Теория устойчивости (работа 2)
Введение
Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.
Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.
1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.
Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
x’ = f ( t , x )
(1)
с начальными условиями x ( t>0 >) = x>0 > (2)
где x =
( x>1>,
x>2>,
... , x>n>
) - n - мерный вектор; t Î
I = [t>0>,
+ ¥
[ - независимая переменная, по
которой производится дифференцирование;
f ( t, x ) = ( f>1> ( t , x ) , f>2> ( t , x ) , ... , f>n> ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.
Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t>0> ) = x>0>. С целью упрощения все рисунки п. 10 ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.
x
0 t
Рис.1
Так как
задача теории устойчивости впервые
возникла в механике, то переменную t
принято интерпретировать как время, а
искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение
точки в зависимости от времени в
пространстве Rn+1
(рис.1)
Пусть
задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности.
Тогда через каждую точку ( t>0
>, x>0
>) области единственности решений
проходит только одна интегральная
кривая. Если начальные данные ( t>0>
, x>0> )
изменяются, то изменяется и решение.
Тот факт, что решение зависит от начальных
данных, обозначается следующим образом:
x ( t ) = x ( t ; t>0>
, x>0> ).
Изменение этого решения в данной
математической модели с изменением
начальных данных ( t>0>
, x>0>
) приводят к существенному изменению
решения x ( t ; t>0>
, x>0> )
, приводит к тому, что такой моделью
нельзя пользоваться, поскольку начальные
данные ( t>0>
, x>0> )
получаются из опыта, а изменения не
могут быть абсолютно точными. Естественно,
что в качестве математической модели
пригодна лишь та задача Коши, которая
устойчива к малым изменениям начальных
данных.
Определим
понятие устойчивости, асимптотической
устойчивости и неустойчивости в смысле
Ляпунова. Для этого отклоение решения
x ( t ) = x ( t ; t>0>
, x>0> ) ,
вызванное отклонением D
x>0>
начального значения x>0>
, будем записывать следующим образом:
|
x ( t ; t>0>
, x>0 >+
D
x>0 >)
- x ( t ) | = | x ( t ; t>0>
, x>0 >+
D
x>0 >)
- x ( t ; t>0>
, x>0 >)
|.
Определение
1. Решение x ( t ) =
x ( t ; t>0>
, x>0> )
системы (1) называется устойчивым по
Ляпунову в положительном направлении
(или устойчивым), если оно непрерывно
по x>0> на
интервале I = = [ t>0>,
+ ¥
[ , т.е. "
e
> 0 $
d > 0 такое, что
"
D
x>0 >
|
D
x>0>
| £
d
Þ
| x ( t ; t>0>
, x>0 >+
D
x>0 >)
- x ( t ) | £
e
"
t ³
t>0>.
Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ® + ¥ для достаточно малых D x>0> , т.е. $ D > 0 " D x>0>.
|
D
x>0>
| £
D
Þ
| x ( t ; t>0>
, x>0 >+
D
x>0 >)
- x ( t ) | ®
0 , t ®
+ ¥
. (3)
то решение
x ( t ) системы (1) называется асимптотически
устойчивым в положительном направлении
(или асимптотически устойчивым).
Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.
Комментарий
к определению 1. 1) Геометрически
устойчивость по Ляпунову решение х ( t
) можно интерпритировать следующим
образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t>0>
, x>0 >+
D
x>0 >) ,
близкие в начальный момент t>0>
к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в
пределах d - трубки
) , не выходят за пределы e
- трубки при всех значениях t ³
t>0>
.
x
0 t
Рис.2
2)
Асимптотическая устойчивость есть
устойчивость с дополнительным условием
(3) : любое решение x>1>
( t ) , начинающееся в момент t>0>
в D - трубке, с течением
времени неограниченно приближается к
решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса D
называется областью притяжения решения
x ( t ). Решение x>2>
( t ), начинающееся при t = t>0>
за пределами области притяжения,
но в пределах d -
трубки, не покидает e
- трубку, хотя может и не приближаться
к решению x(t).
Определение
2. Решение x ( t ) = x ( t ; t>0>
, x>0> )
системы (1) называется неустойчивып по
Ляпунову в положительном направлении
(или неустойчивым), если оно не является
устойчивым в положительном направлении.
Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.
Комментарий
к определению 2. Геометрически
неустойчивость по Ляпунову означает,
что среди решений, близких в начальный
момент t>0>
к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно,
которое в некоторый момент t>1>
( свой для каждого такого решения) выйдет
за пределы e - трубки
(рис.3).
Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.
Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.
x
0 t
Рис.3 Рис.4
Исследование
устойчивости произвольного решения x
( t ) системы (1) всегда можно свести к
исследованию устойчивости нулевого
решения некоторой преобразованной
системы. Действительно, в системе (1)
произведем подстановку y ( t ) = x - x (t).
Тогда получим систему
y’
= F ( t, y ). (4)
где
F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F
(t, 0) º
0 "
t ³
t>0>.
Решению
x ( t ) системы (1) соответствует нулевое
решение y (t) º 0 системы
(4).
В
дальнейшем будем предполагать, что
система (1) имеет нулевое решение, т.е. f
( t , 0 ) = 0 "
t ³
t>0>, и
ограгничимся исследованием устойчивости
нулевого решения. Переформулируем
определения различных типов устойчивости
для нулевого решения x ( t ) º
0 системы (1).
Определение
3. Нулевое решение x ( t ) º
0 системы (1) называется устойчивым по
Ляпунову в положительном направлении
(или устойчивым), если "
e
> 0 $
d
= d
( e ) > 0 такое,
что "
x>0>
| D x>0> | £ d Þ | x ( t ; t>0> , x>0 >) | £ e " t ³ t>0>.
Если кроме того,
$
D
> 0 "
x>0>
| D
x>0>
| £
D
Þ
| x ( t ; t>0>
, x>0 >)
| ®
0 , t ®
+ ¥
,
то
решение x ( t ) º 0
системы (1) называется асимптотически
устойчивым в положительном направлении
( или асимптотически устойчивым ) .
Определение
4. Нулевое решение x ( t ) º
0 системы (1) называется неустойчивым
по Ляпунову в положительном направлении
(или неустойчиво), если оно не является
устойчивым в положительном направлении,
т.е.
$
e > 0 $
t>1> > t>0> "
d > 0 x>0> ¹
0 | x>0> | £ d
Þ | x ( t ; t>0> ,
x>0 >) | > e .
Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) º 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.
x
t
0
Рис.5
x
t
0
Рис.6
x
t
0
Рис.7
2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.
Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :
dx
/ dt = f ( x ). (5)
Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Пусть
x = x ( t ) - есть решение системы (5).
Направленная кривая g
, которую можно параметрически задать
в виде x>i>
= x>i> ( t
) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией
(фазовым графиком) системы (5) или
траекторией решения x = x ( t ). Пространство
Rn с
координатами ( x>1>
, ... , x>n>
), в котором расположены траектории
системы (5), называется фазовым пространством
автономной системы (5). Известно, что
интегральные кривые системы (5) можно
параметрически задать в виде t = t , x>1>
= x>1>
( t ), ... , x>n>
= x>n> ( t
). Следовательно, интегральная кривая
принадлежит пространству Rn+1
с координатами ( t , x>1
>, x>2>
, ... , x>n>
) , а траектория является проекцией
интегральной кривой на пространство
Rn параллельно
оси t. Проиллюстрируем это для случая n
= 2 , т.е. когда Rn+1
- трехмерное пространство, а фазовое
пространство Rn
- двумерная плоскость. На рис.8,а изображена
интегральная кривая, заданная
параметрическими уравнениями t = t, x>1>
= x>1>
( t ) , x>2>
= x>2 >( t
), на рис.8,б - ее проекция на плоскость,
т.е. траектория, заданная параметрическими
уравнениями x>1>
= x>1>
( t ) , x>2>
= x>2 >( t
). Стрелкой указано направление возрастания
параметра t.
x>2 >x>2>
0 t 0 x>1>
x>1 >
а) Рис.8 б)
Определение
5. Точка ( a>1>,
a>2>
, ... , a>n>
) называется точкой покоя (положением
равновесия) автономной системы (5), если
правые части f>1>
, f>2>
, ... , f>n>
системы (5) обращаются в этой точке в
нуль, т.е. f (a) = 0,>
>где a = ( a>1
>, a>2>
, ... , a>n>
) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .
Если
( a>1>
, ... , a>n>
) - точка покоя, то система (5) имеет
постоянное решение x ( t ) = a. Как известно,
исследование устойчивости любого, а
значит, и постоянного решения a можно
свести к исследованию устойчивости
нулевого решения. Поэтому далее будем
считать, что система (5) имеет нулевое
решение x ( t ) º 0 ,
т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с
началом координат фазового пространства
Rn. В
пространстве Rn+1
точке покоя соответствует нулевое
решение. Это изображено на рис.8 для
случая n = 2.
Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.
