Частные случаи дифференциальных уравнений
1.ВВЕДЕНИЕ
2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.
Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:
>>
=>>
(1)
При такой записи коэффициенты k,k>1>,...,k>n> называют коэффициентами передачи, а T>1>,...,T>n> - постоянными времени данного звена.
Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.
Размерности коэффициентов передачи определяются как
размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)
размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)
Постоянными времени T>1>,...,T>n> имеют размерность времени.
Вторая форма
записи.
Считая условно оператор дифференцирования
p=>>
алгебраической величиной, произведем
замену в уравнении (1):
>>
=>>
>>
=>>
(2)
2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА
Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):
y(t)=>>=
=>>=
=W>1>(s)+W>2>(s)+...+W>n>(s)
Здесь W>1>(s),W>2>(s),...,W>n>(s) - передаточные функции.
При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.
2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА
Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.
Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:
w(t)=>>
2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw.
Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование
W(j)=>>.
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
W(jw)=U(w)+jV(w)
где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части.
W(jw)=A(w)>>,
где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,j(w) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:
A(w)=½W(jw)½
АЧХ строят для всео диапазона частот -¥<w<+¥, т.к. модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты.
Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика (ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:
j(w)=argW(jw)
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ
4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ
Позиционные звенья
- это такие звенья , в которых выходная
и входная величины в установившемся
режиме связаны линейной зависимостью
y(t)=kg(t).Соответственно, переходная функция
будет иметь вид W(s)=k>>,
где N(s), L(s) - многочлены.
4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>o>y(t)=b>o>g(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>o>=2
b>o>=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a>o>:
y(t)=>>g(t)
y(t)=kg(t) (2),
где k=>>-коэффициент
передачи.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s)
W(s)=k (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда
h(t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)=>>=kd(t)
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2×1(t)
w(t)=2×d(t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=k
W(jw)=k (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=k
V(w)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A(w)=2
j(w)=0
L(w)=20lg2
U(w)=2
V(w)=0
Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор, делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь влиянием динамических процессов.
4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>o>y(t)=b>o>g(t-t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>o>=2
b>o>=4
t=0,1с
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a>o>:
y(t)= >
>g(t-t)
y(t)=kg(t-t) (2),
где k=>>-коэффициент
передачи.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p= >
>.Получим:
y(t)=kg(t-t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t-t)=G(s)e-ts
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s) e-ts
W(s)= ke-ts (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда
h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)=>>=kd(t-t)
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2×1(t-t)
w(t)=2×d(t-t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и запаздыванием на t=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же запаздыванием, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=k e-ts
W(jw)=k e-jwt =k(costw-jsintw) (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=k costw
V(w)=-ksintw
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)= tw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
A(w)=2
j(w)=0,1w
L(w)=20lg2
U(w)=2cos0,1w
V(w)=-2sin0,1w
Вывод:
4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>1
>>
>+>
>a>o>y(t)
=b>o>g(t)
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>1>=1,24> >
a>o>=2
b>o>=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
>>>
>+y(t)=>
>g(t)
T>1
>>
>+y(t)=kg(t)
(2),
где k=>>-коэффициент
передачи,
T>1>=>>-постоянная
времени.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
(T>1 >p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
>>=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T>1 >sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=>
>=>
>>
>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k>>×1(t)
(5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=>>
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1
W(s)=>>=
>
>
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=>>
e>
>
×1(t)
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T>1 >=0.62
h(t)=2>>
×1(t)
w(t)=3.2e>>×1(t)
Переходная функция
представляет собой экспоненту. Множитель
1(t) указывает ,что экспонента рассматривается
только для положительного времени t>0.
Функция веса - также экспонента, но со
скачком в точке t=0 на величину>>.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)= >
>
W(jw)=>>
(7)
W(jw)=U(w)+jV(w)=>>=>
>-j>
>
U(w)=>>
V(w)=>>
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>=>
>
(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgk
- arctg>>
j(w)=-arctgT>1> (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg>>
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T>1 >=0.62
A(w)=
j(w)=arctg0.62w
L(w)=20lg
U(w)=
V(w)=
4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>1
>>
>->
>a>o>y(t)
=b>o>g(t)
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>1>=1,24> >
a>o>=2
b>o>=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
>>>
>-y(t)=>
>g(t)
T>
>>
>-y(t)=kg(t)
(2),
где k=>>-коэффициент
передачи,
T=>>-постоянная
времени.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
(T> >p-1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s) >
>
>>=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T> >sY(s)-Y(s)=kG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=>
>=>
>>
>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k>>×1(t)
(5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=>>
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1
W(s)=>>=
>
>
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=>>
e>
>
×1(t)
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
k=2
T> >=0.62
h(t)=2>>
×1(t)
w(t)=3.2e>>×1(t)
Переходная функция
представляет собой экспоненту. Множитель
1(t) указывает ,что экспонента рассматривается
только для положительного времени t>0.
