Аппроксимация непрерывных функций многочленами
АППРОКСИМАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ
Содержание
Введение
I. Постановка основной задачи теории аппроксимации
1.1. Основная теорема аппроксимации в линейном нормированном пространстве
1.2. Теорема аппроксимации в пространстве Гильберта
1.3. Первая теорема Вейерштрасса
1.4. Вторая теорема Вейерштрасса
II. Круг идей П.Л. Чебышева
2.1. Теорема Валле-Пуссена и теорема существования
2.2. Теорема Чебышева
2.3. Переход к периодическим функциям
2.4. Обобщение теоремы Чебышева
III. Методы аппроксимации
3.1. Приближение функции многочленами
3.2. Формула Тейлора
3.3. Ряды Фурье
Заключение
Литература
Введение
Элементы важной и интересной области математики- теория приближения функций. Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным, и т.п.
Основоположником теории аппроксимации функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894).
В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Так же важное значение имеет метод наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения практических задач, связанных с конструированием прямолинейно направляющих шарнирных механизмов. Такие механизмы в XIX веке использовались в паровых машинах- основных универсальных двигателях того времени- для поддержания прямолинейного движения поршневого штока. К ним относятся параллелограмм Уатта и некоторые его разновидности.
На дальнейшее развитие этой теории оказало влияние открытие, сделанное в конце XIX века немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Им была доказана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности алгебраическим многочленом, что явилось второй причиной применения этих многочленов как универсального средства приближения функций, с заданной сколь угодно малой ошибкой.
Кроме алгебраических многочленов, другим средством приближения функций являются тригонометрические многочлены, значение которых в современной математике, конечно, не исчерпывается указанной ролью.
I. Постановка основной задачи аппроксимации
Основную
задачу теории аппроксимации можно
сформулировать следующим образом: на
некотором точечном множестве >
>
в пространстве произвольного числа
измерений заданы 2 функции f(P)
и F(P,A>1>,A>2>...A>n>)
от точки P>
>,
из которых вторая зависит ещё от
некоторого числа параметров А>1>,А>2>...А>n>;
эти параметры требуется определить
так, чтобы уклонение в >
>
функции F(P,A>1>,A>2>...A>n>)
от функции
f(P) было
наименьшим. При этом, конечно, должно
быть указано, что понимают под уклонением
F от
f
или, как ещё принято говорить, под
расстоянием между F
и f.
Если,
например, рассматриваются ограниченные
функции, то в качестве расстояния между
двумя функциями можно взять верхнюю
грань в >
>
модуля их разности. При таком определении
расстояния для совокупности всех
ограниченных в >
>
функций оказываются справедливыми
многие соотношения, которые мы имеем
для точек обычного 3х-мерного пространства.
Последнее
обстоятельство, с которым постоянно
приходится сталкиваться в математике
при рассмотрении других классов функций
и многих иных совокупностей (множеств),
привело к созданию весьма важного
понятия метрического пространства, так
что при дальнейшем изложении совокупность
>
>
- это метрическое,
либо Гильбертово пространство.
1.1. Основная теорема аппроксимации линейном нормированном пространстве
Пусть Е-
произвольное нормированное пространство,
пусть g>1>,g>2>...g>n>-
n линейно-
независимых элементов из Е. Основную
задачу аппроксимации применительно к
рассматриваемому нами “линейному
случаю” можно сформулировать следующим
образом: дан элемент х>
>Е,
требуется определить числа >
>,>
>...>
>
так, чтобы величина >
>
получила наименьшее значение.
Докажем,
что требуемые значения чисел >
>
существуют.
Предварительно
заметим, что >
>-
есть непрерывная функция своих аргументов.
Действительно, в силу неравенства
треугольника>
>:
>>>
>
Введём теперь вторую непрерывную функцию:
>
>
На “сфере”
>
>,
которая является ограниченным замкнутым
множеством точек в n-мерном
конечном Евклидовом пространстве,
функция >
>
по известной теореме Вейерштрасса имеет
некоторый минимум >
>.
Неотрицательное
число >
>
не может равняться 0, так как векторы
g>1>,g>2>...g>n>
линейно
независимы. Так же >
>.
Обозначим >
>
(>
>)-
нижняя грань значения функций >
>.
Если
>
>,
то
>
>
Желая найти
минимум функции >
>,
мы можем ограничиться рассмотрением
только значений >
>,
для которых >
>>>,
т.е. рассмотрением функции >
>
в ограниченной замкнутой области, а в
такой области непрерывная функция имеет
минимум.
Итак,
существование линейной комбинации >
>,
дающей наилучшую аппроксимацию элемента
х, доказано.
Строго нормированное пространство.
Возникает
вопрос, когда выражение >
>,
дающее наилучшую аппроксимацию элемента
х, будет единственным для >
>?
