Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (работа 2)
Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений
1. Введение
Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных1 оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.
Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям2 и оказались достаточно эффективными, [5-11].
Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.
2. Цвет и яркость спектозонального изображения.
Рассмотрим
некоторые аспекты теории цвета так
называемых многоспектральных
(спектрозональных, [13]) изображений,
аналогичной классической колориметрии
[12]. Будем считать заданными n
детекторов излучения со спектральными
чувствительностями >
>
j=1,2,...,n,
где Î(0,¥)
- длина волны излучения. Их выходные
сигналы, отвечающие потоку излучения
со спектральной плотностью e()³0,
Î(0,¥),
далее называемой излучением, образуют
вектор >
>,
w=>
>.
Определим суммарную спектральную
чувствительность детекторов >
>,
Î(0,¥),
и соответствующий суммарный сигнал >
>
назовем яркостью
излучения
e.
Вектор
>
>
назовем
цветом излучения
e.
Если >
>
цвет e
и само излучение назовем черным.
Поскольку равенства >
>
и >
>
эквивалентны, равенство >
>
имеет смысл и для черного цвета, причем
в этом случае >
>
- произвольный вектор, яркость оторого
равна единице. Излучение eназовем
белым и его цвет обозначим >
>
если отвечающие ему выходные сигналы
всех детекторов одинаковы:
>
>.
Векторы
>
>
, и >
>
, >
>,
удобно считать элементами n-мерного
линейного пространства >
>.
Векторы f>e>,
соответствующие различным излучениям
e,
содержатся в конусе >
>>
>.
Концы векторов >
>
содержатся в множестве >
>,
где Ï -
гиперплоскость >
>.
Далее
предполагается, что всякое излучение
>
>
, где E
- выпуклый конус излучений, содержащий
вместе с любыми излучениями >
>
все их выпуклые комбинации (смеси) >
>
Поэтому векторы >
>
в >
>
образуют выпуклый конус >
>,
а векторы >
>.
Если
>
>то
и их аддитивная смесь >
>.
Для нее
>
>
>
>
>
>. (1)
Отсюда следует
Лемма 1. Яркость f>e> и цвет j>e> любой аддитивной смеси e излучений e>1>(×),...,e>m>(×), m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых.
Подчеркнем,
что равенство >
>,
означающее факт совпадения яркости и
цвета излучений e
и >
>,
как правило, содержит сравнительно
небольшую информацию об их относительном
спектральном составе. Однако замена
e
на >
>
в любой аддитивной смеси излучений не
изменит ни цвета, ни яркости последней.
Далее
предполагается, что вектор w
таков, что в E
можно указать
базовые излучения >
>,
для которых векторы >
>,
j=1,...,n,
линейно независимы. Поскольку цвет
таких излучений непременно отличен от
черного, их
яркости будем считать единичными,
>
>,
j=1,...,n.
В таком
случае излучение
>
>
характеризуется
лишь цветом
>
>,
j=1,...,n.
Для всякого излучения e можно записать разложение
>
>, (1*)
в
котором >
>
- координаты >
>
в базисе >
>,
или,
в виде выходных сигналов детекторов
излучения, - >
>,
где >
>,
>
>,
- выходной сигнал i-го
детектора, отвечающий j-ому
излучению e>j>(×),
i,
j=1,...,n.
Матрица >
>
- стохастическая, поскольку ее матричные
элементы как яркости базовых излучений
>
>
неотрицательны и >
>,
j=1,...,n.
При этом яркость >
>
и вектор цвета >
>,
>
>,
j=1,...,n,
(конец которого лежит в Ï)
определяются координатами a>j>
и цветами излучений >
>,
j=1,...,n,
и не зависят непосредственно от
спектрального состава излучения e.
В
ряде случаев белое излучение естественно
определять исходя из базовых излучений,
а не из выходных сигналов детекторов,
считая белым всякое излучение, которому
в (1*) отвечают равные координаты: >
>.
Заметим,
что слагаемые в (1*), у которых a>j><0,3
физически интерпретируются как
соответствующие излучениям, "помещенным"
в левую часть равенства (1*) с коэффициентами
-a>j>>0:
>
>.
В такой форме равенство (1*) представляет
“баланс излучений”.
Определим
в >
>
скалярное произведение >
>
и векторы >
>,
биортогонально сопряженные с >
>:
>
>,
i,j=1,...,n.
Лемма
2. В разложении
(1*) >
>,
j=1,...,n,
>
>.
Яркость >
>,
где >
>,
причем вектор
ортогонален
гиперплоскости Ï,
так как >
>,
i,j=1,...,n.
Что
касается скалярного проиведения >
>,
то его естественно определять так, чтобы
выходные сигналы детекторов >
>
были координатами f>e>
в некотором
ортонормированном базисе >
>.
В этом базисе конус >
>.
Заметим, что для любых векторов >
>
и, тем более, для >
>,
>
>4.
Пусть
Х
- поле зрения,
например, ограниченная область на
плоскости R>2>,
или на сетке >
>,
>
>
спектральная
чувствительность j-го
детектора излучения, расположенного
в точке >
>
>
>;
>
>
- излучение, попадающее в точку >
>.
Изображением назовем векторнозначную
функцию >
>
>
> (2**)
Точнее,
пусть Х
- поле зрения,
(Х,
С,
) - измеримое
пространство Х
с мерой C
- s-алгебра
подмножеств X.
Цветное
(спектрозональное) изображение
>
>определим
равенством
>
>
, (2)
в
котором почти для всех >
>,
>
>,
-
m-измеримые
функции на поле зрения X,
такие, что
>
>.
Цветные
изображения образуют подкласс функций
>
>
лебеговского класса >
>
функций >
>.
Класс цветных изображений обозначим
L>E>,>n>.
Впрочем,
для упрощения терминологии далее любой
элемент >
>
называется цветным изображением, а
условие
>
> (2*)
условием физичности изображений f(×).
