Подсказка по алгебре (работа 1)

Подсказка по алгебре

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)²=a²±2ab+b²

(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

a²-b²=(a+b)(a-b)

a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+...+an-1)

ax²+bx+c=a(x-x>1>)(x-x>2>)

где x>1> и x>2> — корни уравнения

ax²+bx+c=0

Степени и корни :

ap·ag = ap+g

ap:ag=a p-g

(ap)g=a pg

ap /bp = (a/b)p

ap×bp = abp

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

pÖa =b => bp=a

pÖapÖb = pÖab

Öa ; a = 0

Квадратное уравнение

ax²+bx+c=0; (a¹0)

x>1,2>= (-b±ÖD)/2a; D=b² -4ac

D>0® x>1>¹x>2> ;D=0® x>1>=x>2>

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x>1>+x>2> = -b/a

x>1>× x>2> = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x>1>+x>2 >= -p

x>1>×x>2> = q

Если p=2k (p-четн.)

и x²+2kx+q=0, то x>1,2> = -k±Ö(k²-q)

Нахождение длинны отр-ка по его координатам

Ö((x>2>-x>1>)²-(y>2>-y>1>)²)

Логарифмы:

log>a> x = b => ab = x; a>0,a¹0

a loga x = x, log>a>a =1; log>a> 1 = 0

log>a> x = b; x = ab

log>a> b = 1/(log >b> a)

log>a>xy = log>a>x + log>a> y

log>a> x/y = log>a> x - log>a> y

log>a> xk =k log>a> x (x >0)

log>a>k x =1/k log>a> x

log>a> x = (log>c> x)/( log>c>a); c>0,c¹1

log>b>x = (log>a>x)/(log>a>b)

Прогрессии

Арифметическая

a>n> = a>1> +d(n-1)

S>n> = ((2a>1>+d(n-1))/2)n

Геометрическая

b>n> = b>n-1> × q

b2>n> = b>n-1>× b>n+1>

b>n> = b>1>×qn-1

S>n> = b>1> (1- qn)/(1-q)

S= b>1>/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) = cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a + 2pk) = cos a

sin (a + 2pk) = sin a

tg (a + pk) = tg a

ctg (a + pk) = ctg a

sin² a + cos² a =1

ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ

tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ

1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2

1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹ p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ¹ p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 =

= 1-2 sin²a

tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a)

1+ cos a = 2 cos² a/2

1-cosa = 2 sin² a/2

tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin² a/2 = (1 - cos a)/2

cos²a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a

a¹ p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

>sin (x+y)>

tg x + tg y = —————

cos x cos y

> sin (x - y) >

tg x - tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ½(cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ½(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ½(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)> >