Указанная
единственность во всяком случае имеет
место тогда, когда пространство Е строго
нормировано, т.е. когда в неравенстве >
>
,>
>
знак “=” достигается только при >
>,>
>.
В самом
деле, допуская, что пространство Е строго
нормировано, предположим, что элемент
х имеет два выражения: >
>
и >
>
наилучшего приближения, причём g>1>,g>2>...g>n>
линейно
независимы.
>
>
где, как
легко видеть, можно принять, что >
>
и, поскольку
>
>,
то
>
>,
и, значит,
>>>
>
Следовательно,
в силу строгой нормированности
пространства: >
>.
В этом
соотношении >
>
должно =1, т.к. в противном случае элемент
х был бы линейной комбинацией элементов
g>1>,g>2>...g>n>>
> и, значит, было
бы >
>.
Но если >
>,
то
>
>
и, значит,
>
>,
т.к. элементы g>1>,g>2>...g>n>
линейно
независимы. Таким образом, рассматриваемые
выражения- тождественны.
Примером строго нормированного пространства является пространство Н, а также Lp при р>1, но пространства С и L не являются строго нормированными.
Действительно,
возьмём интервал [-1,1] и
две линейно независимые функции x(t)
и y(t)
>
>,
модули которых принимают свои максимальные
значения в одной и той же точке >
>
интервала, причём arg
x(>>)=arg
y(>>).
Тогда
очевидно, >
>.
Чтобы доказать, что >
>>>не
есть строго нормированное пространство,
достаточно взять x(t)=1,
при >
>
и x(t)=0,
при t<0 ,а
y(t)=1-x(t).
Геометрическая интерпретация.
Проблема,
существование решения которой мы ранее
доказали, допускает полезную геометрическую
интерпретацию. Действительно, совокупность
точек вида >
>,
где зафиксированные элементы g>1>,g>2>...g>n>>
>>
>
линейно независимы, а >
>
пробегают всевозможные комплексные
числа, представляют некоторое линейное
многообразие >
>
в том смысле, что из >
>
следует, что >
>
при произвольных комплексных >
>.
Это линейное многообразие, очевидно,
является пространством, так как оно
содержит точку 0. При n=1
мы получаем
“прямую”; при n=2-
“плоскость”, а вообще- “n-
мерную плоскость”.
Наша
проблема, таким образом, состояла в
нахождении точки конечномерного
подпространства G
пространства E,
которая от заданной точки х>>
находится на кратчайшем расстоянии (в
метрике пространства Е). Мы доказали,
что такая точка в G
существует.
Если само пространство Е не является конечномерным, т.е. если в нём имеется сколько угодно линейно независимых между собой векторов, то Е содержит бесконечномерные подпространства. Пусть G- такое подпространство.
Возникает
вопрос, существует ли в G
точка, наименее
удалённая от заданной точки >
>.
Заметим, если пространство Е строго
нормировано, то в G
во всяком случае не может существовать
более одной точки, наименее удалённой
от данной точки >
>.
1.2. Теоремы аппроксимации в пространстве Н.
Пусть G-
некоторое подпространство пространства
Гильберта Н, и пусть точка x>
>-
точка, не
принадлежит G.
Если в G
существует точка y,
наименее удалённая от x,
то вектор x-y ортогонален
к каждому вектору g
из G,
т.е. (x-y, g)=0,
>
>.
Чтобы доказать это утверждение,
предположим, что в G
существует вектор f,
для которого >
>,
и рассмотрим вектор >
>.
Имеем >
>и,
значит: >
>,
а это противоречит предположению,
что
y- есть наименее
удалённая точка от x
подпространства
G.
Вектор y из
G,
обладающий тем свойством, что разность
x-y
ортогональна к G,
естественно назвать проекцией x
на G.
В этом
случае, когда подпространство конечномерно
и образовано линейно независимыми
векторами g>1>,g>2>...g>n>,
мы можем, пользуясь доказанными
предложениями, фактически найти вектор
y=>>,
наименее уклоняющийся от вектора x.
Действительно, вектор y-
есть проекция
x на
G
и, значит, он должен удовлетворять
уравнениям:
>
>
(k=1,2...n) (1),
которые в подробной записи имеют вид:
>
>
(2)
и представляют
систему линейных уравнений, для нахождения
коэффициентов >
>.
Детерминант этой системы, т.е.
>
>
,
носит название детерминанта Грама системы векторов g>1>,g>2>...g>n>.
Так как пространство Н строго нормировано, а векторы g>i> линейно независимы, то при любом векторе x система (2) имеет одно и только одно решение. Отсюда вытекает, что детерминант Грама линейно независимых векторов всегда отличен от нуля.
Найдём ещё
выражение для квадрата погрешности, с
которой вектор y
аппроксимирует
вектор x,
т.е. для величины >
>.
В силу (1), имеем равенство
>
>
или
>
>.