Если
f
- цветное
изображение (2), то
>
>,
как нетрудно проверить, - черно-белое
изображение [2], т.е. >
>,
>
>.
Изображение >
>,
назовем черно-белым
вариантом цветного изображения
f,
а цветное изображение >
>,
f(x)¹0,
xÎX
- цветом изображения f.
В точках множества Â={xÎX:
f(x)=0}
черного цвета (x),
xÎÂ,
- произвольные векторы из >
>,
удовлетворяющие условию: яркость (x)=1.
Черно-белым вариантом цветного изображения
f
будем также называть цветное изображение
b(×),
имеющее в каждой точке Х
ту же яркость,
что и f,
b(x)=f(x), xÎX,
и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b,
xÎX.
3. Форма цветного изображения.
Понятие
формы изображения призвано охарактеризовать
форму изображенных объектов в терминах
характерности изображений, инвариантных
относительно определенного класса
преобразований изображения, моделирующих
меняющиеся условия его регистрации.
Например, довольно часто может меняться
освещение сцены, в частности, при
практически неизменном спектральном
составе может радикально изменяться
распределение интенсивности освещения
сцены. Такие изменения освещения в
формуле (2**) выражаются преобразованием
>
>,
в котором множитель k(x)
модулирует
яркость изображения >
>
в каждой точке >
>при
неизменном распределении цвета. При
этом в каждой точке >
>у
вектора f(x)
может
измениться длина, но направление
останется неизменным.
Нередко
изменение распределения интенсивности
освещения сопровождается значительным
изменением и его спектрального состава,
но - пространственно однородным, одним
и тем же в пределах всей изображаемой
сцены. Поскольку между спектром излучения
e
и
цветом j
нет
взаимно однозначного соответствия,
модель сопутствующего преобразования
изображения f(x)
в
терминах преобразования его цвета j(×).
Для этого определим отображение A(×):>
>,
ставящее в соответствие каждому вектору
цвета >
>подмножество
поля зрения >
>в
точках которого изображение >
>,
имеет постоянный цвет >
>.
Пусть
при рассматриваемом изменении освещения
>
>и,
соответственно, >
>;
предлагаемая модель преобразования
изображения
состоит
в том, что цвет >
>
преобразованного изображения должен
быть также постоянным на каждом множестве
A(j),
хотя, вообще говоря, - другим, отличным
от j.
Характекрным
в данном случае является тот факт, что
равенство >
>
влечет >
>.
Если >
>
- самое детальное изображение сцены,
то, вообще говоря, на различных множествах
A(j¢)
и A(j)
цвет изображения >
>
может оказаться одинаковым5.
Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.
Для
определения понятия формы цветного
изображения f(×)
на
>
>
удобно ввести частичный порядок p
, т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее
условиям: 1)>
>,
2) >
>,
>
>,
то >
>,
>
>;
отношение p
должно быть согласованным с определением
цветного изображения (с условием
физичности), а именно, >
>,
если >
>.
Отношение p
интерпретируется аналогично тому, как
это принято в черно-белой морфологии[2],
а именно, >
>
означает, что изображения fиg
сравнимы по форме, причем форма
g
не сложнее,
чем форма f.
Если >
>
и >
>,
то f
и g
назовем совпадающими
по форме (изоморфными),
f
>~
>g.
Например, если f
и g
- изображения одной и той же сцены, то
g,
грубо говоря, характеризует форму
изображенных объектов не точнее
(подробнее, детальнее), чем f,
если >
>.
В
рассматриваемом выше примере преобразования
изображений >
>если
между множествами A(j),>>
и A¢(j¢),>
>
существует взаимно-однозначное
соответствие, т.е., если существует
функция >
>,
такая, что A¢(j¢(j))=
A(j),>
>,
причем>
>,
если >
>.
В этом случае равенства >
>
и >
>
эквивалентны, >
>
и >
>
изоморфны и одинаково детально
характеризуют сцену, хотя и в разных
цветах.
Если
же >
>
не взаимно однозначно, то A¢(j¢)=U
A(j)
и >
>.
В этом случае равенство >
>
влечет >
>
(но не эквивалентно) >
>,
>
>
передает, вообще говоря, не все детали
сцены, представленные в >
>.
Пусть,
скажем, g
- черно-белый вариант f,
т.е. g(x)=f(x) и
g(x)/g(x)=b,
xÎX.
Если преобразование
>
>
- следствие изменившихся условий
регистрации изображения, то, естественно,
>
>.
Аналогично, если fgизображения
одной и той же сцены, но в gвследствие
неисправности выходные сигналы некоторых
датчиков равны нулю, то >
>.
Пусть F
- некоторая
полугруппа преобразований >
>,
тогда для любого преобразования FÎF
>
>,
поскольку, если некоторые детали формы
объекта не отражены в изображении f,
то они, тем
более, не будут отражены в g.
Формой
>
>
изображения f
назовем множество изображений >
>,
форма которых не сложнее, чем форма
f`,
и их пределов в >
>(черта
символизирует замыкание в >
>).
Формой изображения fв
широком смысле назовем минимальное
линейное подпространство >
>,
содержащее >
>.
Если считать,
что >
>
для любого изображения >
>,
то это будет означать, что отношение p
непрерывно относительно сходимости в
>
>
в том смысле, что >
>.
Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.
4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.
Во
многих практически важных задачах форма
объекта на изображении может быть
охарактеризована специальной структурой
излучения, достигающего поле зрения X
в виде >
>
здесь >
>
- индикаторные функции непересекающихся
подмножеств А>i>,
i=1,…...,N,
положительной меры поля зрения Х,
на каждом из которых функции >
>,
>
>,
j=1,...,n,
i=1,...,N,
непрерывны. Поскольку согласно лемме
2
>
>
>
>>
>
, (3)
то
цветное изображение f>e>,
такого
объекта характеризует его
форму непрерывным распределением
яркости и цвета на каждом подмножестве
A>i>,
i=1,...,N.
