Элементарные конфортные отображения

Элементарные конфортные отображения

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек _>>и _>>. Если задан закон _>>, ставящий в соответствие каждому _>> точку (или точки) _>>, то говорят, что на множестве _>>задана функция комплексной переменной со значениями в множестве _>>. Обозначают это следующим образом: _>>. (Часто говорят также, что _>>отображает множество _>>в множество _>>.)

Задание функции _>> эквивалентно заданию двух действительных функций _>> и тогда _>> , где _>>, _>>. Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.

1. _>> _>> - линейная функция. Определена при всех _>>. Отображает полную комплексную плоскость _>>на полную комплексную плоскость _>> . Функция _>>и обратная ей _>>- однозначны. Функция _>>поворачивает плоскость _>>на угол, равный _>>, растягивает (сжимает) ее в _>> раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину _>>. Непрерывна на всей комплексной плоскости.

2. _>>. Определена на всей комплексной плоскости, причем _>>, _>>. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки _>>. Отображает полную комплексную плоскость _>>на полную комплексную плоскость _>>, причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3. _>> - показательная функция. По определению _>>, т.е. _>>, _>>, _>>. Из определения вытекают формулы Эйлера:

_>> ; _>>; _>>;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. _>>периодична с периодом _>>. Отображает каждую полосу, параллельную оси _>>, шириной _>> _>>в плоскости _>>в полную комплексную плоскость _>>. Из свойств _>>отметим простейшие: _>> , _>>

4. _>>- логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: _>>. _>>Выражение _>> называется главным значением _>>, так что _>>. Определен для всех комплексных чисел, кроме _>>. _>> - бесконечно-значная функция, обратная к _>>. _>>, _>>

5. _>> _>>- общая показательная функция. По определению, _>>. Определена для всех _>>, ее главное значение _>>, бесконечно-значна.

6. Тригонометрические функции _>>;_>>;_>>;_>> По определению, _>>; _>>;

_>> ; _>>

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:

_>> , _>>

Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: _>>, _>>, _>>, _>>,

Решение. По определению, _>>,_>>, _>>; если _>>, то очевидно, _>>, _>>,

_>>, _>>, _>>

_>>, _>>, _>>, _>>

Найти суммы:

1) _>>

2) _>>

Решение. Пусть: _>>, а

_>>. Умножим вторую строчку на _>>, сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: _>>

_>>; Преобразуя, получим:

_>>, _>>

3. Доказать, что: 1) _>> 2)_>>

3)_>> 4)_>>

Доказательство:

1) По определению, _>>

2) _>>

3) _>> ; _>>

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) _>>; 2) _>>; 3) _>>;