Функция веса - также экспонента, но со
скачком в точке t=0 на величину>>.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)= >
>
W(jw)=>>
(7)
W(jw)=>>=>
>j>
>=U(w)+jV(w)
U(w)=>>
V(w)=>>
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>=>
>
(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgk
- arctg>>
j(w)=-arctg(-Tw) (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg>>
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
k=2
T> >=0.62
A(w)=
j(w)=-arctg(-0.62w)
L(w)=20lg
U(w)=
V(w)=
4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>2>>>+a>1
>>
>+>
>a>o>y(t)
=b>o>g(t)
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>2>=0,588
a>1>=50,4
a>o>=120
b>o>=312
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
>>>
>+>
>>
>+y(t)=>
>g(t)
>>>
>+T>1
>>
>+y(t)=kg(t)
(2),
где k=>>-коэффициент
передачи,
T>1>=>>,T>2>2=>
>-постоянные
времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T>1>>2T>2>), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:
T>1>=0,42
2T>2>=0,14
0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
(>>p2+T>1
>p+1)y(t)=kg(t)
(3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s) >
>
>>=sY(s)
>>=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
>>
s2Y(s)+T>1
>sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=>
>=>
>
, где
T>3,4>=>>
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=>>
=>>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k×1(t)>>
=
=k ×1(t)>>(5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=>>
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1=>>=>
>
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
w(s)= >
>
=>>
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= >
>=
=>>
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)= >
>
W(jw)=
>
>
(7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(jw)
=>>=
>>
U(w)=>>
V(w)=>>
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>=..............(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=................
j(w)=............... (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=...................
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>2>>>+a>1
>>
>+>
>a>o>y(t)
=b>o>g(t)
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>2>=0,588
a>1>=0,504
a>o>=12
b>o>=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
>>>
>+>
>>
>+y(t)=>
>g(t)
>>>
>+T>1
>>
>+y(t)=kg(t)
(2),
где k=>>-коэффициент
передачи,
T>1>=>>,T>2>2=>
>-постоянные
времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T>1><2T>2>), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:
T>1>=0,042
2T>2>=0,14
0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.
Представим данное уравнение в следующем виде:
пусть T>2>=T,
>
>.
Тогда уравнение (2):
>>
Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1).
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
(>>p2+2xTp+1)y(t)=kg(t)
(3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s) >
>
>>=sY(s)
>>=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
>>
s2Y(s)+2xT>
>sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=>
>
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=>>=
=>>
Заменим в этом
выражении >
>,>
>.Тогда
H(s)=>>=
=>>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k>>
=
=k ×1(t)>>
(5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=>>
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1=>>=>
>=
=>>
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= >
>
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)= >
>
W(jw)=
>
>
(7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(jw)=>>
U(w)=>>
V(w)>>
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>=>
>
(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk
- arg(2xTjw
- T2w2+1)=
- arctg>>
j(w)=
- arctg>>
(9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg>>
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>2>>>-
a>1 >>
>+>
>a>o>y(t)
=b>o>g(t)
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>2>=0,588
a>1>=0,504
a>o>=12
b>o>=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
>>>
>-
>
>>
>+y(t)=>
>g(t)
>>>
>-T>1
>>
>+y(t)=kg(t)
(2),
где k=>>-коэффициент
передачи,
T>1>=>>,T>2>2=>
>-постоянные
времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка комплексные (это выполняется при T>1><2T>2>), то оно является колебательным. Проверим это для нашего уравнения:
T>1>=0,042
2T>2>=0,14
0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.
Представим данное уравнение в следующем виде:
пусть T>2>=T,
>
>.
Тогда уравнение (2):
>>
Здесь T - постоянная времени, x - декремент затухания (0<x<1).
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
(>>p2
- 2xTp+1)y(t)=kg(t)
(3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s) >
>
>>=sY(s)
>>=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
>>
s2Y(s)
- 2xT>
>sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=>
>
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=>>=
=>>
Заменим в этом
выражении >
>,>
>.Тогда
H(s)=>>=
=>>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k>>
=
=k ×1(t)>>
(5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=>>
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1=>>=>
>=
=>>
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= >
>
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)= >
>
W(jw)=
>
>
(7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(jw)=>>
U(w)=>>
V(w)>>
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>=>
>
(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk
- arg(1 - 2xTjw
- T2w2)=
- arctg>>
j(w)=
- arctg>>
(9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg>>
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>2>>>+>
>a>o>y(t)
=b>o>g(t)
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>2>=0,0588
a>o>=12
b>o>=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
>>>
>+y(t)=>
>g(t)
>>>
>+
y(t)=kg(t) (2),
где k=>>-коэффициент
передачи,
T2=>>-постоянная
времени.
Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при x=0.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
(T2p2+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s) >
>
>>=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T2s2Y(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=>
>
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=>>
Заменим >
>.Тогда
H(s)=>>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k×1(t)>>
(5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1=>>=>
>=>
>
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= kw>0>sinw>0>t×1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)= >
>
W(jw)=>>
(7)
U(w)=>>
V(w)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>=(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk - arg(1-T2w2)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg>>
(10)
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения.
