . Получаем любопытные зависимости точности от выбора шага , а также шага сходимости , - которые носят периодический характер . Результаты исследования приведены в таблице 2 . Как мы видим, погрешность резко уменьшается с использованием метода с переменным шагом , и показывает очень высокую точность решения для численных методов , не превышающею 1% .

Таблица 2

Таблица 2

Начальный шаг	Максимальная погрешность	Сведение к шагу
0.1	1.683 %	0.0250
0.01	1.163 %	0.0100
0.001	0.744 %	0.0040
0.0001	0.568 %	0.0032
0.00001	0.451 %	0.0025
0.000001	0.723 %	0.0040
0.0000001	0.578 %	0.0032
0.00000001	0.462 %	0.0026
0.000000001	0.740 %	0.0041
0.0000000001	0.592 %	0.0033
0.00000000001	0.473 %	0.0026

Иллюстрация решения данного дифференциального уравнения в виде графика – приведена в Приложении 2 .

5.2.Решение системы дифференциальных уравнений

Вторым этапом анализа достоверности полученных результатов была проверка правильности решения системы линейных дифференциальных уравнений с аналитическим решением .

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений , которую требуется решить методом Адамса-Башфорта :

Начальными условиями здесь являются :

. Возьмем начальный шаг интегрирования h=0.00001 , время интегрирования по трех точечному методу прогноза и коррекции tp=0.1 и время интегрирования по методу Адамса-Башфорта ta=1 .

Результаты исследования для разных начальных шагов интегрирования приведены в таблице 2 . Мы приходим к выводу , что точность решения одного уравнения и системы дифференциальных уравнений совпадают .

Иллюстрация решения данной системы дифференциальных уравнений приведены в виде графика в приложении 3 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой научно-исследовательской работе разработан алгоритм и программа решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .

Проведены тестовые расчеты , подтвердившие высокую эффективность и точность метода Адамса-Башфорта со стартованием трех точечным методом прогноза и коррекции с переменным шагом .

Проведены ряд исследований решения систем как с постоянным шагом , так и с переменным шагом на сходимость к постоянному шагу .

Во всех случаях получены результаты высокой точности .

Список литературы

1.Дж.Ортега , У.Пул “Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений ”. Пер.с англ.; под редакцией А.А.Абрамова - М.;Наука.Гл.ред.физ.мат.лит.1986.-288с.

2.Р.В.Хемминг “Численные методы для научных работников инженеров ”: Пер с англ.:Под редакцией Р.С.Гутера.- Гл.ред.физ.мат.лит.1968.-203 с.

Т.Шуп.”Решение инженерных задач наЭВМ. Практическое пособие “

Пер.с англ.-М.Мир.1982.-238с.

Приложение 1 :

Блок схема Алгоритма

-

+

-

+

Приложение 2:

Решение одного дифференциального уравнения

Приложение 3 :

Решение системы линейных дифференциальных уравнений

1-ое уравнение 2 –ое уравнение

3 – е уравнение 4 –ое уравнение

Приложение 4 : Тексты программ

{

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

| PrandCoM version 2.41 Copiright ( c ) 2001 |

| Программа разработана студентом |

| Национального Технического Университета |

| " Харьковский Политехнический Институ " |

| группы И - 29 |

| Кафедры Автоматического Управления Движением |

| ( Системы и процессы управления ) |

| Ухановым Е.В. |

| NetMail ( FidoNet ) 2:461/212.21 |

| E-Mail : JVUMailbox@rambler.ru |

| |

| Программа разработана на основе объектной библиотеки VFH version 4.XX |

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

}

{$M 10000,0,0}

(****************************************************************************)

(****** Дата последней разработки : 05.05.2001 **********************)

(****************************************************************************)

Program Prognoz_and_Correction_Modification;

(****************************************************************************)

Uses PACM;

(****************************************************************************)

var

TPC : TApplPandC;

(****************************************************************************)

(******************************) begin (*************************************)

TPC.Application;

TPC.Done;

(*******************************) end. (*************************************)

(****************************************************************************)