Для изображения >
>,
>
>
где >
>,
также характерно напрерывное распределение
яркости и цвета на каждом A>i>,
если >
>,
- непрерывные функции.
Если,
в частности, цвет и яркость
>
>
постоянны
на A>i>,
i=1,...,N,
то это верно и для всякого изображения
>
>,
если >
>
не зависит явно от >
>.
Для такого изображения примем следующее
представление:
>
>, (4)
его черно-белый вариант
>
> (4*)
на
каждом A>i>
имеет постоянную яркость >
>,
и цвет изображения (4)
>
> (4**)
не
меняется на A>i>
и равен >
>,
i=1,...,N.
Поскольку
для реальных изображений должно быть
выполнено условие физичности (2*), >
>,
то форму
изображения
(4), имеющего
на различных множествах А>i
>имеет
несовпадающие яркости >
>
и различные цвета >
>,
определим как выпуклый замкнутый в
>
>конус:
>
>
>
>. (4***)
v(a), очевидно, содержится в n×N мерном линейном подпространстве
>
>
>
>, (4****)
которое назовем формой a(×) в широком смысле.
Форму
в широком смысле любого изображения
a(×),
у
которого не обязательно различны яркости
и цвета на различных подмножествах A>i
>,i=1,...,N,
определим
как линейное подпространство
>
>,
натянутое не вектор-функции Fa(×),FÎF,
где
F
- класс преобразований >
>,
определенных как преобразования векторов
a(x)®Fa(x)
во
всех точках xÎX;
здесь F
- любое преобразование >
>.
Тот факт, что F
означает
как преобразование >
>,
так и преобразование >
>,
не должен вызывать недоразумения.
Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a(×) (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах А>i>, i=1,…………..,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a(×)), если речь идет о форме в широком смысле.
Лемма
3. Пусть {А>i>}
- измеримое разбиение X: >
>.
Изображение (3) имеет на каждом подмножестве A>i> :
-
постоянную
яркость
>
>
и
цвет
>
>
, если
и только если выполняется равенство
(4);
-
постоянный
цвет
>
>,
если
и только если в
(3) >
>;
-
постоянную
яркость
f>i>
, i=1,...,N,
если
и только если в
(3) >
>
не
зависит
от
>
>,
i=1,…...,N.
Доказательство . На множестве A>i> яркость и цвет изображения (3) равны соответственно6
>
>
, >
>,
i=1,.…..,N.
Если
выполнено равенство (4), то >
>
и >
>
от >
>
не зависят. Наоборот, если >
>
и >
>,
то и >
>,
т.е. выполняется (4).
Если
>
>
, то цвет >
>
не зависит от
>
>
. Наоборот, пусть >
>
не зависит от >
>.
В силу линейной независимости >
>
координаты >(>>i)>(x)
не зависят от >
>
, т.е. >
>
и, следовательно, >
>
где >
>
- яркость на A
>i>
и >
>.
Последнее утверждение очевидно n
Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств A>i> , i=1,...,N, поля зрения X.
Итак, пусть в согласии с леммой 3
>
>
, (5)
где,
>
>
- индикаторная функция A>i>,
>
>,
функция
g>i>
задает распределение яркости
>
> (6)
в пределах A>i> при постоянном цвете
>
>,
i=1,...,N, (7)
причем
для изображения (5) цвета
j>(i)>,
i=1,.…..,N, считаются попарно различными,
а функции g>(i)>,
i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям >
>
i=1,.…..,N.
Нетрудно
заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без
потери общности можно принять условие
нормировки >
>,
позволяющее упростить выражения (6) и
(7) для распределений яркости и цвета.
С учетом нормировки распределение
яркости на A>i>
задается функцией >
>
а цвет на A>i>
равен
>
> (7*)
Форму изображения (5) определим как класс всех изображений
>
> (8)
>
>,
каждое
из которых, как и изображение (5), имеет
постоянный цвет в пределах каждого A>i>,
i=1,...,N. Форма
таких изображений не сложнее, чем форма
f()
(5), поскольку в изображении >
>
на некоторых различных подмножествах
A>i>,
i=1,...,N, могут
совпадать значения цвета, которые
непременрно различны в изображении
f()
(5). Совпадение цвета >
>
на различных подмножествах A>i>,
i=1,...,N ведет
к упрощению формы изображения >
>
по сравнению с формой f()
(5). Все изображения >
>,
имеющие различный цвет на различных
A>i>,
i=1,...,N,
считаются
изоморфными
fи
между собой), форма остальных не сложнее,
чем форма f.
Если >
>,
то, очевидно, >
>.
Если
в (8) яркость >
>,
то цвет >
>
на A>i>
считается произвольным (постоянным),
если же >
>
в точках некоторого подмножества >
>,
то цвет >
>
на A>i>
считается равным цвету >
>
на >
>,
i=1,...,N.
Цвет
изображения (8) может не совпадать с
цветом (5). Если же по условию задачи все
изображения >
>,
форма которых не сложнее, чем форма >
>,
должны иметь на A>i>,
i=1,...,N,
тот же цвет, что и у >
>
то следует потребовать, чтобы >
>,
в то время, как яркости >
>
остаются произвольными (если >
>,
то цвет >
>
на A>i>
определяется равным цвету f
на A>i>,
i=1,...,N).
Нетрудно
определить форму любого, не обязательно
мозаичного, изображения fв
том случае, когда допустимы произвольные
изменения яркости >
>
при неизменном цвете j(x)
в каждой точке >
>.
Множество, содержащее все такие
изображения
>
> (9)
назовем
формой в широком смысле изображения >
>,
у которого f(x)¹0,
m-почти
для всех >
>,
[ср. 2]. >
>
является линейным подпространством >
>,
содержащем любую форму
>
>, (10)
в
которой включение >
>определяет
допустимые значения яркости. В частности,
если >
>означает,
что яркость неотрицательна: >
>,
то >
>
- выпуклый замкнутый конус в >
>,
принадлежащий >
>.
Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения.
Рассмотрим
вначале задачи приближения
кусочно-постоянными (мозаичными)
изображениями. Решение этих задач
позволит построить форму изображения
>
>
в том случае, когда считается, что >
>
для любого преобразования >
>,
действующего на изображение >
>
как на вектор >
>
в каждой точке >
>
и оставляющего >
>
элементом >
>,
т.е. изображением. Форма в широком смысле
>
>
определяется как оператор >
>
наилучшего приближения изображения >
>
изображениями >
>
>
>
где
>
>-
класс преобразований >
>,
такой, что >
>.
Иначе можно считать, что
>
> (10*)
а
>
>
- оператор наилучшего приближения
элементами множества >
>,
форма которых не сложнее, чем форма >
>.
Характеристическим для >
>
является тот факт, что, если f(x)=f(y),
то для любого
>
>.
5.1.
Приближение цветного изображения
изображениями, цвет и яркость которых
постоянны на подмножествах разбиения
>
>
поля зрения X.
Задано
разбиение >
>,
требуется определить яркость и цвет
наилучшего приближения на каждом >
>.
Рассмотрим
задачу наилучшего приближения в >
>
цветного изображения f(×)
(2) изображениями (4), в которых считается
заданным разбиение >
>
поля зрения X
и требуется определить >
>
из условия
>
>
>
>
(11)>
>
Теорема
1. Пусть
>
>.
Тогда решение задачи
(11) имеет вид
>
>,
i=1,...,N,
j=1,...,n, (12)
и искомое изображение (4) задается равенством
>
>
. (13)
Оператор
>
>
является
ортогональным проектором на линейное
подпространство (4****)
>
>
изображений (4),
яркости и цвета
которых не изменяются в пределах каждого
A>i>
,
i=1,...,N.
Черно-белый
вариант >
>
(4*) цветного
изображения
>
>(4)
является
наилучшей в >
>
аппроксимацией
черно-белого варианта
>
>
цветного
изображения
f,
если цветное
изображение
>
>(4)
является
наилучшей в
>
>
аппроксимацией
цветного
изображения
f.
Оператор
>
>,
является ортогональным проектором на
линейное подпространство черно-белых
изображений, яркость которых постоянна
в пределах каждого >
>.
В
точках множества
>
>
цвет
>
>(4**)
наилучшей
аппроксимации
>
>(4)
цветного
изображения
f
(2) является
цветом
аддитивной смеси составляющих
f
излучений,
которые попадают на >
>.
Доказательство. Равенства
(12) - условия минимума положительно
определенной квадратичной формы (11), П
- ортогональный
проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая
аппроксимация - ортогональная проекция
f
на >
>.
Второе утверждение следует из равенства
>
>,
вытекающего из (13).
Последнее
утверждение следует из равенств
>
>>
>>
>,i=1,...,N
вытекающих из (12) и равенства (1), в котором
индекс k
следует заменить на xÎX.
¦
Замечание
1. Для
любого измеримого разбиения >
>
ортогональные проекторы
>
>
и
>
>
определяют
соответственно форму в широком смысле
цветного изображения
(4),
цвет и яркость которого, постоянные в
пределах каждого >
>,
различны для различных >
>,
ибо >
>,
и форму в
широком смысле черно-белого
изображения,
яркость которого
постоянна на каждом >
>
и различна для разных
>
>,[2].
Если
учесть, условие физичности (2*), то формой
цветного изображения следует считать
проектор >
>>
>на
выпуклый замкнутый
конус >
>
(4***)
Аналогично
формой черно-белого изображения следует
считать проектор >
>
на
выпуклый замкнутый конус изображений
(4*), таких, что >
>
[2].
Дело в том, что оператор >
>
определяет
форму
>
>
изображения
(4), а именно
>
>
-
множество собственных функций оператора
>
>.
Поскольку
>
>f(×)
- наилучшее
приближение изображения >
>
изображениями из >
>,
для любого изображения >
>
из >
>
и только для таких >
>-
>
>.
Поэтому проектор
>
>
можно отождествить с формой изображения
(4).
Аналогично для черно-белого изображения a(×)
>
>,7
[2].
И
проектор >
>
можно
отождествить с формой изображения (4*),
как это сделано в работах [2,3].
Примечания.
Формы
в широком смысле не определяются связью
задач наилучшего приближения элементами
>
>
и >
>,
которая известна как транзитивность
проецирования. Именно, если >
>
оператор наилучшего в >
>
приближения злементами выпуклого
замкнутого (в >
>
и в >
>)
конуса >
>,
то >
>.
Иначе говоря, для определения наилучшего
в >
>
приближения >
>
элементами >
>
можно вначале найти ортогональную
проекцию >
>
изображения >
>
на >
>,
а затем >
>
спроецировать в >
>
на >
>.
При этом конечномерный проектор >
>
для каждого конкретного конуса >
>
может быть реализован методом динамического
программирования, а для многих задач
морфологического анализа изображений
достаточным оказывается использование
лишь проектора П
.
Форма
в широком смысле >
>
(4***) изображения (4) полностью определяется
измеримым разложением >
>,
последнее, в свою очередь определяется
изображением
>
>,
если
векторы >
>
попарно различны. Если при этом >
>,
то форма в широком смысле >
>
может быть определена и как оператор П
ортогонального
проецирования на >
>,
определенный равенством (13).
Посмотрим,
каким образом воспользоваться этими
фактами при построении формы в широком
смысле как оператора ортогонального
проецирования на линейное подпространство
>
>
(10*) для произвольного изображения >
>.
Пусть >
>
- множество значений >
>
и >
>
- измеримое разбиение X
, порожденное
>
>,
в котором >
>
- подмножество X
, в пределах
которого изображение >
>
имеет постоянные яркость и цвет,
определяемые вектором >
>,
если >
>.
Однако
для найденного разбиения условие >
>,
вообще говоря, невыполнимо и, следовательно,
теорема 1 не позволяет построить
ортогональный проектор П
на >
>.