Присоединяя
это уравнение к системе (2) и исключая
>
>,
найдём, что
>
>
, откуда
>
>.
Итак, мы
нашли: >
>
(3)
Из этого
соотношения, и из того, что G(g>1>)=(g>1>,g>1>)>0
>
>
вытекает, что
детерминант Грама всегда больше либо
равен нулю, причём он обращается в нуль
тогда и только тогда, если между векторами
есть линейная зависимость (в частности,
если один из векторов равен нулю).>>
1.3. Первая теорема Вейерштрасса.
Мы рассмотрели теорему аппроксимации в произвольном линейном нормированным пространстве Е. Теперь рассмотрим пример линейного нормированного пространства- пространство С.
Пространство
С: совокупность всех непрерывных функций
x=x(P) от
точки Р в ограниченном замкнутом
множестве >
>
обычного пространства любого числа
измерений- это есть линейное нормированное
пространство.
Из теоремы
в применении к пространству вытекает
следующий факт: пусть f(x)-
непрерывная функция в конечном интервале
[a,b];
тогда при любом n существует
полином >
>,
который среди полиномов n-й
степени наименее уклоняется от
f(x), в том
смысле, что >
>,
где Q>n>(x)-
произвольный полином n-й
степени. Ясно, что >
>.
Теперь
докажем, что >
>
при >
>.
Это утверждение и составляет содержание
теоремы Вейерштрасса (1885), которая
гласит:
если f(x)
непрерывна в
конечном замкнутом интервале [a,b],
то всякому >
>
можно сопоставить полином P>n>(x)
степени n=n(>
>),
для которого во всём интервале [a,b]
имеет место
неравенство >
>.
Не нарушая общности, примем, что а=0, b=1. Приведём доказательство С.П.Бернштейна.
Для этого
построим полином >
>,
>
>
и докажем, что равномерно во всём
интервале [0,1] >
>.
Напишем тождества:
>
>
(1); >
>;
>
>,
из которых последите два получаются
дифференцированием по р соотношения:
>
>.
Из написанных тождеств вытекает, что >
>
(2).
Умножая (1) на f(x) и отнимая B>n>(x), получим, что
>
>,
где суммирование в >
>
распространено на те значения к, для
которых >
>,
а суммирование в >
>-
на остальные значения к.
Так как
f(x) непрерывна
в замкнутом интервале [0,1],
и, значит, ограничена: >
>
во всём этом интервале, то >
>
А это
выражение на основании (2): >
>,
с другой стороны,>
>,
где >
>,
и, значит, >
>
при >
>.
Окончательно:
>
>,
что и доказывает теорему Вейерштрасса.
Заметим,
что если P>n>(x)
равномерно
стремится к f(x) при
>
>,
то f(x) разлагается
в равномерно сходящийся ряд.
>
>
Поэтому
т. Вейерштрасса состоит так же в том,
что всякая непрерывная в конечном
интервале [a,b] функция
f(x)
может быть разложена в равномерно
сходящийся при >
>
ряд, члены которого- полиномы.
1.4. Вторая теорема Вейерштрасса.
Она относится к периодическим непрерывным функциям:
Если F(t)-
непрерывная функция с периодом 2>
>,
то каково бы ни было число >
>,
существует тригонометрическая сумма
>
>,
n=n(>>),
которая для всех t
удовлетворяет
неравенству:
>
>.
II. Круг идей П.Л. Чебышева.
Пусть даны
замкнутый (конечный или бесконечный)
интервал [a,b] числовой
оси и две вещественные непрерывные в
[a,b] функции
f(x) и
S(x).
Составим выражение:>
>
(*), где m и
n заданы
и поставим задачу найти вещественные
параметры p>0>,p>1>...p>m>;
q>0>,q>1>...q>n>
так, чтобы
уклонение >
>
Q(x) от f(x)
было наименьшим.
В частном случае, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен, поставленная задача переходит в задачу о наилучшем приближении в пространстве С заданной функции с помощью многочлена степени n.
Будем
полагать, что m=n-k,
кроме того, если интервалом [a,b]
является вся
числовая ось, мы будем предполагать,
что >
>
и будем рассматривать только те функции,
для которых >
>,
m условимся
считать чётным.
2.1 Обобщённая теорема Валле-Пуссена.
Если
многочлены >
>;
>
>,
где >
>
и >
>,
>
>,
не имеют общего делителя , а выражение
>
>
в интервале [a,b] остаётся
конечным и если разность f(x)-R(x)
принимает в
последовательных точках x>1><x>2><...<x>n>
интервала
[a,b],
отличные от значения >
>
с чередующимися знаками, N=m+n-d+2,
>
>,
то для каждой функции >
>
имеет место неравенство: >
>,
где >
>.
Это же неравенство имеет место, если
R(x)=0 и
N=n+2.
