Математическое моделирование (работа 1)
Постановка задачи и анализ исходных данных
Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых ресурсов.
Данный курсовой проект ставит перед собой цель выяснить насколько эффективна деятельность фирмы в долгосрочном периоде при выборе вектора х=(х>1>,х>2>) затрат из пространства затрат.
Поэтому задача максимизации прибыли в долговременном промежутке имеет следующий вид;
PR=p(x>1>,x>2>)>*>f(x>1>,x>2>)-c(x>1>,x>2>)
max (х>1>,х>2>
> 0),где
p(х>1>,х>2>) - функция спроса;
f(х>1>,х>2>) - производственная функция выпуска;
с(х>1>,х>2>) - функция затрат.
Будут использоваться данные:
|
КАПИТАЛ |
ТРУД |
ВЫПУСК |
ЦЕНА |
ЗАТРАТЫ |
|
1,05 |
1,03 |
1,50 |
25,44 |
5,10 |
|
2,00 |
2,90 |
4,20 |
15,11 |
10,20 |
|
3,00 |
6,00 |
7,43 |
10,60 |
19,40 |
|
4,00 |
9,00 |
9,60 |
8,57 |
27,00 |
|
5,00 |
12,00 |
12,15 |
7,34 |
36,00 |
|
6,00 |
15,30 |
15,75 |
6,45 |
42,60 |
|
7,00 |
18,00 |
18,45 |
5,87 |
50,00 |
|
8,00 |
21,00 |
21,45 |
5,39 |
58,00 |
|
9,00 |
24,00 |
24,30 |
5,00 |
66,00 |
|
10,00 |
27,00 |
26,85 |
4,67 |
74,00 |
|
11,00 |
30,00 |
30,15 |
4,40 |
82,00 |
|
12,00 |
33,00 |
33,00 |
4,17 |
90,00 |
|
13,00 |
36,00 |
36,75 |
3,97 |
99,00 |
|
14,00 |
39,00 |
41,28 |
3,79 |
107,00 |
|
15,00 |
42,00 |
42,30 |
3,63 |
120,00 |
Зависимые переменные : выпуск, цена, затраты.
Независимые переменные: капитал (х>1>) и труд (х>2>), которые удовлетворяют выше приведенным условиям.
Исходя из заданных данных необходимо определить вид и параметры функций спроса, затрат и производственной функции выпуска.
|
Определение вида и параметров функции спроса, достоверности параметров, качества регрессии. |
||||||||
|
Функция спроса - функция цены выпускаемой продукции в зависимости от объемов затрачиваемых ресурсов. |
||||||||
|
КАПИТАЛ |
ТРУД |
ЦЕНА |
LN x>1> |
LN x>2> |
LN y |
|||
|
1,05 |
1,03 |
25,44 |
0,05 |
0,03 |
3,24 |
|||
|
2,00 |
2,90 |
15,11 |
0,69 |
1,06 |
2,72 |
|||
|
3,00 |
6,00 |
10,60 |
1,10 |
1,79 |
2,36 |
|||
|
4,00 |
9,00 |
8,57 |
1,39 |
2,20 |
2,15 |
|||
|
5,00 |
12,00 |
7,34 |
1,61 |
2,48 |
1,99 |
|||
|
6,00 |
15,30 |
6,45 |
1,79 |
2,73 |
1,86 |
|||
|
7,00 |
18,00 |
5,87 |
1,95 |
2,89 |
1,77 |
|||
|
8,00 |
21,00 |
5,39 |
2,08 |
3,04 |
1,68 |
|||
|
9,00 |
24,00 |
5,00 |
2,20 |
3,18 |
1,61 |
|||
|
10,00 |
27,00 |
4,67 |
2,30 |
3,30 |
1,54 |
|||
|
11,00 |
30,00 |
4,40 |
2,40 |
3,40 |
1,48 |
|||
|
12,00 |
33,00 |
4,17 |
2,48 |
3,50 |
1,43 |
|||
|
13,00 |
36,00 |
3,97 |
2,56 |
3,58 |
1,38 |
|||
|
14,00 |
39,00 |
3,79 |
2,64 |
3,66 |
1,33 |
|||
|
15,00 |
42,00 |
3,63 |
2,71 |
3,74 |
1,29 |
|||
|
12,62 |
-38,59 |
50,48 |
-0,36 |
-0,23 |
3,26 |
26,00 |
||
|
3,19 |
9,51 |
8,90 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
1,00 |
||
|
0,83 |
2,60 |
#Н/Д |
1,00 |
0,00 |
#Н/Д |
|||
|
29,14 |
12,00 |
#Н/Д |
