Интеграл помогает доказать неравенство Коши (работа 2)
Интеграл помогает доказать неравенство Коши
С. Берколайко
[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]
Пусть a>1>, a>2>, ..., a>n> – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:
a>1> + a>2> + ... + a>n>
n
>
n
a>1 >a>2 >... a>n>
.
(1) |
Обозначим левую часть неравенства Коши через S>n> и докажем его в такой форме:
(S>n >) n > a>1 >a>2 >... a>n >. |
(2) |
Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,
a>1> ≤ a>2> ≤ ... ≤ a>k> ≤ S>n> ≤ a>k+1> ≤ ... ≤ a>n–1> ≤ a>n>. |
(3) |
Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство
b b – a b < ∫ dt t = ln b a < b – a a , a |
(4) |
где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем
b – a b |
= ln |
b a |
= |
b – a a |
. |
Из (3) и (4)
S>n> – a>1> S>n> + S>n> – a>2> S>n> + ... + S>n> – a>k> S>n> ≤ ln S>n> a>1> + ln S>n> a>1> + ... + ln S>n> a>k> , |
(5) |
или
kS>n> – (a>1> + a>2> + ... + a>k>) S>n> ≤ ln (S>n>)k a>1 >a>2 >... a>k> . |
(6) |
Опять-таки из (3) и (4)
ln a>k+1> S>n> + ln a>k+2> S>n> + ... + ln a>n> S>n> ≤ a>k+1> – S>n> S>n> + a>k+2> – S>n> S>n> + ... + a>n> – S>n> S>n> , |
(7) |
или
ln a>k+1 >a>k+2> ... a>n> (S>n>) n–k ≤ (a>k+1> + ... + a>n>) – (n – k)S>n> S>n> . |
(8) |
Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)
ln a>k+1 >a>k+2> ... a>n> (S>n>) n–k ≤ ln (S>n>)k a>1 >a>2 >... a>k> . |
(9) |
Поскольку среди чисел a>1>, a>2>, ..., a>n> есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать
ln |
a>k+1 >a>k+2> ... a>n> (S>n>) n–k |
< ln |
(S>n>)k a>1 >a>2 >... a>k> |
, |
или
a>k+1 >a>k+2> ... a>n> (S>n>) n–k |
< |
(S>n>)k a>1 >a>2 >... a>k> |
, |
откуда вытекает (2).
Если же a>1> = a>2> = ... = a>n>, то, очевидно,
a>1> + a>2> + ... + a>n> n |
= |
n |
|
a>1 >a>2 >... a>n> |
. |
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ega-math.narod.ru/