Значение этой теоремы состоит в том, что она даёт возможность получить для погрешности наилучшего приближения некоторую оценку снизу.
Теорема существования.
Среди функций Q(x) существует по крайней мере одна, для которой H>Q>> >имеет наименьшее значение.
Т.о., пусть
Н>
>-
есть нижняя грань множества всех H>Q>.
По определению, следовательно, существует
бесконечная последовательность функций
Q>i>(x),
для которой >
>.
2.2. Теорема Чебышева.
Функция Р(х), которая из всех функций вида Q(x) наименее уклоняется в [a,b] от функции f(x), единственна.
Эта функция
вполне характеризуется таким своим
свойством, если она приведена к виду >
>,
>
>
и >
>,
>
>
и дробь >
>
несократима, то число N
последовательных
точек интервала [a,b],
в котором разность f(x)-P(x)
принимает с
чередующимися знаками значение Н>р>,
не менее, чем m+n-d+2,
где d=>
>,
а если P(x)=0,
то >
>.
Теорема Чебышева показывает, что существует единственная функция P(x), дающая наилучшее приближение к данной функции f(x) (т.е. наименее отклоняется от f(x)) в данном нормированном пространстве.
Случай аппроксимации многочленами.
Особенно важным является частный случай, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен. В этом случае мы получаем теорему:
многочлен
n-й
степени P(x),
который наименее уклоняется (в метрике
пространства С) от заданной непрерывной
функции f(x),
единственен и вполне характеризуется
тем, что число последовательных точек
интервала [a,b],
в которых разность f(x)-P(x)
принимает с
чередующимися знаками значение >
>
не меньше, чем n+2.
2.3 Переход к периодическим функциям.
Допустим,
что >
>-
есть непрерывная периодическая функция
с периодом >
>,
которую нужно наилучшим образом
аппроксимировать на всей оси при помощи
тригонометрической суммы: >
>
порядка n.
Сделаем замену переменной >
>
так, что
интервалу >
>
будет соответствовать интервал >
>.
Т.к. >
>
>
>
и так как >
>
есть многочлены степени к от >
>,
то после преобразования мы получим >
>.
Следовательно, наша задача сводится к
наилучшему (в интервале >
>)
приближению функции F(x)=f(>
>)
при помощи
выражения вида: >
>.
Выражение W>2n>(x)
можно
рассматривать как частный случай
выражения Q(x),
если положить m=0, >
>.
Легко видеть, что общие теоремы применимы,
и теорема Чебышева гласит:
тригонометрическая
сумма n-го
порядка >
>,
которая наименее уклоняется на всей
оси от заданной непрерывной периодической
функции, единственна и вполне
характеризуется тем, что число
последовательных точек интервала >
>
(или какого- нибудь открытого полуинтервала
длиной 2>>),
в которых разность >
>
принимает с чередующимися знаками
значение max|>>|
не меньше, чем
2n+2.
Одну и ту
же функцию f(x) в
(0,>>)
можно разложить в ряд по sin,
по cos,
по sin
и cos,
т.к. если f(x) определена
на (0,>>),
то доопределить f(x) на
>
>
можно бесконечным множеством способов.
Следовательно, задача о разложении f(x)
в ряд имеет
бесчисленное множество решений. Из всех
этих решений выделяются 2:
Если f(x) доопределить чётным образом, то получим ряд только по cos кратных дуг;
Если f(x) доопределить нечётным образом, то получим ряд только по sin.
Пример:
f(x)=x на
>
>
>
>
, >
>
>
>
>
>>>;
>
>>
>>>
>
>;
>
>
Для sin аналогично, только f(x)- нечётная.
2.4 Обобщение теоремы Чебышева.
Мы рассмотрели алгебраические и тригонометрические многочлены на некотором интервале и сформулировали для них теорему Чебышева об аппроксимации этих функций. Теперь рассмотрим произвольную, непрерывную на [a,b] вещественную функцию.
Рассмотрим
систему вещественных непрерывных
функций f>1>(x),f>2>(x)...f>n>(x)
в конечном
или бесконечном интервале [a,b],
которая удовлетворяет условиям Хаара:
единственность полинома наименьшего
уклонения для каждой функции f(P)
будет тогда
и только тогда, когда каждый полином
F(P,x)>
>0
имеет в
ограниченном замкнутом точечном
множестве >
>
не более n-1
различных нулей.
Такую систему называют системой Чебышева относительно интервала [a,b].
Лемма:
Пусть
x>1>,x>2>...x>n-1>
произвольно
взятые различные точки из интервала
[a,b].
В таком случае существует (и с точностью
до постоянного множителя только 1)
нетривиальный полином >
>,
который имеет своими нулями следующие
точки:
>
>
Других
нулей у этого полинома нет, и, если т. x>k>
лежит внутри [a,b],
то при переходе через неё полином F(x,>
>)
меняет знак.