8736032,75 |
12,00 |
#Н/Д |
|||
|
393,61 |
81,06 |
#Н/Д |
4,35 |
0,00 |
#Н/Д |
|||
|
значение распределения Стьюдента |
значение распределения Стьюдента |
|||||||
|
3,95 |
-4,06 |
5,67 |
-280,59 |
-132,26 |
7866,80 |
25,99 |
||
|
Критическое значение Стьюдента |
критич. Знач. Стьюдента=стьюдраспобр |
|||||||
|
2,18 |
2,18 |
|||||||
|
Достоверен |
достоверен |
достоверен |
достоверен |
достоверен |
достоверен |
|||
|
Критическое распределение Фишера |
критическое распределение Фишера |
|||||||
|
0,00002 |
1,04959E-37 |
|||||||
|
29,14>0,00002 |
8736032,75>1,04959Е-37 |
|||||||
|
R2-достоверен |
R2-достоверен |
|||||||
|
Выбираем степенную ф-ю т.к. у степенной ф-ции три достоверных параметра. Коэф. Детерминации равен 1 (1>0,83), Fстатистика больше, чем у линейной (8736032,75>29,14). |
||||||||
|
p(x>1>,x>2>)=P=b>0*>x>1>-b1>*>x>2>-b2 |
Параметры: |
b>0> |
b>1> |
b>2> |
||||
|
26,00 |
-0,23 |
-0,36 |
|
Определение вида и параметров функции затрат, достоверности параметров, качества регрессии. |
|||||||
|
Функция затрат - функция от двух переменных - факторов производства - капитала и труда. |
|||||||
|
КАПИТАЛ |
ТРУД |
ЗАТРАТЫ |
|||||
|
1,05 |
1,03 |
5,10 |
|||||
|
2,00 |
2,90 |
10,20 |
|||||
|
3,00 |
6,00 |
19,40 |
|||||
|
4,00 |
9,00 |
27,00 |
|||||
|
5,00 |
12,00 |
36,00 |
|||||
|
6,00 |
15,30 |
42,60 |
|||||
|
7,00 |
18,00 |
50,00 |
|||||
|
8,00 |
21,00 |
58,00 |
|||||
|
9,00 |
24,00 |
66,00 |
|||||
|
10,00 |
27,00 |
74,00 |
|||||
|
11,00 |
30,00 |
82,00 |
|||||
|
12,00 |
33,00 |
90,00 |
|||||
|
13,00 |
36,00 |
99,00 |
|||||
|
14,00 |
39,00 |
107,00 |
|||||
|
15,00 |
42,00 |
120,00 |
|||||
|
1,96 |
2,21 |
0,00 |
|||||
|
0,30 |
0,82 |
#Н/Д |
|||||
|
1,00 |
1,54 |
#Н/Д |
|||||
|
3818,56 |
13,00 |
#Н/Д |
|||||
|
18116,82 |
30,84 |
#Н/Д |
|||||
|
значение распределения Стьюдента |
|||||||
|
6,54 |
2,70 |
#Н/Д |
|||||
|
критическое значение Стьюдента |
|||||||
|
2,16 |
|||||||
|
достоверен |
достоверен |
||||||
|
критическое распределение Фишера |
|||||||
|
9,92626E-19 |
|||||||
|
3818,56>9,92626Е-19 |
|||||||
|
R2-достоверен |
|||||||
|
Функция затрат имеет вид линейной функции. |
c(x>1>,x>2>)=C=c>1*>x>1>+c>2*>x2 |
||||||
|
Параметры: |
c>1> |
c>2> |
|||||
|
2,21 |
1,96 |
|
Оптимизация |
||||||||
|
Общая постановка задачи: |
||||||||
|
Определив вид и параметры функций спроса, производственной функции и функции затрат ,мы можем преобразовать уравнение прибыли соответственно с нашим решением. |
||||||||
|
a0 |
1,54 |
b0 |
26,00 |
КАПИТАЛ |
ТРУД |
f(x>1>,x>2>)=F |
||
|
a1 |
0,43 |
b1 |
-0,23 |
c1 |
2,21 |
1,05 |
1,03 |
1,60 |
|
a2 |
0,57 |
b2 |
-0,36 |
c2 |
1,96 |
2,00 |
2,90 |
3,81 |
|
3,00 |
6,00 |
6,86 |
||||||
|
PR=p(x>1>,x>2>)>*>f(x>1>,x>2>)-c(x>1>,x>2>) |
прибыль (1) |
4,00 |
9,00 |
9,78 |
||||
|
Найденные уравнения регрессии: |