Покажем, что П
можно получить как предел последовательности
конечномерных ортогональных проекторов.
Заметим вначале, что любое изображение
>
>
можно представить в виде предела (в >
>)
должным образом организованной
последовательности мозаичных изображений
>
> (*)
где
>
>
- индикатор
множества >
>,
принадлежащего измеримому разбиению
>
>
В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
-
>
>-
C -
измеримо, >
>;
-
N+1-oe
разбиение является продолжением N-го,
т.е. для любого >
>,
найдется
i=i(j),>
>,
такое, что
>
>;
-
минимальная s-алгебра,
содержащая все >
>,
совпадает
с C.
Лемма
(*). Пусть
>
>
- исчерпывающая последователь-ность
разбиений X
и >
>-
то множество из >
>,
которое содержит >
>.
Тогда для любой C-измеримой
функции >
>
>
>
и
m-почти
для всех >
>
>
>
[ ]. n
Воспользуемся
этим результатом для построения формы
в широком смысле П
произвольного
изображения >
>.
Пусть >
>
- минимальная s-алгебра,
относительно которой измеримо >
>,
т.е. пусть >
>,
где >
>
- прообраз борелевского множества >
>,
B -
s-алгебра
борелевских множеств >
>.
Заменим в условиях, определяющих
исчерпывающую последовательность
разбиений, C
на >
>
и выберем эту, зависящую от >
>,
исчерпывающую последовательность (>>
- измеримых) разбиений в лемме (*).
Теорема
(*). Пусть
>
>,
>
>-
исчерпывающая
последовательность разбиений
X, причем >
>-
минимальная
s-алгебра,
содержащая все >
>
и П(N)
- ортогональный проектор >
>,
определенный
равенством >
>,
>
>
Тогда
1)
для любого >
>-измеримого
изображения >
>
и почти для всех
>
>,
>
>,
2)
для любого
изображения >
>
при >
>
>
>
(в >
>),
где П - ортогональный проектор на >
>.
Доказательство.
Первое утверждение непосредственно
следует из леммы (*) и определения >
>.
Для доказательства второго утверждения
заметим, что, так как A(N+1)
- продолжение
разбиения A(N),
N=1,2,..., то
последовательность проекторов П(N),
N=1,2,..., монотонно
неубывает: >
>
и потому сходится (поточечно) к некоторому
ортогональному проектору П.
Так как >
>
- множество всех >
>-измеримых
изображений и их пределов (в
>
>),
а в силу леммы (*) для любого >
>-измеримого
изображения >
>
>
>,
то для любого изображения >
>
>
>и
для любого >
>
>
>,
ибо >
>-измеримо,
N=1,2,...
n
Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.
Заданы
векторы f>1>,...,f>q>,
требуется определить разбиение >
>,
на множествах которого наилучшее
приближение принимает соответственно
значенния f>1>,...,f>q.
>Рассмотрим
задачу приближения цветного изображения
f,
в которой задано не разбиение >
>
поля зрения X,
а векторы >
>
в >
>,
и требуется построить измеримое разбиение
>
>поля
зрения, такое, что цветное изображение
>
>
- наилучшая в >
>
аппроксимация f.
Так как
>
>>
>, (14*)
то
в A>i>
следует отнести лишь те точки >
>,
для которых >
>,
>
>=1,2,...,q,
или, что то же самое, >
>>>=1,2,...,q.
Те точки, которые согласно этому принципу
могут быть отнесены к нескольким
множествам, должны быть отнесены к
одному из них по произволу. Учитывая
это, условимся считать, что запись
>
>
>
> , (14)
означает,
что множества (14) не пересекаются и >
>.
Чтобы
сформулировать этот результат в терминах
морфологического анализа, рассмотрим
разбиение >
>,
в котором
>
>
(15)
и
звездочка указывает на договоренность,
принятую в (14). Определим оператор F,
действующий из >
>
в >
>
по формуле >
>,
>
>,
i=1,...,q.
Очевидно, F
всегда можно согласовать с (14) так, чтобы
включения >
>
и >
>,
i=1,...,q, можно было считать эквивалентными.
8
Теорема
2. Пусть
>
>
-
заданные
векторы R>n>.
Решение
задачи
>
>
наилучшего
в >
>
приближения
изображения f
изображениями
>
>
имеет вид
>
>,
где
>
>
- индикаторная
функция множества
>
>.
Множество >
>
определено равенством (15). Нелинейный
оператор >
>,
как всякий оператор наилучшего приближения
удовлетворяет условию F2=F,
т.е. является
пректором.
Замечание
2. Если
данные задачи доступны лишь в черно-белом
варианте, то есть заданы числа >
>,
i=1,...,q,
которые можно считать упорядоченными
согласно условию >
>,
то, как показано в [3], искомое разбиение
X
состоит из множеств
>
>
где
>
>,
и имеет мало общего с разбиением (14).
Замечание
3. Выберем
векторы f>i>,>
>i=1,..,q>
>единичной
длины: >
>,
i=1,...,q.
Тогда
>
>. (16)
Множества
(16) являются конусами в R>n
>,
ограниченными гиперплоскостями,
проходящими через начало координат.
Отсюда следует, что соответствующее
приближение >
>
изображения f
инвариантно относительно произвольного
преобразования последнего, не изменяющего
его цвет (например >
>),
в частности, относительно образования
теней на f.
Замечание
4. Для любого
заданного набора попарно различных
векторов >
>
оператор F,
приведенный в теореме 2, определяет
форму изображения, принимающего значения
>
>
соответственно на измеримых множествах
>
>
(любого) разбиения
X. Всякое
такое изображение является неподвижной
(в >
>)
точкой F: >
>,
если >
>,
все они изоморфны между собой. Если
некоторые множества из >
>
- пустые, или нулевой меры, соответствующие
изображения имеют более простую форму.