Обобщение:
Если S-
есть система Чебышева относительно
интервала [a,b],
а f(x)-
произвольная непрерывная в [a,b]
вещественная функция, то полином F(x,>>),
который в метрике С наименее уклоняется
в [a,b] от
f(x) вполне
определяется тем, что разность >
>
принимает с чередующимися знаками своё
максимальное значение по крайней мере
в n+1
последовательных точках интервала
[a,b].
Теперь мы можем рассматривать функции в произвольных нормированных пространствах.
III. Методы аппроксимации
3.1 Приближение функций многочленами.
Алгебраическим
многочленом степени n
называется
функция >
>-
действительные числа, называемые
коэффициентами.
Алгебраические
многочлены являются простейшими
функциями. Они непрерывны при любом x.
Производная
многочлена- так же многочлен, степень
которого на единицу меньше степени
исходного. Так, если степень n,
то >
>.
В школьном курсе математики рассматриваются функции f(x)=ax, f(x)=log>a>x, f(x)=sin(x) и др., изучаются их свойства, строятся графики. Однако вопрос о методах вычисления значений названных функций при заданных значениях аргумента не рассматривается. Вместе с тем, он очень важен. Познакомимся с методами приближения функций, или методами аппроксимации.
3.2 Формула Тейлора.
Рассмотрим
функцию y=f(x), определённой
на некотором промежутке, содержащим
т.а. Предположим, что эта функция имеет
производные (n+1)-го
порядка. >
>
Уравнение
касательной к графику функции в т. х=а
имеет вид: >
>.
Многочлен
1-й степени: >
>
в т. х=а совпадает со значением f(x)
в этой точке:
P>1>(a)=f(a).
Многочлен в т. х=а имеет то же значение
производной, что и функция. Действительно,
P>1>’(x)=f’(a),
следовательно, P>1>’(а)=f’(a).
График многочлена Р>1>(х)
касается графика функции y=f(x)
в т. М>0>(а,f’(a)).
Можно найти
многочлен 2-й степени, а именно: >
>,
который в т. х=а будет иметь с функцией
y=f(x) общее
значение и одинаковые значения как
первых, так и вторых производных. График
многочлена Р>2>(х)
вблизи т. х=а ещё теснее будет прилегать
к графику функции y=f(x) по
сравнению с графиком многочлена Р>1>(х).
Естественно ожидать, что многочлен, имеющий при х=а первые n производных, одинаковых с соответствующими производными функции f(x) в той же точке, при х, близких к а, будет хорошо приближать f(x). В этом случае вместо f(x) можно рассматривать указанный многочлен, а для приближённого вычисления f(x) при заданном х достаточно вычислить его значения при том же х.
Этот многочлен получают в результате решения следующей задачи: для функции f(x), имеющей в окрестности т. х=а производные до порядка n+1 включительно, найти многочлен Р>n>(x) степени не выше n такой, что P>n>(a)=f(a); P>n>’(a)=f’(a); P>n>’’(a)=f’’(a);... P>n>(n)(a)=f(n)(a).
Эти равенства
означают, что в т. х=а значения многочлена
Р>n>(x)
и функции
y=f(x),
а так же их соответствующих производных
совпадают. Многочлен P>n>(x)
представим в
виде: >
>.
Коэффициенты >
>
определяются, предварительно найдя его
производные:
>
>
>
>
......................................
>
>
Подставляя в формулы значения х=а, получим:
>
>
>
>...>
>
Из этих равенств находим, что
>
>>>
Получаем искомый многочлен:
>
>.
Обозначим через r>n>(x) разность между функцией f(x) и многочленом P>n>(x).
>
>
>
>
Величину r>n>(x) называет остаточным членом. Видно, что при тех же значениях х, для которых r>n>(x) достаточно мал, вместо f(x) можно рассматривать многочлен P>n>(x).
Оценим
величину остаточного члена r>n>(x).
Запишем его в виде >
>
, где Q(x)-
функция, которую нужно определить.
Формула примет вид: >
>
При фиксированных значениях а и х функция Q(x) имеет определённые значения, которые обозначаются через Q.
Рассмотрим вспомогательную функцию переменной t (a<t<x)
>
>
Применяя
правила дифференцирования алгебраической
суммы и произведения двух функций,
находим производную функции F(t)
по аргументу
t.(x и
а- фиксированные, следовательно, f(x)-
постоянная).
>
>>>Приведя
подобные слагаемые, получим:
>
>
Из формулы функции F(t) видно, что F(x)=0 и F(a)=0. Воспользуемся свойством дифференцируемой функции:
Если
дифференцируемая функция f(x)
обращается в
нуль при х=а и х=b, f(a)=0,
f(b)=0, (a>>b),
то между точками а и b
найдётся по
крайней мере одна т.с, в которой равна
нулю производная данной функции: f’(c
)=0. (т. Ролля).
