Эквивалентность элементарных функций
Киевский национальный университет им. Т.Г. Шевченко
Реферат
Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару
студента группы ТК
четвертого курса
Польщи М.В.
Научный руководитель: профессор Лисовик Леонид Петрович
Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s1, In>m>, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.
Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.
L>1> Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.
L>2> Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x-y, 2x ,S, а также конечного применения операции суммирования.
L>3> Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x-y, x*y, 2x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.
L>4> Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x-y, x+y 2x ,S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.
L>5> Класс функций, получаемый из функций s1, In>m>, x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.
Доказательство будем проводить по следующей схеме:
1. L>1>L>2>L>3>L>4>L>1>
2. L>1>L>5>
3. L>5>L>3>
Докажем, что L>1>L>2> (для этого выразим 2x через функции L>1> )
>
>
Докажем, что L>2>L>3> (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L>2> )
>
>
Пусть
>
>
тогда
>
>
>
>
Докажем, что L>3>L>4> (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L>3> )
>
>
Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.
>
>
Пусть
>
>
тогда
>
>
Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.
Докажем, что L>4>L>1> (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L>4>)
Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.
>
>
Где (x,y)-к-ступенчатая функция.
Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.
>
>
Докажем, что L>1>L>5> (для этого выразим x*y через функции L>5> )
>>
Докажем, что L>5>L>3> (для этого выразим 2x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L>5> )
>
>
Пусть
>>
тогда
>
>
Эквивалентность классов доказана.
1999 р.