5,00 |
12,00 |
12,68 |
|||||
|
p(x>1>,x>2>)=P=b>0*>x>1>-b1>*>x>2>-b2 |
ф-я спроса (5) |
6,00 |
15,30 |
15,75 |
||||
|
f(x>1>,x>2>)=F=a>0*>x>1>a1>*>x>2>a2 |
произв. ф-я (6) |
7,00 |
18,00 |
18,47 |
||||
|
c(x>1>,x>2>)=C=c>1*>x>1>+c>2*>x2 |
ф-я затрат (7) |
8,00 |
21,00 |
21,36 |
||||
|
из этого следует, что |
9,00 |
24,00 |
24,24 |
|||||
|
PR=a>0*>b>0*>x>1>(a1+b1)>*>x>2>(a2+b2)-c>1>x>1>-c>2>x2 |
10,00 |
27,00 |
27,13 |
|||||
|
далее решим систему уравнений |
11,00 |
30,00 |
30,01 |
|||||
|
qPR/qx>1>=0 |
(2) |
12,00 |
33,00 |
32,89 |
||||
|
qPR/qx>2>=0 |
13,00 |
36,00 |
35,78 |
|||||
|
14,00 |
39,00 |
38,66 |
||||||
|
Решение : |
15,00 |
42,00 |
41,54 |
|||||
|
a>0*>b>0*>(а>1>+в>1>)>*>x>1>(a1+b1-1)>*>x>2>(a2+b2)-c>1>=0 |
||||||||
|
a>0*>b>0*>x>1>(a1+b1)>*>(а>2>+в>2>)>*>x>2>(a2+b2-1)-c>2>=0 |
||||||||
|
При упрощении выражения получается уравнение вида: |
||||||||
|
x>2>/x>1>=(c>1*>(a>2>+b>2>))/(c>2>(a>1>+b>1>)) |
||||||||
|
Обозначим правую часть уравнения через коэффициент К: |
||||||||
|
x>2>/x>1>=K |
К= |
1,18 |
||||||
|
Cледовательно: |
||||||||
|
x>2>/x>1>=1,18 |
х>1>=х>2>/1,18 , х>2>=х>1*>1,18 |
|||||||
|
Выразив х>1> через х>2> и решив систему уравнений получаем оптимальные значения х>1опт > и х>2оп>т |
||||||||
|
x>1o>= |
9,48 |
|||||||
|
x>2o>= |
11,20 |
|||||||
|
Для проверки правильности нахождения экстремума необходимо произвести расчет по формулам ( 3) и ( 4 ): |
||||||||
|
q2PR(x>1>,x>2>)/qx>1>2<0 |
для оптимальных значений х>1>,х2 |
( 3 ) |
||||||
|
Подставив свои значения получаю формулу: |
||||||||
|
а>0>*в>0>*(а>1>+в>1>)*(а>1>+в>1>-1)*х>1>(а1+в1-2)*х>2>(а2+в2)<0 |
-0,19 |
<0 |
||||||
|
(q2PR(x>1>,x>2>)/qx>1>2)*(q2PR(x>1>,x>2>)/qx>2>2)-(q2PR(x>1>,x>2>)/qx>1>х>2>)2>0 |
( 4 ) |
|||||||
|
Представим формулу в виде: |
А*В-D2>0 |
|||||||
|
А=а>0>*в>0>*(а>1>+в>1>)*(а>1>+в>1>-1)*х>1>(а1+в1-2)*х>2>(а2+в2) |
||||||||
|
В=а>0>*в>0>*(а>2>+в>2>)*(а>2>+в>2>-1)*х>1>(а1+в1)*х>2>(а2+в2-2) |
||||||||
|
D=а>0>*в>0>*(а>1>+в>1>)*(а>2>+в>2>)*х>1>(а1+в1-1)*х>2>(а2+в2-1) |
||||||||
|
Найдем значения А,В и D: |
||||||||
|
А = |
-0,19 |
|||||||
|
B = |
-0,14 |
|||||||
|
D = |
0,04 |
|||||||
|
Подставим эти значения в формулу: |
0,024 |
>0 |
||||||
|
Вывод: |
Найденные значения х>1опт> и х>2опт> являются оптимальным решением системы уравнений . |
|||||||
|
При подстановке этих значений мы получим максимум прибыли(1) и максимум выпуска (5) |
61,37 |
|||||||
|
6,50 |
||||||||
|
График прибыли от двух переменных |
||||||||
|
PR=f(х>1>,х>2>) |
|
Построение графиков изоквант и изокост. |
||||||||
|
Капитал |
Труд |
Изокванта |
Изоклиналь |
Изокоста |
Параметры |
|||
|
1,05 |
1,03 |
58,90 |
1,24 |
20,71 |
||||
|
2,00 |
2,90 |
36,23 |
2,36 |
19,63 |
а>0> |
1,54 |
||
|
3,00 |
6,00 |
26,68 |
3,54 |
18,51 |
а>1> |
0,43 |
||
|
4,00 |
9,00 |