Геометрически
это означает, если в т. а и b
f(a)=0 и f(b)=0,
то >
>такое,
что в т. С(с,f(c )) касательная
к графику y=f(x) параллельна
оси ОХ.
y
f©
0 a c b X
Корнем или нулём функции называют такое значение аргумента х>0> , при котором функция f(x>0>)=0.
С учётом этого понятия указанное свойство можно сформулировать так: между двумя различными корнями дифференцируемой функции находится хотя бы один корень её производной (т. Ролля).
Поскольку
F(x)=0
и F(a)=0,
то к функции F(t)
можно применить свойство: >
>
>
>
>
>
Так как с
заключено между а и х, то его можно
представить в виде >
>
>
>
Говорят, что это равенство выражает остаточный член формулы в форме Лагранжа. Подставим его в формулу:
>
>Эту
формулу называют формулой Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа.
Если а=0,
то >
>
>
>
Формула Тейлора для функций sinx, cosx, ex
Выведем формулы Тейлора для элементарных функций f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=ex.
Рассмотрим функцию f(x)=sinx. Найдём производную n+1- го порядка.
>
>
Вычислим
значение функции и её производной при
х=0.
>
>
Подставим
эти значения в формулу Тейлора:
>
>
2.Аналогично
находим формулу Тейлора для f(x)=cosx.
>
>>>>
>
>
>
3.Рассмотрим функцию f(x)=ex.
>
>,
>
>...>
>
>
>,
>
>...>
>,
>
>
>
>
4.Рассмотрим
функцию f(x)=(a+x)n
, >
>
>
>>
>
Эту формулу называют биномом Ньютона. Отметим частные случаи:
n=2 (a+x)2=a2+2ax+x2
n=3 (a+x)3=a3+3a2x+3ax2+x3
Приближение функций sinx, cosx, ex алгебраическими многочленами.
В формуле Тейлора для sinx положим n=2m-1
>
>
Остаточный член этой формулы имеет вид:
>
>
Оценим его
модуль. Поскольку >
>Отбрасывая
остаточный член, получим приближённо:
>
>.
Она может быть применена для вычисления
значений функции f(x)=sinx
при заданных
значениях аргумента х. Эти вычисления
сводятся к вычислениям значений
алгебраического многочлена степени
2m-1 >
>.
Следовательно, вместо функции f(x)=sinx
можно
рассматривать алгебраический многочлен,
который приближённо заменяет её. Говорят,
что указанный многочлен приближает
данную функцию. Оценка такого приближения
определяется формулой: >
>
Полагая
n=2m
в формуле для cosx,
аналогично: >
>
, погрешность >
>.
Например,
для приближённой формулы >
>
В случае
функции f(x)=ex,
получаем: >
>
В общем
случае, отбросив остаточный член, получим
приближённую формулу:>
>.
Она позволяет заменить данную функцию
алгебраическим многочленом n-й
степени:
>>>
>
Ряд Тейлора.
Обратимся
к формуле (1). Разность между функцией
f(x)
и её многочленом в правой части называют
отклонением, которое выражается
остаточным членом r>n>(x).Если
в формуле рассматривать всё больше и
больше членов, то может оказаться, что
отклонение стремится к нулю, но не для
всякой функции и не для любого значения
х. Однако существует широкий класс
функций, для которых остаточный член
действительно стремится к нулю при >
>,
по крайней мере для значений, заполняющих
некоторый промежуток, содержащий т.а.
Именно для таких функций формула Тейлора
позволяет вычислить f(x)
с любой степенью
точности. Если >
>,
то из формулы Тейлора следует: >
>
Число слагаемых является неограниченным. Выражение в правой части формулы называют рядом Тейлора, а функцию f(x)- суммой этого ряда.
Ряд Тейлора можно записать в таком виде:
>
>,
при а=0 >
>
Выражение в правой части этой формулы
называют рядом Маклорена. Получаем:
>
>
>
>
>
>
Условие сходимости:
Для
разложения f(x) в
степенной ряд (т.е. в ряд Тейлора),
необходимо и достаточно, чтобы предел
остаточного члена формулы Тейлора был
равен нулю: >
>
Степенной
ряд сходится при любых х или говорят,
что его областью сходимости является
промежуток >
>.
Из этих формул видно, что sin(-x)=-sinx,
т.е. f(x)=sinx-
нечётная
функция.
cos(-x)=cosx, f(x)=cosx- чётная функция.
Примеры разложения функций в степенные ряды.
Степенной
ряд >
>
можно рассматривать как геометрический
с первым членом а=1 и знаменателем q=x.
Если >
>,
т.е. >
>,
то данный ряд сходится. >
>
.
Мы получили
разложение функции >
>
в степенной ряд. Этот ряд сходится при
>
>.