4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ
4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>1
>>
>=b>o>g(t)
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>1>=1,24> >
b>o>=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a>1>:
>>=>
>g(t)
> >>
>=kg(t)
(2),
где k=>>-коэффициент
передачи.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
py(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
>>=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
> >sY(s)=kG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=>
>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kt×1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=>>
w(t)=>>=k×1(t)
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)= >
>
W(jw)=>>
(7)
W(jw)=>>
U(w)=0
V(w)=>>
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>=>
>
(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk - argjw
j(w)= - arctgw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg>>
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.
4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
>>+>
>a>1
>>
>=b>o>g(t)
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>2>=0,0588> >
a>1>=0,504
b>o>=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a>1>:
>>>
>+
>
>=>
>g(t)
T>>+>
>=kg(t)
(2),
где k=>>-коэффициент
передачи,
T=>>-постоянная
времени.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
(Tp2+p)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
>>=sY(s)
>>=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Ts2Y(s)+sY(s)=kG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=>
>
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=>>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)= - kT×1(t)+kt×1(t)+kT>>×1(t)=
=>>
(5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1=>>
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
w(s)=>>
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=k×1(t)>>
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=>>
W(jw)=>>
(7)
W(jw)>>
U(w)=>>
V(w)=>>
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>=>
>
(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=argk
- argjw
- arg>>
j(w)= - arctgw - arctgTw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg>>
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.
4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>1
>>
>=b>1>>
>+b>o>g(t)
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>1>=1,24> >
b>o>=4
b>1>=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a>1>:
>>=>
>>
>+>
>g(t)
>>=k>1>>
>+kg(t)
(2),
где k>1>=>>,
k=>
>-коэффициент
передачи.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
py(t)=(k>1>p+k)g(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
>>=sY(s)
g(t)=G(s)
>>=sG(t)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
sY(s)=k>1>sG(s)+kG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>
=>
>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)= >
>×
1(t) (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1
W(s)=>>
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= k>1>×d(t)+k×1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=>>
W(jw)=>>
(7)
U(w)=k>1>
V(w)=>>
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции,т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=............(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=............
j(w)=............ (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lg........
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их численные значения.
4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>o>y(t)=b>1>>>
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>o>=2
b>1>=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a>o>:
y(t)=>>
y(t)=k>>
(2),
где k=>>-коэффициент
передачи.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
y(t)=kpg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
>>=sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=ksG(s)
W(s)=ks (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний Лапласа,т.е.
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=k
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k×d(t) (5)
Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной функции:
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1=ks
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=k>>
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=ks
W(jw)=jkw (7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=0
V(w)=kw
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.
A(w)=½W(jw)½
A(w)=k½w½ (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgkw (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(w)=20lg A(w)
L(w)=20lgk½w½
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные выражения.
4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a>1
>>
>+>
>a>o>y(t)
=b>1>>
>
(1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a>1>=1,24> >
a>o>=2
b>1>=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a>1>:
>>>
>+y(t)=>
>>
>
T>>+y(t)=k>
>
(2),
где k=>>-коэффициент
передачи,
T>1>=>>-постоянная
времени.
Запишем исходное
уравнение в операторной форме, используя
подстановку p=>>
.Получим:
(Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
>>=sY(s)
g(t)=G(s)
>>=sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
TsY(s)+Y(s)=ksG(s)
W(s)=>>
(4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)>>=>
>=>
>
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=>>×1(t)
(5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)×1
W(s)= >
>=>
>
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=>>×d(t)>
>
e>
>
×1(t)
(6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw:
W(s)=>>
W(jw)=>>
W(jw)=>>=>
>
6.Найдем АЧХ:
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>=>
>
Найдем ФЧХ:
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgkw-arctgTw
L(w)=20lgA(w)
L(w)=20lg>>
4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
Данное звено описывается следующим уравнением:
a0y(t)=b1>>+b0g(t)
y(t)=>>>
>+>
>g(t)
k1=>>
k=>>
p=>>
y(t)=k1pg(t)+kg(t)
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
Y(s)=k1sG(s)+kG(s)
W(s)=k1s+k
H(s)=>>=k1+>
>
h(t)=k1d(t)+k1(t)
W(jw)=k1jw+k
U(w)=k
V(w)=k1w
A(w)=½W(jw)½
A(w)=>>
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctg>>
L(w)=20lgA(w)
L(w)=20lg>>
4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
a0y(t)=b2>>+b1>
>+b0g(t)
y(t)=>>>
>+>
>>
>+>
>g(t)
y(t)=k2>>+k1>
>+kg(t)
y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)
Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)
W(s)=k2s2+k1s+k
H(s)=k2s+k1+>>
h(t)=k2>>+k1d(t)+k11(t)
w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k
w(t)=k2>>+k1>
>+kd(t)
W(jw)=k1jw+k - k2w2
U(w)=k - k2w2
V(w)=k1jw
A(w)=>>
j(w)=arctg>>
L(w)=20lg>>