Иначе
говоря, в данном случае формой изображения
>
>
является множество всех изображений,
принимающих заданные значения >
>
на множествах положительной меры >
>
любого разбиения X,
и их пределов
в >
>.
Теоремы
1 и 2 позволяют записать необходимые и
достаточные условия наилучшего
приближения изображения f(×)
изображениями
>
>,
в котором требуется
определить как векторы >
>,
так и множества >
>
так, чтобы
>
>.
Следствие 1.
Пусть
D>i>
,i=1,...,N,
-
подмножества
R>n>
(15), П
-
ортогональный
проектор
(13), >
>,
где
>
>.
Тогда
необходимые
и достаточные условия >
>
суть
следующие:
>
>,
где
>
>,
>
>.
Следующая
рекуррентная процедура, полезная для
уточнения приближений, получаемых в
теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет
решать названную задачу. Пусть >
>
- исходные
векторы в задаче (14*), >
>
- соответствующее оптимальное разбиение
(14), F(1)-
оператор наилучшего приближения и >
>
- невязка. Воспользовавшись теоремой
1, определим для найденного разбиения
>
>
оптимальные векторы >
>.
Согласно
выражению (13) >
>,
и соответствующий оператор наилучшего
приближения П(1)
(13) обеспечит не менее точное приближение
f(×),
чем F(1):
>
>.
Выберем теперь в теореме 2 >
>,
определим соответствующее оптимальное
разбиение >
>
и построим оператор наилучшего приближения
F(2).
Тогда >
>.
На следующем шаге по разбиению >
>
строим >
>
и оператор П(3)
и т.д.
В
заключение этого пункта вернемся к
вопросу о построении исчерпывающего
>
>-измеримого
разбиения X,
отвечающего заданной функции >
>.
Выберем произвольно попарно различные
векторы >
>из
f(X)
и построим по формуле (15) разбиение R>n>
>
>.
Для каждого q=1,2,... образуем разбиение
E(N(q)),
множества >
>,
j=1,...,N(q),
которого образованы всеми попарно
различными пересечениями >
>
множеств из >
>.
Последовательность соответствующих
разбиений X >
>,
i=1,...,N(q), q=1,2...
>
>
-измеримы и >
>
является продолжением >
>
5.2.
Приближение
изображениями,
цвет которых постоянен на подмножествах
разбиения >
>
поля
зрения X.
Задано
разбиение >
>,
требуется определить цвет и распределение
яркостей наилучшего приближения на
каждом A>i>,i=1,...,N.
Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.
Запишем изображение (5) в виде
>
> (17)
где
>
>.
Пусть
A>1>,...,A>N>
- заданное
разбиение X,
>
>
- индикаторная
функция A>i>,
i=1,...,N. Рассмотрим
задачу наилучшего в >
>
приближения изображения >
>
изображениями (17), не требуя, чтобы >
>
>
> (18)
Речь
идет о задаче аппроксимации произвольного
изображения >
>
изображениями, у которых яркость может
быть произвольной функцией из >
>,
в то время, как цвет должен сохранять
постоянное значение на каждом из заданных
подмножеств A>1>,...,A>N
>>
>поля
зрения X,
(см. Лемму
3).
Так как
>
>
то
минимум S
(19) по
>
>
достигается при
>
>, (20)
и равен
>
> (21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
>
>. (22)
В
связи с последней рассмотрим самосопряженный
неотрицательно определенный оператор
>
>
>
>
. (23)
Максимум
(неотрицательной) квадратичной формы
>
>
на сфере >
>в
R>n>,
как известно, (см.,например, [11]) достигается
на собственном векторе y>i>
оператора Ф>i>,>
>отвечающем
максимальному собственному значению
>
>>0,
>
>,
и
равен >
>,
т.е. >
>.
Следовательно, максимум в (22) равен >
>
и достигается, например, при >
>
Теорема
3. Пусть
A>1>,...,A>N>
-заданное измеримое разбиение X,
причем9
(A>i>)>0,
i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего
приближения изображения >
>>
>
изображениями g(×)>
>
(17) является изображение
>
> (24)
Операторы
>
>,i=1,...,N,
и >
>
- нелинейные (зависящие от f(×)>>)
проекторы: П>i>
проецирует в R>n>
векторы >
>>
>
на линейное
подпространство >
>,
натянутое на собственный вектор >
>
оператора Ф>i
>(23),
отвечающий наибольшему собственному
значению >i>,
>
>; (25)
П
проецирует
в >
>
изображение >
>>>
на минимальное линейное подпространство
>
>,
содержащее все изображения >
>
Невязка наилучшего приближения
>
> (19*).
Доказательство. Равентство (24) и выражение для П>i> следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф>i >(23). Поскольку Ф>i >самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Ф>i > неотрицательны и среди них >i >- наибольшее.
Для доказательства свойств операторов П>i>, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(×):
>
>
>
> (26*)
Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П>i>, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.
Пусть
f>i>
- cсобственный вектор Ф>i>
, отвечающий максимальному собственному
значению >i>.
Чтобы определить >
>
следует решить задачу на собственные
значения для оператора >
>:
>
>.
Поскольку
rank>
>=1,
>
>
имеет единственное положительное
собственное значение, которое, как
нетрудно проверить, равно >i>,
и ему соответствует единственный
собственный вектор f>i>.
Поэтому
>
>.
Отсюда,
в свою очередь, следует равенство (26*)
для >
> n
Лемма
4. Для
любого изображения >
>
решение (24)
задачи
(18) наилучшего
приближения единственно и является
элементом >
>.
Доказательство.
Достаточно доказать, что единственный
(с точностью до положительного множителя)
собственный вектор f>i>
оператора (23), отвечающий максимальному
собственному значению >i>,
можно выбрать так, чтобы >
>,
поскольку в таком случае будут выполнены
импликации:
>
>,
составляющие
содержание леммы. Действительно, если
>
>
то согласно (23) >
>,
поскольку включение >
>
означает, что>
>;
отсюда и из (25) получим, что >
>,i=1,...,N,
а поэтому
и в (24) >
>.