Аналогичными
рассуждениями можно установить, что >
>
сходится при >
>.
Степенной ряд можно почленно
дифференцировать и интегрировать, т.е.
обращаться с ним как с многочленом.
В формуле
(1) заменим x на
t и
проинтегрируем получившийся ряд на
промежутке [0,x]; >
>
>
>,
>
>
>
>
>
>
Так же
заменим x на
t в
формуле (2). Получим: >
>
>
>
Разложение
(3) в степенной ряд сходится при >
>.
Оно может быть использовано для вычисления
логарифмов натуральных чисел. Положим
в формуле (3) >
>,
где n- натуральное
число, 0<x<1, при
любом n ряд
в правой части этой формулы будет
сходится. >
>
>
>
Пользуясь
этой формулой, можно последовательно
вычислить >
>
Обратимся
снова к формуле (2). Полагая >
>,
записываем полученный ряд и интегрируем
его по отрезку [0,x], 0<x<1.
>
>
>
>
>
>
Пусть х=1
в этой формуле >
>
>
>
Можно
приближённо вычислить >
>.
Биномиальный ряд
Разложим в ряд Маклорена функцию
>
>
>
>
>
>
>
>;
>
>В
соответствии с формулой Маклорена:
>
>
Ряд в правой
части называют биномиальным. Можно
доказать, что биномиальный ряд сходится
при >
>,
т.е. областью его сходимости служит
интервал (-1,1). Отметим, что ряд (2) является
частным случаем этого ряда при >
>.
В случае
>
>
формула принимает вид:
>
>
все члены,
начиная с n+1-го
обращаются в 0. В правой части формулы
разложения >
>
их остаётся конечное число, ряд обрывается.
Эта формула при а=1 является частным
случаем бинома Ньютона.
Применение рядов в приближённых вычислениях.
Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые 2 члена с номерами k и k+1 (k=1,2,3..) имеют противоположные знаки.
>
>
Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда выражается следующей теоремой:
Теорема1
Знакочередующийся ряд >
>
сходится, если модуль его членов убывают
с возрастанием номера k
и общий член
стремится к 0, т.е., если выполняются 2
условия:
a>k+1><a>k>, k- нат. число;
>
>
Теорема2 Сумма остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, имеет знак первого оставшегося члена и по модулю не превосходит его модуля.
С помощью рядов можем вычислять приближённо значения логарифмов, корней различной степени, определённых интегралов, тригонометрических функций.
Пусть неизвестное число А каким-то образом представлено сходящимся рядом:
>
>,где
а>1>...а>n>-
некоторые
числа.
Погрешность
при замене А на А>n>
выражается
суммой остатка а>n>=a>n+1>+a>n+2>+...
Т.к. ряд
сходится, то >
>
и поэтому при достаточно большом n
погрешность
станет сколь угодно малой. Другими
словами, искомое А посредством частичной
суммы А>n>
указанного
ряда можно выразить с любой заданной
точностью.
Если ряд знакочередующийся, удовлетворяет условиям признака Лейбница, то сумма остатка имеет знак своего первого члена и по модулю не превышает его.
В случае
ряда с положительными членами >
>
необходимо найти новый ряд >
>с
большими членами >
>,
который бы легко суммировался, и в
качестве оценки для суммы остатка >
>
взять сумму >
>
остатка этого ряда.>
>
3.3. Ряды Фурье.
Мы показали приближение некоторых функций алгебраическими многочленами, теперь покажем, как приближаются функции тригонометрическими многочленами. Инструментом для этого будут ряды Фурье.
Тригонометрическим
рядом называют функциональный ряд вида:
>
>
называют коэффициентами ряда.
Пусть
данный тригонометрический ряд сходится
и его сумма равна f(x). Тогда
>
>.
Тригонометрической
системой функций называют бесконечное
множество функций >
>Эта
система обладает свойствами:
1.Определённый
интеграл по отрезку >
>
от квадрата любой функции отличен от
0, причём
>
>
2. Определённый
интеграл по отрезку >
>
от произведения любых двух различных
функций равен нулю, т.е.
>
>,
>
>,
>
>,
>
>,
>
>
Замечание
1: Система функций >
>
называется ортогональной на отрезке
[a,b],
если
1.>
>
>
>
Видим, что
тригонометрическая система функций
является ортогональной на отрезке >
>.
Будем считать, что выполнено условие, при котором этот тригонометрический ряд можно интегрировать почленно, тогда его коэффициенты определяются формулами:
>
>
>
>
>
>
Тригонометрический ряд, определяемый такими коэффициентами, называется рядом Фурье, а числа a>n>, b>n>- коэффициентами Фурье функции f(x).
Замечание
2: Формулы a>0>
и a>n>
можно объединить
в одну: >
>
При этом
появляется удобство обозначения
начального члена тригонометрического
ряда через a>0>/2,
а не через a>0>.
