Ряды и интеграл Фурье (работа 1)

ГЛАВА 1

РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Основные сведения

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число _> >, что при любом значении х выполняется равенство _> >. Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период _> >.

3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство _> >.

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке _> > в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

_>> (1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

_>>

_>>

_>> , где n=1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а _> > коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка _> > разрыва функции _> > называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если _> > периодическая с периодом _> > функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [_>>] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом _> > , которая на отрезке [_>>] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

_>>=_>>

_>>=_>>

_>>= 0_>> , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

_>>

Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

_>> , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

_>>

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке_>> то _> >

, где _> >_>>,

_> >,

_> >,

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций

Последовательность функций _> > непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

_>> _> >

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие

_>>

Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:

_>>

коэффициенты которого определяются равенством:

_>> n=1,2,...

Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи

_>> где n=1,2,...

Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке

по ортогональной системе называется ряд:

_>>,

Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение _> > называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если _> > определяется равенством

_>>, где _> >

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

_>> _> > (n=1,2, . . .)

Задача о колебании струны

Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению

_>> (1) , где а - положительное число.

Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:

_>> (2)

и начальных условиях:

_>> (3)

Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)_>>0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t), (4) , где _> >, _> >.

Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:

_>>

Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:

_>>

Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что _> > отрицательное число, разобрав все случаи.

a) Пусть _> >Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:

_>>

_>>

откуда _> > и _> >,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

б) Пусть _> >. Тогда решив уравнение

_>>

_>>

получим _> >, и, подчинив, найдем, что _> >

в) _> > Если _> > то

_>>

Уравнения имеют корни :

_>>

получим:

_>>

_>>

где _> > -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:

_>>

откуда _> >, т. е.

_>> (n=1,2,...)

_>> (n=1,2,...).

Учитывая это, можно записать:

_>> (n=1,2,...).

и, следовательно

_>>, (n=1,2,...),

но так как A и B разные для различных значений n то имеем

_>>, (n=1,2,...),

где _> > и _> > произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем _> > и _> > так , чтобы выполнялись условия

_>>

_>>

Эти равенства являются соответственно разложениями функций _> > и _> > на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой

_>>

где

_>> (n=1,2,...)

Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на _> >

_>>(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

_>>

, где _> >,

_>>.

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что _> >, а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

_>> (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

_>> ,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :

_>> (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

_>> ,

где b(u) определяется равенством (4).

Комплексная форма интеграла Фурье

_>> , (5)

где

_>>.

Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x).

Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим:

_>>, где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

_>>

Формулы дискретного преобразования Фурье

Обратное преобразование Фурье.

_>>

_>>

где n=1,2,... , k=1,2,...

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор _> >

_>>

при этом, _> >.

ГЛАВА 2

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье

Исходные данные :

_>> (Рис. 1)

Функция периодическая с периодом _> >.( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке _> > конечное число точек разрыва первого рода.

Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине _> >, где _> >-точки разрыва.

Рис. 1

Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.

1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале _> >.

2) F(x) - кусочно-монотонна.

Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.

Представление функции рядом Фурье.

_>>

_>>

_>>

_>>

Из разложения видим, что при n нечетном _> > принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.

_>>

Поэтому формулу для _> > можно записать в виде:

_>>

_>>

( так как _> >).

Отдельно рассмотрим случай когда n=1:

_>>.

Подставим найденные коэффициенты в _> > получим:

_>>

и вообще

_>>.

Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:

1-ая гармоника _> >,

2-ая гармоника _> >,

3-ая гармоника _> >,

4-ая гармоника _> >,

5-ая гармоника _> >,

и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.

Запишем комплексную форму полученного ряда

Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)

_>>,

но при _> > не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :

_>>(т.к. _> > см. разложение выше)

и случай когда n=-1:

_>> (т.к. _> >)

И вообще комплексная форма:

_>>

или

_>>

или

_>>