Убедимся
в неотрицательности >
>.
В ортонормированном базисе e>1>,...,e>n>,
в котором
>
>,
выходной сигнал i-го
детектора в точке >
>
(см. замечание 1) задача на собственные
значения (23*) имеет вид >
>,
p=1,...,n,
где
>
>,
>
>.
Так
как матрица >
>
симметрическая и неотрицательно
определенная (>
>)
она имеет n
неотрицательных
собственных значений>
>,
которым соответствуют n
ортонормированных
собственных векторов >
>,
а поскольку матричные элементы >
>,
то согласно теореме Фробенуса-Перрона
максимальное собственное значение >
>
- алгебраически простое (некратное), а
соответствующий собственный вектор
можно выбирать неотрицательным:
>
>.
Следовательно, вектор f>i>
определен с точностью до положительного
множителя >
>,
>
>. n
Замечание 4.
Если
>
>
, т.е.
если аппроксимируемое изображение на
множествах того же разбиения >
>имеет
постоянный цвет, то в теореме 3 >
>,
>
>.
Наоборот,
если >
>,
то
>
>,
т.е. >
>
определяется выражением (17), в котором
>
>.
Итак,
пусть в изображении g(×)
(17) все
векторы f>1>,.…..,f>N>
попарно
не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств
A>1>,...,A>N>>
>попарно
различны. Тогда форма в широком смысле
>
>
изображения (17) есть множество решений
уравнения
>
>,>>, (27)
где
>
>,
f>i>
- собственный
вектор оператора Ф>i>:
>
>,
отвечающий максимальному собственному
значению >i>,
i=1,...,N
. В данном случае >
>,
если и только если выполнено равенство
(27).
Оператор
П
(24), дающий решение задачи наилучшего
приближения >
>
, естественно отождествить с формой в
широком смысле изображения >
>
(17).
Заданы
векторы цвета j>1>,...,
j>q>,
требуется определить разбиение A>1>,...,
A>q>,
на множествах которого наилучшее
приближение имеет соответственно цвета
j>1>,...,
j>q>
и оптимальные распределения яркостей
>
>10.
Речь
идет о следующей задаче наилучшего в >
>
приближения изображения >
>
>
>. (28)
Рассмотрим
вначале задачу (28) не требуя, чтобы >
>.
Так как для любого измеримого >
>
>
>, (29)
и достигается на
>
>, (30)
то, как нетрудно убедиться,
>
>, (31)
где
звездочка * означает то же самое, что и
в равенстве (14): точки xÎX,
в которых выполняется равенство >
>
могут быть произвольно отнесены к одному
из множеств A>i>
или A>j>.
Пусть
>
>
- разбиение >
>,
в котором
>
> (32)
а F: R>n>-> R>n >оператор, определенный условием
>
> (33)
Тогда решение задачи (28) можно представить в виде
>
>, (34)
где
>
>
- индикаторная функция множества A>i>
(31), i=1,...,q и
F -оператор,
действующий в >
>
по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).
Нетрудно
убедиться, что задача на минимум (29) с
условием физичности >
>
>
> (35)
имеет решение
>
> (36)
Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид
>
>, (37)
где
>
>
- индикаторная функция множества
>
>, (38)
В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F+: R>n>-> R>n>, действующий согласно формуле
>
> (39)
где
>
>,
так что >
>,i=1,...q.
(40)
Подытожим сказанное.
Теорема
4. Решение
задачи (28)
наилучшего
в >
>приближения
изображения >
>
изображениями
на искомых множествах
A>1>,...,A>q>
разбиения X
заданные цветами
j>1>,...,
j>q>
соответственно, дается равенством (34),
искомое разбиение A>1>,...,A>q
>определено
в (31).
Требование физичности наилучшего
приближения приводит к решению (37)
и определяет искомое разбиение формулами
(38). Решение
(34)
инвариантно относительно любого, а (37)
- относительно любого, сохраняющего
физичность, преобразования, неизменяющего
его цвет.
Формой
в широком смысле изображения, имеющего
заданный набор цветов
j>1>,...,
j>q
>на
некоторых множествах положительной
меры A>1>,...,A>q>
разбиение поля
зрения можно
назвать оператор
>
>
(34), формой
такого изображения является оператор
F+
(37). Всякое
такое изображение
g(×),
удовлетворяющее условиям физичности
(неотрицательности яркостей), удовлетворяет
уравнению F+g(×)=g(×),
те из них, у которых m(A>i>)>0,
i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более
простую форму. n
В
заключение этого раздела вернемся к
понятию формы изображения, заданного
с точностью до произвольного,
удовлетворяющего условиям физичности,
преобразования яркости. Речь идет о
форме изображения >
>,
заданного распределением цвета >
>,
при произвольном (физичном) распределении
яркости, например, >
>.
Для определения формы >
>
рассмотрим задачу наилучшего в >
>
приближения изображения >
>
такими изображениями
>
>, (41)
Теорема
5. Решение
>
>
задачи (41)
дается
равенством
>
>, (42)
в
котором >
>,
где
>
>
. Невязка
приближения
>
>, (43)
(
>
>
!) n
Определение.
Формой
изображения, заданного распределением
цвета >
>,
назовем выпуклый, замкнутый конус
изображений
>
>
или
- проектор >
>
на >
>.
Всякое
изображение g(×),
распределение цвета которого есть j(×)
и только такое изображение содержится
в >
>
и является неподвижной точкой оператора
>>:
>
>g(×)
= g(×). (#)
Поскольку
на самом деле детали сцены, передаваемые
распределением цвета j(×),
не представлены на изображении f(×)
= f(×)j(×)
в той области поля зрения, в которой
яркость f(x)=0,
xÎX,
будем считать, что >
>
- форма любого изображения f(x)
= f(x)j(x),
f(x)>0,
xÎX(modm),
все такие изображения изоморфны, а форма
всякого изображения g(×),
удовлетворяющего уравнению (#), не
сложнее, чем форма f(×).