>cos x = >>(>>1-tg>2> 2/x>>)/>> >>(>>1+ tg² x/2>>)>

>sin2x = (2tgx)/(1+tg>2>x)>

>sin²>>a>> = 1/(1+ctg²>>a>>) = tg²>>a>>/(1+tg²>>a>>)>

>cos²>>a>> = 1/(1+tg²>>a>>) = ctg²>>a>> / (1+ctg²>>a>>)>

>ctg2>>a>> = (ctg²>>a>>-1)/ 2ctg>>a>

>sin3>>a>> = 3sin>>a>> -4sin³>>a>> = 3cos²>>a>>sin>>a>>-sin³>>a>

>cos3>>a>> = 4cos³>>a>>-3 cos>>a>>=>> >

>= >>cos³>>a>>-3cos>>a>>sin²>>a>

>tg3>>a>> = (3tg>>a>>-tg³>>a>>)/(1-3tg²>>a>>)>

>ctg3>>a>> = (ctg³>>a>>-3ctg>>a>>)/(3ctg²>>a>>-1)>

>sin >>a>>/2 = >>±Ö>>((1-cos>>a>>)/2)>

>cos >>a>>/2 = >>±Ö>>((1+cos>>a>>)/2)>

>tg>>a>>/2 = >>±Ö>>((1-cos>>a>>)/(1+cos>>a>>))=>

>sin>>a>>/(1+cos>>a>>)=(1-cos>>a>>)/sin>>a>

>ctg>>a>>/2 = >>±Ö>>((1+cos>>a>>)/(1-cos>>a>>))=>

>sin>>a>>/(1-cos>>a>>)= (1+cos>>a>>)/sin>>a>

>sin(arcsin >>a>>) = >>a>

>cos( arccos >>a>>) = >>a>

>tg ( arctg >>a>>) = >>a>

>ctg ( arcctg >>a>>) = >>a>

>arcsin (sin>>a>>) = >>a>> ; >>aÎ>> [->>p>>/2 ; >>p>>/2]>

>arccos(cos >>a>>) = >>a>> ; >>a>> >>Î>> [0 ; >>p>>]>

>arctg (tg >>a>>) = >>a>> ; >>a>> >>Î>>[->>p>>/2 ; >>p>>/2]>

>arcctg (ctg >>a>>) = >>a>> ; >>a>> >>Î>> [ 0 ; >>p>>]>

>arcsin(sina)=>

>1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]>

>2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]>

>arccos (cosa) =>

>1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p]>

>2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk]>

>arctg(tga)= a-pk>

>aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)>

>arcctg(ctga) = a -pk>

>aÎ(pk; (k+1)p) >

>arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =>

>= arctg a/Ö(1-a²)>

>arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=>

> = arc ctga/Ö(1-a²)>

>arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =>

>= arcsin a/Ö(1+a²)>

>arc ctg a = p-arc cctg(-a) =>

>= arc cos a/Ö(1-a²)>

>arctg a = arc ctg1/a =>

>= arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²)>

>arcsin a + arccos = p/2>

>arcctg a + arctga = p/2>

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)n> >arcsin m + pk, kÎ Z

sin x =1 sin x = 0

x = p/2 + 2pk x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos m + 2pk

cos x = 1 cos x = 0

x = 2pk x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg

cos x/2 = (1-t²)/(1+t²)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

log>a>f(x) >(<) log >a> j(x)

1. a>1, то : f(x) >0

j(x)>0

f(x)>j(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

j(x)>0

f(x)<j(x)

3. log >f(x)> j(x) = a

ОДЗ: j(x) > 0

f(x) >0

f(x ) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - Ö3 cos x = 0

2sin x cos x -Ö3 cos x = 0

cos x(2 sin x - Ö3) = 0

....

2. Решения заменой ....

3.

sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin a ³ m

2pk+a>1> = a = a>2>+ 2pk

2pk+a>2> = a= (a>1>+2p)+ 2pk

Пример:

I cos (p/8+x) < Ö3/2

pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk

2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;

II sin a = 1/2

2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk

cos a ³(=) m

2pk + a>1> < a< a>2>+2 pk

2pk+a>2>< a< (a>1>+2p) + 2pk

cos a ³ - Ö2/2

2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk

tg a³(=) m

pk+ arctg m =a= arctg m + pk

ctg ³(=) m

pk+arcctg m < a< p+pk

Производная:

(xn)’ = n× xn-1

(ax)’ = ax× ln a

(lg ax )’= 1/(x×ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = - 1/sin²x

(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²)

(arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x²)

(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²)

(arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x²)

Св-ва:

(u × v)’ = u’×v + u×v’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²

Уравнение касательной к граф.

y = f(x>0>)+ f ’(x>0>)(x-x>0>)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X>0>, f(x>0>), f ‘ (x>0>), выразим х

Интегралы :

ò xn dx = xn+1/(n+1) + c

ò ax dx = ax/ln a + c

ò ex dx = ex + c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = - cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos² x = tg x + c

ò 1/sin² x = - ctg x + c

ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c

ò 1/1+ x² dx = arctg x + c

ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a² = b²+c² - 2bc cos a

b² = a²+c² - 2ac cos b

c² = a² + b² - 2ab cos g

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=½(a+b+c)

_____________

S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)

S = ½ab sin a

S>равн.>=(a²Ö3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S= pR²

S>сектора>=(pR²a)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S>осн>×Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3S>осн.>×H

S>полн.>= S>бок.>+ S>осн.>

Усеченная :

H . _____

V = 3 (S>1>+S>2>+ÖS>1>S>2>)

S>1 >и S>2> — площади осн.

S>полн.>=S>бок.>+S>1>+S>2>

Конус

V=1/3 pR²H

S>бок.> =pRl

S>бок.>= pR(R+1)

Усеченный

S>бок.>= pl(R>1>+R>2>)

V=1/3pH(R>1>2+R>1>R>2>+R>2>2)

Призма

V=S>осн.>×H

прямая: S>бок.>=P>осн.>×H

S>полн.>=S>бок>+2S>осн.>

наклонная :

S>бок.>=P>пс>×a

V = S>пс>×a, а -бок. ребро.

P>пс >— периметр

S>пс> — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pR²H ; S>бок.>= 2pRH

S>полн.>=2pR(H+R)

S>бок.>= 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR³ - шар

S = 4pR³ - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pR³H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH²(R-H/3)

S=2pRH

град

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

180°

a

-p/2

-p/3

-p/4

-p/6

0

p/6

p/4

p/3

p/2

2p/3

3p/4

3p/6

p

sina

-1

-Ö3/2

-Ö2/2

- ½

0

½

Ö2/2

Ö3/2

1

- ½

0

cosa

1

Ö3/2

Ö2/2

½

0

- ½

-Ö2/2

- Ö3/2

-1

tga

Ï

-Ö3

-1

-1/Ö3

0

1/Ö3

1

Ö3

Î

-Ö3

-1

0

ctga

---

Ö3

1

1/Ö3

0

-1/Ö3

-1

--

n

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

9

16

25

36

49

64

81

3

8

27

64

125

216

343

512

729

4

16

81

256

625

1296

2401

4096

6561

5

32

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

6

64

729

4096

15625

46656

7

128

2181

8

256

6561

-a

p-a

p+a

p/2-a

p/2+a

3p/2 - a

3p/2+a

sin

-sina

sina

-sina

cosa

cosa

-cosa

-cosa

cos

cosa

-cosa

-cosa

sina

-sina

-sina

sina

tg

-tga

-tga

tga

ctga

-ctga

ctga

-ctga

ctg

-ctga

-ctga

ctga

tga

-tga

tga

-tga