Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
(алгебра и начала анализа)
Оглавление
I. Введение
II. Уравнения с параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
III. Неравенства с параметрами.
§1. Определения.
§2. Алгоритм решения.
§3. Примеры.
IV. Список литературы.
Введение
Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.
Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
§1. Основные определения
Рассмотрим уравнение
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k, x -переменные величины.
Любая система значений переменных
а = а>0>, b = b>0>, c = c>0>, …, k = k>0>, x = x>0>,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
§2. Алгоритм решения.
Находим область определения уравнения.
Выражаем a как функцию от х.
В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.
Записываем ответ.
§3. Примеры
I. Решить уравнение
(1)
Решение.
Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :
>
>
или >
>
График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а Î
(-¥;-1]È(1;+¥)È>
>
, то прямая у=а пересекает график уравнения
(1) в одной точке. Абсциссу этой точки
найдем при решении уравнения >
>
относительно х.
Таким
образом, на этом промежутке уравнение
(1) имеет решение >
>.
Если а Î
>
>,
то прямая у=а пересекает график уравнения
(1) в двух точках. Абсциссы этих точек
можно найти из уравнений >
>
и >
>,
получаем
>
>>
>
и >
>.
Если а
Î >
>
, то прямая у=а не пересекает график
уравнения (1), следовательно решений
нет.
Ответ:
Если а Î
(-¥;-1]È(1;+¥)È>>,
то >
>;
Если а Î
>
>,
то >
>>>
, >
>;
Если
а Î >
>
, то решений нет.
II. Найти
все значения параметра а, при которых
уравнение >
>
имеет три различных корня.
Решение.
Переписав
уравнение в виде >
>
и рассмотрев пару функций
>
>
, можно заметить, что искомые значения
параметра а и только они будут
соответствовать тем положениям графика
функции >
>,
при которых он имеет точно три точки
пересечения с графиком функции >
>.
В системе
координат хОу построим график функции
>
>).
Для этого можно представить её в виде
>
>
и, рассмотрев четыре возникающих случая,
запишем эту функцию в виде
>
>
Поскольку
график функции >
>
– это прямая, имеющая угол наклона к
оси Ох, равный >
>
, и пересекающая ось Оу в точке с
координатами (0 , а), заключаем, что три
указанные точки пересечения можно
получить лишь в случае, когда эта прямая
касается графика функции >
>.
Поэтому находим производную >
>
Ответ: >
>.
III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
>
>
имеет решения.
Решение.
Из первого
уравнения системы получим >
>
при >
>
Следовательно, это уравнение задаёт
семейство “полупарабол” - правые ветви
параболы >
>
“скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители
>
>
Множеством
точек плоскости >
>,
удовлетворяющих второму уравнению,
являются две прямые
>
>
и
>
>
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой >
>),
то рассматриваемые графики не имеют
общих точек. Если вершина “полупараболы”
совпадает с точкой А, то >
>.
Случай
касания “полупараболы” с прямой >
>
определим из условия существования
единственного решения системы
>
>
В этом случае уравнение
>
>
имеет один корень, откуда находим :
>
>
Следовательно,
исходная система не имеет решений при
>
>,
а при >
>
или >
>
имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а Î
(-¥;-3] È(>
>;+¥).
IV. Решить уравнение
>
>
Решение.
Использовав
равенство >
>,
заданное уравнение перепишем в виде
>
>
Это уравнение равносильно системе
>
>
Уравнение
>
>
перепишем в виде
>
>.
(*)
Последнее
уравнение проще всего решить, используя
геометрические соображения. Построим
графики функций >
>
и >
>
Из графика следует, что при >
>
графики не пересекаются и, следовательно,
уравнение не имеет решений.
Если >
>,
то при >
>
графики функций совпадают и, следовательно,
все значения >
>
являются решениями уравнения (*).
При >
>
графики пересекаются в одной точке,
абсцисса которой >
>.
Таким образом, при >
>
уравнение (*) имеет единственное решение
- >
>.
Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям
>
>
Пусть >
>,
тогда >
>.
Система примет вид
>
>
Её решением
будет промежуток хÎ
(1;5). Учитывая, что >
>
, можно заключить, что при >
>
исходному уравнению удовлетворяют все
значения х из промежутка [3; 5).
Рассмотрим
случай, когда >
>
. Система неравенств примет вид
>
>
Решив эту
систему, найдем аÎ
(-1;7). Но >
>,
поэтому при аÎ
(3;7) исходное уравнение имеет единственное
решение >
>.
Ответ:
если аÎ (-¥;3), то решений нет;
если а=3, то хÎ [3;5);
если aÎ
(3;7), то >
>;
если aÎ [7;+¥), то решений нет.