{

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

| Версия 2.XX |

| Программа разработана студентом Национального Технического |

| Университета " Харьковский Политехнический Институ " группы И - 29 |

| Кафедры Автоматического Управления Движением - Ухановым Е.В. |

| NetMail ( FidoNet ) 2:461/212.21 |

| E-Mail : jvumailbox@rambler.ru |

| |

| Программа разработана на основе объектной библиотеки VFH version 4.XX |

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

}

(****************************************************************************)

(**** Дата последней разработки модуля : 15.04.2001 *****************)

(****************************************************************************)

(****************************************************************************)

(*******************************) Unit PACM; (*******************************)

(****************************************************************************)

(*******************************) INTERFACE (********************************)

(****************************************************************************)

Uses FormObj,MouseObj,PACMEr,PACMMenu,PACMBtn,PACMPnl,PACMPC,PACMCnst;

(****************************************************************************)

type

TApplPandC = object ( TForm )

Function MouseHandler : boolean;Virtual;

Procedure FormCreate;Virtual;

Procedure Application;

end;

(****************************************************************************)

(******************************) IMPLEMENTATION (****************************)

(****************************************************************************)

Procedure TApplPandC.FormCreate;

var

Pnl : TPanel;

Pnl1 : TPanel;

TMenu1 : TCreateMenus;

begin

Pnl.Init(548,35,619,50,1,7,1,1,1,1,false,false);

Pnl.Panel;

Pnl1.Init(470,407,630,460,1,7,1,0,1,4,true,false);

Pnl1.Panel;

TPnl1.ToolBarCreate;

TPnl1.PanelCreate;

TPageControl1.PageControlCreater;

TBitBtns.BitBtnCreaters;

TMenu1.MenusCreate;

end;

(********************************)

Function TApplPandC.MouseHandler;

var

TMouse1 : TMouse;

b,x,y : word;

TMenu1 : TCreateMenus;

Tsub>Menu1 : TCreateMenus;

ST1 : TSystemTime;

begin

MouseHandler:=false;

TMouse1.GetMouseState(b,x,y);

ST1.Init(549,36,618,49,1,15);

ST1.SystemTime;

TBitBtns.BitBtnHandlers(b,x,y);

MouseHandler:=fExitBtn;

TMenu1.MenusVisible(x,y);

TMenu1.MenusHandlers(b,x,y);

TPageControl1.PageControlHandlers(b,x,y);

end;

Procedure TApplPandC.Application;

var

TIEr : TInitErrors;

begin

TIEr.FatalErrorVFH;

TIEr.LoadFont('km_defj8.fnt');

TIEr.FindImEr1('x.bi');

InitObjGraph;

if InitMouseJVU then

begin

TIEr.LfLoad('Lf.sys');

TIEr.ErrorExec('x.bi');

TIEr.FindFile('f1.dat');

TIEr.FindFile('f2.dat');

TIEr.FindFile('f3.dat');

TIEr.FindFile('f4.dat');

TIEr.FindFile('km_defj8.fnt');

TIEr.FindFile('f_nfrj8.fnt');

TIEr.FindFile('t_nfrj8.fnt');

TIEr.FindFile('asdf.bi');

TIEr.FindFile('pacm_n1.bi');

TIEr.FindFile('pacm_n2.bi');

TIEr.FindFile('pacm_n3.bi');

TIEr.FindFile('pacm_n4.bi');

TIEr.FindFile('PrandCoM.hlp');

TIEr.FindFile('litj.chr');

TIEr.FindFile('scri.chr');

TIEr.FindFile('trip.chr');

TIEr.FindFile('tscr.chr');

TIEr.FindFile('initm.mtr');

TIEr.FindFile('initnu.mtr');

if not fQuickHalt then

begin

TIEr.LoadCFG('PrandCom.cfg');

With HT do

begin

hx1:=575;

hy1:=20;

hx2:=637;

hy2:=34;

hc:=true;

hs:='Закрыть';

end;

Init(1,1,639,479,7,1,'Prognoz & Corrections Modifications');

Form;

end;

end

else

begin

TIEr.ErrorVFH;

end;

end;

(****************************************************************************)

(***********************************) END. (*********************************)

(****************************************************************************)