Интеграл Пуассона (работа 2)
Интеграл Пуассона
Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку
>
>
f*g(x)
=>>>
>dt>>
>
>
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и
c>n >( f*g ) = c>n> ( f )× c>n> ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )
где { c>n> ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
c>n>
= >
>-i
n tdt
, n = 0, ±1,
±2,¼
Пусть ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию
¦>r>
( x ) = >
>>n>
( f ) r| n
|
ei n x
, x Î
[ -p, p ] , ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦>r> (х) равны
c>n>
( f>r> )
= c>n> ×
r|
n |
, n = 0 , ±1,
±2, ¼ ,
а это согласно (1) значит, что ¦>r
>(
x )
можно представить в виде свертки :>>
¦>r>
( x ) = >
>
, ( 3 )
где
>
>
, t
Î
[ -p, p ] .
( 4 )
Функция двух переменных Р>r> (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
>>>
>>>
Следовательно,
P>r>
( t ) = >
>
, 0 £ r
<
1
, t Î
[ -p, p] . ( 5 )
Если ¦Î L1 ( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что
c>-n >( f ) = `c>n>( f ) , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :
f>r>
( x ) = >
>
=>
>
,
( 6 )
где
F ( z ) =
c>0> ( f
) + 2 >
>
( z = reix )
( 7 )
аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦>r> (eix ) , z = reix , 0 £ r <1 , x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) =
>
>
. ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (eix) , xÎ[ -p, p ] . Тогда
u (z) = >
>
( z = reix
, |
z |
<
1
) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона P>r> (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
>
>
=>
>,
|
z |
<
1+
e
.
Но тогда
>
>
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦>r >(x) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) >
>
;
б) >
>
;
в) для любого d>0
>
>
Соотношения
а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для
доказательства б) достаточно положить
в (2) и (3) ¦ (х)
º 1.>>
Теорема 1.
Для
произвольной (комплекснозначной) функции
>
>(
-p,
p
) , 1 £
p < ¥
, имеет место
равенство>>
>
>
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то
>
>.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
>
>
( 12 )
Для любой
функции >
>
, пользуясь неравенством Гельдера и
положительностью ядра Пуассона , находим
>>
>
>>>
>
>.
Следовательно,
>
>>
>.
Для данного
e >
0
найдем d = d
(e)
такое, что >
>.
Тогда для r
, достаточно близких к единице, мы
получим оценку
>>>
>>
>.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
>
>>>.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть
функция >
>
суммируема на любом интервале (-А, А), А
> 0 . Максимальной
функцией для функции >
>
называется функция
>
>
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор
>
>
называется оператором слабого типа
(р,р) , если для любого y >
0
>
>
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть >
>-
комплекснозначная функция из >
>
. Тогда
>
>
для
п.в. >
>.
Доказательство.
Покажем,
что для >
>
и >
>
>
>
,
( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
>
>
(К - абсолютная константа).
Пусть
>
>-
такое число, что
>
>.
Тогда
для >
>
>
>
>
>>>
>
>
>
>.
Неравенство
(13) доказано. Используя затем слабый тип
(1,1) оператора >
>,
найдем такую последовательность функций
>
>
,что
>
>,
>
>
(
14 )
>
>
для
п.в. >
>.
Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)
>
>
>
>
Учитывая
, что по теореме 1 >
>
для каждого xÎ
[-p,
p]
и (14)
Из последней оценки получим
>
>
при
n®¥.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя
вместо (13) более сильное неравенство
(59), которое мы докажем позже, можно
показать, что для п.в. xÎ
[-p,
p]
>
>,
когда точка reit
стремится к
eix
по
некасательному к окружности >
>
пути.
Мы считаем
, что f (x)
продолжена с
сохранением периодичности на отрезок
[-2p,2p]
(т.е. >
>
f
(x) = f (y) ,
если x,y Î
[-2p,2p]
и
x-y=2p)
и f
(x) = 0
, если |x|
>
2p
.