>
>Замечание
3: Два аналитических выражения могут
совпадать в некотором промежутке, но
не совпадать при этом на всей числовой
прямой.
Пример:
Y
-2>>
f(x)=x, >
>
->>
0 >
>
2>>
Х
>
>;
S(x)- сумма ряда,
>
>
Замечание 4: Тригонометрическим рядом на всей числовой прямой можно представить только периодическую функцию.
Пример:>
>
f(x)- ограничена, непрерывна, монотонна
>
>
а). >
>
>
>
б). >
>
>
>3.
>
>
>>
>
>
Приближение функций тригонометрическими многочленами.
Тригонометрическими
многочленами n-го
порядка называют функцию вида:>
>или
короче:>
>.
Рассмотрим
сумму первых n членов
ряда Фурье: >
>.
Эта сумма
является тригонометрическим многочленом
n-го
порядка, начальный член которого
представлен в виде a>0>/2.
В качестве приближения функции f(x)
с периодом 2>>
тригонометрическим многочленом берут
указанную сумму S>n>(x),
т.е. >
>.
Естественно,
при этом возникает вопрос об ошибке
приближения. Если функция с периодом
2>>
имеет при всех х производную f®(x)
порядка r,
удовлетворяющая
неравенству >
>,
то можно доказать, что ошибка приближения
выражается следующим неравенством: >
>,
где C>r>-
постоянная,
зависящая только от r.
Отсюда видно,
что ошибка стремится к нулю при n
стремящемуся
к бесконечности. Причём тем быстрее,
чем больше производных имеет функция.
Для
аналитических функций оценка будет ещё
лучше. Аналитической в области определения
называют функцию, которая разлагается
в сходящейся к ней степенной ряд в
области определения. Для функция,
аналитических на всей действительной
оси, оценка приближения выражается
неравенством: >
>.С
и g- положительные
постоянные, связанные с f(x),
q<1.
И обратно, если для функции f(x) выполняется это неравенство, то она является аналитической. Можно утверждать: если функция разлагается в сходящийся к ней ряд Фурье, то отсюда ещё не следует, что она аналитическая. Однако f(x) будет аналитической, если уклонение от суммы первых n членов её ряда Фурье имеет оценку, т.е. убывает быстрее члена убывающей геометрической прогрессии.
Чтобы
обеспечить приближение произвольных
непрерывных периодических функций
тригонометрическими многочленами,
пользуются так называемыми методами
суммирования рядов Фурье. В качестве
тригонометрических многочленов,
приближающих функцию, вместо сумм Фурье
рассматривают некоторые их видоизменения.
Один из таких методов состоит в следующем:
для непрерывной периодической функции
находят её ряд Фурье, который может быть
и не сходящимся, а затем составляется
среднее арифметическое первых частичных
сумм этого ряда: >
>,
где >
>.
Среднее
арифметическое >
>
называют суммой Фейера n-го
порядка, соответствующей данной функции
f(x).
Название этих сумм дано в честь венгерского
математика Липота Фейера (1880-1959), который
первым предложил указанный метод. Он
доказал, что >
>,
если f(x)-
непрерывная функция.
Заключение.
Теорией приближения функций многочленами занимались такие математики, как Эйлер, Лаплас, Фурье, Понселе, и, наконец, Чебышев.
У Чебышева, который приступил к задаче о наилучшем устройстве параллелограмма Уатта, возникли математические вопросы, о которых в то время знали очень мало. Для решения он разработал метод, названный французским математиком Жозефом Бертраном (1822-1900) чудом анализа. Этот метод сохранил своё значение и после того, как паровые машины, а вместе с ними и параллелограмм Уатта, отошли на задний план. Созданная Чебышевым теория приближения функций интенсивно развивалась и развивается сейчас в трудах российских и иностранных учёных. В терминах этой теории отражена одна из фундаментальных идей математики- приближение (замена) сложных объектов более простыми и удобными. Эта идея является основной в вопросах взаимосвязей математики и практики, что стимулировало развитие теории приближения функций в прошлом и, надо полагать, обеспечит к ней интерес в будущем.
Вообще теория аппроксимации непрерывных функций многочленами играет очень большую роль в математики, так же в решении технических проблем. Этот вопрос ещё до конца не исчерпан и новые открытия ждут своего часа.
Литература
Ефимов Н.В., Высшая геометрия, М., “Наука”, 1971.
Постников М.М., Аналитическая геометрия, М., “Наука”, 1973.
Розенфельд Б.А., Многомерные пространства, М., “Наука”, 1966.
Розенфельд Б.А., Неевклидовы пространства, М., “Наука”, 1969.
Сазанов А.А., Четырехмерный мир Минковского, М., “Наука”, 1988.
Яглом И.М., Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия, М., “Наука”, 1969.