21,47 |
4,73 |
17,38 |
а>2> |
0,57 |
||
|
5,00 |
12,00 |
18,15 |
5,91 |
16,25 |
с>1> |
2,21 |
||
|
6,00 |
15,30 |
15,82 |
7,09 |
15,12 |
с>2> |
1,96 |
||
|
7,00 |
18,00 |
14,08 |
8,27 |
14,00 |
y>о> |
16,05 |
||
|
8,00 |
21,00 |
12,73 |
9,45 |
12,87 |
||||
|
9,00 |
24,00 |
11,65 |
10,63 |
11,74 |
g >опт> |
0,89 |
||
|
10,00 |
27,00 |
10,76 |
11,81 |
10,61 |
||||
|
11,00 |
30,00 |
10,01 |
13,00 |
9,49 |
с>0> |
42,90 |
||
|
12,00 |
33,00 |
9,38 |
14,18 |
8,36 |
||||
|
13,00 |
36,00 |
8,83 |
15,36 |
7,23 |
х>1опт> |
9,48 |
||
|
14,00 |
39,00 |
8,35 |
16,54 |
6,10 |
х>2 опт> |
11,20 |
||
|
15,00 |
42,00 |
7,92 |
17,72 |
4,98 |
в>0> |
26,00 |
||
|
в>1> |
-0,23 |
|||||||
|
в>2> |
-0,36 |
|||||||
|
Для построения графиков используются расчеты по следующим формулам: |
||||||||
|
Изокванта |
х>2>(х>1>)=(у>0>/(а>0>*х>1>a1)^(1/a>2>) |
|||||||
|
Изоклиналь |
x>2>(x>1>)=g>опт>.*(a>2>/a>1>)*x1 |
|||||||
|
Изокоста |
x>2>(x>1>)=(c>0>-c>1>*x>1>)/c2 |
|||||||
|
а также: |
||||||||
|
Оптимальный выпуск |
у>0>=а>0>*х>1опт>.a1*x>2опт>.a2 |
|||||||
|
Предельная норма замещения |
g>опт>.=(a>1>*x>2опт>)/(а>2>*х>1опт>) |
|||||||
|
Затраты оптимального варианта |
с>0>=с>1>*х>1опт.>+с>2>*х>2опт>. |
|
Анализ свойств производственной функции и возможности замещения ресурсов. |
||||||||||
|
a>0> |
1,54 |
Капитал x>1> |
Труд x>2> |
ПЭ по х>1> |
ПЭ по х>2> |
F |
Е х>1> |
Е х>2> |
ПНЗ g |
|
|
a>1> |
0,43 |
1,05 |
1,03 |
0,65 |
0,89 |
1,60 |
0,43 |
0,57 |
0,74 |
|
|
a>2> |
0,57 |
2,00 |
2,90 |
0,82 |
0,75 |
3,81 |
0,43 |
0,57 |
1,09 |
|
|
b>0> |
26,00 |
3,00 |
6,00 |
0,98 |
0,65 |
6,86 |
0,43 |
0,57 |
1,51 |
|
|
b>1> |
-0,23 |
4,00 |
9,00 |
1,05 |
0,62 |
9,78 |
0,43 |
0,57 |
1,70 |
|
|
b>2> |
-0,36 |
5,00 |
12,00 |
1,09 |
0,60 |
12,68 |
0,43 |
0,57 |
1,81 |
|
|
c>1> |
2,21 |
6,00 |
15,30 |
1,13 |
0,59 |
15,75 |
0,43 |
0,57 |
1,92 |
|
|
c>2> |
1,96 |
7,00 |
18,00 |
1,13 |
0,58 |
18,47 |
0,43 |
0,57 |
1,94 |
|
|
8,00 |
21,00 |
1,15 |
0,58 |
21,36 |
0,43 |
0,57 |
1,98 |
|||
|
x>1o>= |
9,48 |
9,00 |
24,00 |
1,16 |
0,58 |
24,24 |
0,43 |
0,57 |
2,01 |
|
|
x>2o>= |
11,20 |
10,00 |
27,00 |
1,17 |
0,57 |
27,13 |
0,43 |
0,57 |
2,04 |
|
|
11,00 |
30,00 |
1,17 |
0,57 |
30,01 |
0,43 |
0,57 |
2,06 |
|||
|
12,00 |
33,00 |
1,18 |
0,57 |
32,89 |
0,43 |
0,57 |
2,07 |
|||
|
13,00 |
36,00 |
1,18 |
0,57 |
35,78 |
0,43 |
0,57 |
2,09 |
|||
|
14,00 |
39,00 |
1,19 |
0,57 |
38,66 |
0,43 |
0,57 |
2,10 |
|||
|
15,00 |
42,00 |
1,19 |
0,56 |
41,54 |
0,43 |
0,57 |
2,11 |
|||
|
оптима |
9,48 |
11,20 |
0,73 |
0,82 |
16,05 |
0,43 |
0,57 |
0,89 |
||
|
Оптимальное расчитано для оптимальных значений х>1>,х2 |
||||||||||
|
Предельная эффективность характеризует отношение прироста выпуска продукции к малому приросту количества производственного ресурса . |
||||||||||
|
ПЭ>1>-Предельная эффективность ресурса х1 |