V. Решить уравнение
>
>
, где а -
параметр. (5)
Решение.
При любом
а : >
>
Если >
>,
то >
>;
если >
>,
то >
>.
Строим
график функции >
>
, выделяем ту его часть , которая
соответствует >
>.
Затем отметим ту часть графика функции
>
>
, которая соответствует >
>.
По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.
Ответ:
если >
>,
то >
>
>
>
если >
>,
то >
>;
если >
>,
то решений нет;
если >
>,
то >
>,
>
>.
VI. Каким
условиям должны удовлетворять те
значения параметров >
>
и >
>,
при которых системы
>
>
(1)
и
>
>
(2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом
того, что >
>
имеет смысл только при >
>,
получаем после преобразований систему
>
>
(3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
>
>
(4)
Первое
уравнение системы (4) задает в плоскости
хОу семейство прямых, второе уравнение
задает семейство концентрических
окружностей с центром в точке А(1;1) и
радиусом >
>
Поскольку
>
>,
а >
>,
то >
>,
и, следовательно, система (4) имеет не
менее четырех решений. При >
>
окружность касается прямой >
>
и система (4) имеет пять решений.
Таким
образом, если >
>,
то система (4) имеет четыре решения, если
>
>,
то таких решений будет больше, чем
четыре.
Если же
иметь в виду не радиусы окружностей, а
сам параметр а, то система (4) имеет четыре
решения в случае, когда >
>,
и больше четырех решений, если >
>.
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.
При
фиксированных положительных а и b
система (3) может иметь два, три, или
четыре решения. Число же решений зависит
от того, будет ли прямая, заданная
уравнением >
>
, иметь общие точки с гиперболой >
>
при >
>
(прямая >
>
всегда имеет одну точку пересечения с
графиком функции >
>).
Для решения этого рассмотрим уравнение
>
>,
которое удобнее переписать в виде
>
>
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:
если >
>,
т.е. если >
>,
то система (3) имеет два решения;
если >
>,
то система (3) имеет три решения;
если >
>,
то система (3) имеет четыре решения.
Таким
образом, одинаковое число решений у
систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет
место, когда >
>.
Ответ: >
>
II. Неравенства с параметрами.
§1. Основные определения
Неравенство
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а>0>, b = b>0>, c = c>0>, …, k = k>0>, при некоторой функции
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
>
>называется
допустимым значением х, если
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х>0> называется частным решением неравенства (1), если неравенство
¦(a, b, c, …, k, x>0>)>j(a, b, c, …, k, x>0>)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
§2. Алгоритм решения.
Находим область определения данного неравенства.
Сводим неравенство к уравнению.
Выражаем а как функцию от х.
В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Исследуем влияние параметра на результат.
найдём абсциссы точек пересечения графиков.
зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
§3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
>
>
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
>
>
данное неравенство равносильно системе неравенств
>
>
Если >
>,
то решения исходного неравенства
заполняют отрезок >
>.
Ответ: >
>,
>
>.
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
>
>
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
>
>
(*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
>
>
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области
с окружностью, где >
>,
а значения >
>
и >
>
находятся из системы
>
>
а значения
>
>
и >
>
находятся из системы
>
>
Решая эти системы, получаем, что
>
>
Ответ: >
>
III. Решить
неравенство >
>
на >
>
в зависимости от значений параметра а.
Решение.
Находим
область допустимых значений – >
>
Построим график функции в системе координат хОу.
при >
>
неравенство решений не имеет.
при >
>
для >
>
решение х удовлетворяет соотношению
>
>,
где >
>
Ответ:
Решения неравенства существуют при >
>
>
>,
где >
>
, причем при >
>
решения >
>;
при >
>
решения >
>
.
IV. Решить неравенство
>
>
Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
>
>
>
>
>
>
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
>
>
Разложим числитель на множители.
>
>
т. к. >
>
то
>
>
Разделим
обе части равенства на >
>
при >
>.
Но >
>
является решением : левая часть уравнения
равна правой части и равна нулю при >
>.
>
>
>
>
>
>
3. Строим в ПСК хОа графики функций
>
>
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
|
? |
точка |
неравенство:
>
|
вывод |
|
1 |
> |
> |
- |
|
2 |
> |
> |
+ |
|
3 |
> |
> |
- |
|
4 |
> |
> |
+ |
|
5 |
> |
> |
- |
|
6 |
> |
> |
+ |
|
7 |
> |
> |
- |
|
8 |
> |
> |
+ |
|
9 |
> |
> |
- |
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>5. Найдем точки пересечения графиков
>
>
6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.
Ответ.
при
>
> >
>
при
>
> >
>
при >
> >
>
при
>
> решений
нет
при >
> >
>
Литература
Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.
Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.