Дадим
геометрическую интерпретацию устойчивого,
асимптотически устойчивого и неустойчивого
начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для
этого следует спроектировать аналоги
рис.5-7 в двумерном случае на фазовую
плоскость R2,
причем проекциями e
- трубки и d - трубки
являются окружности с радиусами e
и d . Начало x = 0
устойчиво, если все траектории,
начинающиеся в пределах d
- окружности, не покидают e
- окружность "
t ³
t>0>
(рис.9) ; асимптотически устойчиво, если
оно устойчиво и все траектории,
начинающиеся в области притяжения D
, стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво,
если для любой e -
окружности и всех d
> 0 существует хотя бы одна траектория,
покидающая ее (рис.11).
Нормальная
система линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами,
имеющая вид
dx / dt = A x, (6)
где A - постоянная матрица размера n ´ n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.
x>2>
0 x>1>
Рис.9
x>2>
0 x>1>
Рис.10
x>2>
0 x>1>
Рис.11
3. Простейшие типы точек покоя.
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
æ dx / dt = P ( x , y ),
í (A)
î dy / dt = Q ( x , y ).
Точка ( x>0 >, y>0> ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x>0> , y>0> ) = 0 , Q ( x>0> , y>0> ) = 0.
Рассмотрим систему
æ dx / dt = a>11> x + a>12> y,
í (7)
î dy / dt = a>21> x + a>22> y.
где a>ij> ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде
x = a >1 >e k t , y = a >2 >e k t . (8)
Для определения k получаем характеристическое уравнение
a>11
>- k a>12>
= 0. (9)
a>21> a>22> - k
Рассмотрим возможные случаи.
I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :
1) k>1> < 0, k>2> < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k>1> > 0, k>2> > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k>1> > 0, k>2> < 0. Точка покоя неустойчива (седло).
4) k>1> = 0, k>2> > 0. Точка покоя неустойчива.
5) k>1> = 0, k>2> < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.
II. Корни характеристического уравнения комплексные : k>1> = p + q i, k>2> = p - q i. Подслучаи :
1) p < 0 , q ¹ 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).
2) p > 0 , q ¹ 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).
3) p = 0, q ¹ 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.
III. Корни кратные: k>1 >= k>2> . Подслучаи :
1) k>1> = k>2> < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k>1> = k>2> > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k>1> = k>2> = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.
Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
dx>i> >n>
= å
a>i j >x>j>
( i = 1 , 2 , ... , n ) (10)
dt i=1
характеристическим
уравнением будет
a>11
>-
k a>12> a>13 >... a>1n>
a>21> a>22 >- k a>23> ... a>2n> = 0. (11)
. . . . . . . .
a>n1> a>n2> a>n3> ... a>nn >- k
1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x>i> ( t ) º 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.
2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k >i >= p >i> > 0, то точка покоя x>i> ( t ) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.
3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x>i> ( t ) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.
Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами
.
æ x = a>11> x + a>12> y,
í . (12)
î y = a>21> x + a>22> y
характеристическое уравнение (9) приводится к виду
k2 + a>1> k + a>2> = 0.
1) Если a>1> > 0 , a>2> > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.
2) Если а>1> > 0 , a>2> = 0, или a>1> = 0 , a>2> > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a>1> = a>2> = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
4. Критерий устойчивости Михайлова.
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.
А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D ( l ) = l n + a>1> l n-1 + a>2> l n-2 + ... + a>n> = 0. (13)
Зная его корни l >1> , l >2> , ... , l >n> , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде
D ( l ) = ( l - l >1> ) ( l - l >2> ) ... ( l - l >n> ). (14)
Im Im
0 Re 0 Re
а) б)
Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :
а - для двух корней l и l >i> ;
б - для четырех корней l >1> , l ‘>1> , l >2> , l ‘>2>
Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( l - l >i> ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что l = j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от - ¥ до + ¥ векторы j w - l >1> и j w - l ‘>1> комплексных корней l и l ‘>1> повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w - l >2> и j w - l ‘>2> повернутся > >по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p . Таким образом, приращение аргумента arg( j w - l >i> ) для корня характеристического уравнения l >i >, находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p . Приращение результирующего аргумента D arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит
D arg D( j w ) = ( n - m ) p - m p = ( n - 2m ) p . (15)
- ¥
< w
< ¥
для левой для правой
полуплоскости полуплоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D ( j w ) = ( j w )n + a>1> ( j w )n-1 + a>2 >( j w )n-2 + ... + a>n> (16)
содержит лишь четные степени w , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому
arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ), (17)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до ¥ . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена
D arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2 . (18)
0 £ w < ¥
Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента
D arg D( j w ) = n p / 2 . (19)
0 £ w < ¥
На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).
j V’ j V’
0 U’ 0 U’
а) б)
Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах
Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.