Высшая математика (работа 3)

Высшая математика

Содержание

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

Задание №3. Вопрос №1.

Задание №12. Вопрос №9.

Задание №13. Вопрос №2.

Задание №18. Вопрос №9

Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Задание №12. Вопрос №9.

Задание №14. Вопрос №2.

Задание №15. Вопрос №6.

Задание №18. Вопрос №9.

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Задание №9. Вопрос №8.

Задание №11. Вопрос №6.

Задание №15. Вопрос №1.

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Задание №9. Вопрос №8.

Задание №11. Вопрос №6.

Задание №15. Вопрос №1.

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

_>>	машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.
_>>	машин с водителями ежедневно уходят в рейс.
_>>	водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
_>>	количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.
_>>	дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Ответ: Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь _>> свободных дней.

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=Q_>D>(P) и предложения Q=Q_>S>(P) и найдите координаты точки равновесия, если _>>, _>>.

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=Q_>D>(P) и предложения Q=Q_>S>(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

С осью OP (Q=0):

С осью OQ (P=0):

Для Q=Q_>S>(P):

Для Q=Q_>D>(P):

_>>

Т.к. функции Q_>S>(P) и Q_>D>(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:

_>>, из этой системы получаем: _>>

_>>

_>>, тогда _>>, значит координаты т.M_>>.

Ответ: Координаты точки равновесия равны _>>, _>>

Задание №12. Вопрос №9.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:

Решение:

_>>

Ответ: Производная заданной функции равна _>>

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение

числа: _>>

Решение:

_>>

Ответ: Приближенное значение заданного числа равно 1,975.

Задание №18. Вопрос №9

Исследуйте функцию и постройте ее график: _>>

Решение:

Область определения данной функции: _>>.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY _>>:

С осью OX _>>:

_>>

_>>, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.

_>>

Точка пересечения: _>>

Точки пересечения: _>>, _>>

Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.
Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: _>>, где:

_>>т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: _>>, т.е. _>>- уравнение горизонтальной асимптоты.

Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную:

_>>

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. _>>:

_>>, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. _>>, отсюда _>>, следовательно _>>, значит точка _>> - точка экстремума функции.

На участке_>> производная _>> > 0, значит, при _>>, заданная функция возрастает.

На участке_>> производная _>> < 0, значит, при _>>, заданная функция убывает (рис 2.).

Следовательно _>> - точка максимума заданной функции _>>.

Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную:

_>>

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. _>>:

_>>, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. _>>, значит _>>, тогда _>>, отсюда _>>

Отсюда _>>, _>>.

На участке_>> производная _>>>0, значит это участок вогнутости графика функции.

На участке _>> производная _>> >0,

значит это тоже участок вогнутости графика функции.

Следовательно, при_>> график заданной функции является вогнутым.

На участке_>> производная _>><0, значит, при _>> график заданной функции является выпуклым (рис. 3).

Следовательно, точки _>>, _>> - точки перегиба графика заданной функции _>>.

Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Фирма производит товар двух видов в количествах_>> и_>>. Задана функция полных издержек _>>. Цены этих товаров на рынке равны _>> и _>>. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.

_>>, _>>, _>>

Решение:

Пусть _>> - функция прибыли, тогда

_>>

Найдем первые частные производные функции _>>:

_>>, _>>. Найдем стационарные точки графика функции _>>. Для этого решим систему:

_>>

Следовательно _>>- стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого

введем обозначения: _>>, _>>, _>>,

тогда _>>, _>>, _>>, _>>. Т.к. _>>> 0, то экстремум есть, а т.к. _>>< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска _>>и _>>, достигается максимальная прибыль равная:

_>>

Ответ: _>> и достигается при объемах выпуска _>>и _>>.

Задание №12. Вопрос №9.

Вычислить неопределенный интеграл: _>>

Решение:

_>>

Ответ: _>>

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) _>>.

Решение:

_>>

Ответ: Данный несобственный интеграл – расходящийся.

Задание №15. Вопрос №6.

Решить уравнение _>>

Решение:

_>>. Разделив обе части на _>>, получим _>>. Проинтегрируем полученное уравнение _>>. Представим _>>, как _>>, тогда

_>>

Ответ: Решением данного уравнения является _>>.

Задание №18. Вопрос №9.

Найти общее решение уравнения: _>>

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: _>>, тогда _>>, следовательно _>>, _>>, тогда

фундаментальную систему решений образуют функции:

_>>, _>>

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений _>> и _>>, возьмем _>>, _>>, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: _>>

Представим правую часть уравнения, как _>> и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:

_>>. Имеем _>>, _>>, тогда т.к. _>> - многочлен второй степени, то общий вид правой части: _>>. Найдем частные решения:

_>>, _>>, _>>

_>>

Сравним коэффициенты при _>> слева и справа, найдем _>>, решив систему:

_>>, отсюда _>>.

Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: _>>.

Ответ: _>>.

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел: _>>.

Решение:

_>>.

Ответ: Заданный предел равен _>>.

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:

_>>.

Решение:

Область определения данной функции: _>>.
Т.к. точка _>> не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. _>> и _>>, следовательно, уравнение _>> – уравнение вертикальной асимптоты.
Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: _>>, где:

_>>

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид: _>>.

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем

точки пересечения наклонной асимптоты _>> с осями

координат:

С осью OX: точка_>>,

с осью OY: точка_>>

Ответ: _>> и _>> – уравнения асимптот заданной функции.

Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите: _>>.

Решение:

Т.к. по определению производная функции _>> в точке _>> вычисляется по формуле _>>, тогда приращение _>> в точке _>>: _>>.

Следовательно _>>.

Ответ:_>>.

Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя: _>>.

Решение:

_>>.

Ответ: Заданный предел равен _>>.

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке _>> уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: _>>.

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции _>> в точке _>> имеет вид: _>>. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: _>>. Подставив в полученное уравнение координаты точки _>> вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:

_>>

_>>.

Ответ: Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке _>> имеет вид _>>.

Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции _>> в области: _>>.

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.

Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:

_>>, точка _>> не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями _>> и _>>. Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:

_>>, тогда _>>, _>>, следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

_>>

Эта система имеет четыре решения:

_>>, _>>, _>>	Точка _>> – точка условного максимума, при этом функция _>>.
_>>, _>>, _>>	Точка _>> – точка условного максимума, при этом функция _>>.
_>>, _>>, _>>	Точка _>> – точка условного минимума, при этом функция _>>.
_>>, _>>, _>>	Точка _>> – точка условного минимума, при этом функция _>>.

_>>, тогда _>>, _>>,

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:

_>>

Эта система также имеет четыре решения:

_>>, _>>, _>>	Точка _>> – точка условного максимума, при этом функция _>>.
_>>, _>>, _>>	Точка _>> – точка условного максимума, при этом функция _>>.
_>>, _>>, _>>	Точка _>> – точка условного минимума, при этом функция _>>.
_>>, _>>, _>>	В точке _>> – точка условного минимума, при этом функция _>>.

Следовательно, заданная функция _>> в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках _>> и _>> и наименьшего в точках _>> и _>> при этом графики функций _>> и _>> касаются окружности _>> в точках _>>, _>> и _>>, _>> соответственно (см. рис.6).