qf/qx>1>>=0 |
|||||||||
|
ПЭ>1>=а>0>*а>1>*х>1>(а1-1)*х>2>а2 |
||||||||||
|
ПЭ>2>-Предельная эффективность ресурса х2 |
qf/qx>2>>=0 |
|||||||||
|
ПЭ>2>=а>0>*а>2>*х>1>а1*х>2>(а2-1) |
||||||||||
|
Вывод: Проанализировав расчеты в таблице можно увидеть , что малый прирост капитала ведет к увеличению прироста выпуска , а прирост труда ведет к его уменьшению . |
||||||||||
|
F-Функция выпуска |
F=а>0>*х>1>а1*х>2>а2 |
|||||||||
|
Помимо предельной эффективности в качестве характеристики изменения выпуска продукции при увеличении затрат ресурсов используют также отношение этих величин , которое принято называть эластичностью выпуска по отношению изменения затрат i-го ресурса. |
||||||||||
|
Эластичность выпуска показывает на сколько процентов возрастет объем продукции при увеличении затрат ресурсов на 1 % по отношению к изменению затрат. |
||||||||||
|
Е>i >-Эластичность выпуска по ресурсу хi |
E>i>(x)=x>i>/f(x)*qf/qxi |
|||||||||
|
Е>1>-Эластичность выпуска по ресурсу х1 |
E>1>=(х>1>/F)*а>0>*а>1>*х>1>(а1-1)*х>2>а2 |
|||||||||
|
Е>2>-Эластичность выпуска по ресурсу х2 |
E>2>=(х>2>/F)*а>0>*а>2>*х>1>а1*х>2>(а2-1) |
|||||||||
|
Вывод:Наша производственная функция характеризуется постоянной эластичностью выпуска по отношению к изменению ресурсов. |
||||||||||
|
Предельная норма замещения одного ресурса другим ( величина g) показывает сколько второго ресурса может быть высвобождено при увеличении затрат первого ресурса , если выпуск продукции остается неизменным. |
||||||||||
|
g-Предельная норма замещения |
g=qx>2>/qx>1>=(qf/qx>1>)/(qf/qx>2>) |
|||||||||
|
g=(а>1>*х>2>)/(а>2>*х>1>) |
||||||||||
|
Производственная функция характеризуется определенной отдачей от расширения масштабов производства.Последняя характеризует изменение выпуска продукции при пропорциональном изменении затрат ресурсов и выражена математически в умножении всех компонентов вектора х на скаляр t.Скалярная функция f(x) является однородной функцией степени d ,если для любого вектора х и любого скаляра t она удовлетворяет соотношению : |
||||||||||
|
0<t<1 |
f(tx)=tdf(x) |
|||||||||
|
f(x)=а>0>*х>1>а1*х>2>а2 |
f(tx)=а>0>*(t*х>1>)а1*(t*х>2>)а2=t(a1+a2)*а>0>*х>1>а1*х>2>а2 |
d=a>1>+a>2> |
||||||||
|
d= |
1,00 |
, т.е. d=1 |
||||||||
|
Вывод:Функция характеризуется постоянной отдачей от расширения масштаба производства. |
||||||||||
|
Для характеристики последствий изменения масштаба производства вводят показатель Е(х) , называемый эластичностью производства и определяемый следующим образом: |
||||||||||
|
E(x)= |
lim |
t |
qf(tx) |
|||||||
|
t 1 |
f(tx) |
qt |
||||||||
|
Этот показатель характеризует процентное изменение выпуска продукции при изменении масштаба производства на 1% при данной структуре ресурсов х. |
||||||||||
|
т.к. f(tx)=tdf(x),то |
Е(х)=d=1 |