Замечание
5. Пусть j>1>,...,
j>N>>
>
- исходный набор цветов, >
>,
A>1>,...,A>N>
- соответствующее оптимальное разбиение
X,
найденное в теореие 4 и
>
>, (34*)
- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)
>
>, (24*)
если
A>1>,...,A>N
>- исходное
разбиение X
в теореме 3. Наоборот, если A>1>,...,A>N
>- заданное
в теореме 3 разбиение X
и f>1>,...,f>N
>-
собственные векторы операторов Ф>1>,...,Ф>N>
(23) соответственно, отвечающие максимальным
собственным значениям, то f>1>,...,f>N>
>
>
и будет выполнено равенство (24), если в
(34*) определить j>i>
как цвет f>i>
в (24), i=1,...,N.
Проверка этого замечания не представляет затруднений.
В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A>i>, i=1,...,N.
Разумеется,
условие постоянства цвета на множествах
A>i>,
i=1,...,N, на
практике может выполняться лишь с
определенной точностью. Последнюю можно
повысить как путем перехода к более
мелкому разбиению >
>,
так и допустив
некоторые изменения цвета в пределах
каждого A>i>,
i=1,...,N,
например, выбрав вместо (17) класс
изображений
>
> (17*)
в
котором >
>
в (3).
Поскольку
в задаче наилучшего приближения f(×)
изображениями этого класса предстоит
найти >
>
, векторы >
>
при любом i=1,...,N,
можно считать ортогональными,
определив
>
>, (*)
из
условия минимума невязки по >
>.
После этого для каждого i=1,...,N
векторы >
>
должны быть определены из условия
>
> (**)
при дополнительном условии ортогональности
>
>.
Решение этой задачи дается в следующей
лемме
Лемма
5. Пусть >
>
ортогональные собственные векторы
оператора Ф>i
>(23),
упорядоченные
по убыванию собственных значений:
>
>.
Тогда
решение задачи (**) дается равенствами
>
>.
Доказательство.
Заметим, что, поскольку Ф>i>
- самосопряженный неотрицательно
определенный оператор, его собственные
значения неотрицательны, а его собственные
векторы всегда можно выбрать так, чтобы
они образовали ортогональный базис в
R>n>.
Пусть P>i>
- ортогонально проецирует в R>n>
на линейную оболочку >
>
собственных векторов >
>
и
[P>i>
Ф>i>
P>i>]
- сужение оператора P>i>
Ф>i>
P>i >на
>
>.
Тогда левая часть (*) равна следу оператора
[P>i>
Ф>i>
P>i>]
>
>,
где >
>
- j-ое
собственное значение оператора >
>
(см., например, [10]).
Пусть
>
>.
Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], >
>,
откуда следует утверждаемое в лемме.
¦
Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.
Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f(×) изображениями (17*) имеет вид
>
>,
Где
>
>:
ортогональный
проектор на линейную оболочку
>
>,
собственных
векторов задачи
>
>.
Невязка наилучшего приближения равна
>
>. n
Рассмотрим
теперь задачу наилучшего приближения
изображения f
изображениями (17), в которых заданы и
фиксированы векторы >
>,
и надлежит определить измеримое разбиение
>
>
и функции >
>,
как решение задачи
>
> (30)
При
любом разбиении >
>минимум
в (30) по >
>
достигается при >
>,
определяемых равенством (20). В свою
очередь, очевидно, что
>
>
(31)
где
точки >
>,
в которых выполняется равенство >
>
могут быть произвольно включены в одно
из множеств : либо в >
>,
либо в >
>.
Это соглашение отмечено звездочкой в
(31).
Таким образом доказана
Теорема
6. Пусть >
>
заданные векторы
R>n>.
Решением
задачи (30)
является
изображение
>
>,
где
ортогональный проектор
>
>
определен
равенством
(25), а
>
>
- индикаторная
функция множества
(31), i=1,...,N. Невязка
наилучшего
приближения
равна
>
>.
n
Замечание
5. Так как
при >
>
>
>,
то
условия (31), определяющие разбиение >
>,
можно записать в виде
>
>,
(32)
показывающем,
что множество
>
>
в (32) инвариантно
относительно любого преобразования
изображения
>
>,
не изменяющего его цвет.
Теоремы
3 и 6 позволяют сформулировать необходимые
и достаточные условия наилучшего
приближения изображения f(×)
изображениями (17), при котором должны
быть найдены >
>
и c>i>0
,
i=1,...,N, такие,
что
>
>.
Теорема
7. Для
заданного изображения f(×)
определим множества
>
>
равенствами (32),
оператор
П
-
равенством
(24), >
>
-
равенствами
(25). Тогда
>
>,
определено
равенством
(32), в
котором
>
>
- собственный
вектор оператора
Ф>i>
(23),
отвечающий
наибольшему собственному значению,
причем
в
(23) >
>,
наконец,
>
>
будет
дано равенством
(20), в
котором
>
>,
где
>
>
- собственный
вектор оператора
>
>,
отвечающий
наибольшему собственному значению
>
>;
наконец,
>
>.
n
Замечание
6. Следующая
итерационная процедура полезна при
отыскании >
>:
Для
изображения f(×)
зададим >
>
и по теореме 5 найдем >
>
и >
>,
затем по теореме 3, используя >
>
найдем >
>
и >
>.
После этого вновь воспользуемся теоремой
3 и по >
>
найдем >
>
и >
>
и т.д. Построенная таким образом
последовательность изображений >
>
очевидно обладает тем свойством, что
числовая последовательность >
>,
k=1,2,.…..
монотонно
не возрастает и, следовательно, сходится.
К сожалению ничего определенного нельзя
сказать о сходимости последовательности
>
>.
Формы
>
>
(10) и >
>
(9) удобно задавать операторами П>f>
и
П>*>>f>
соответственно.
Теорема
7.
Форма >
>
в
широком смысле изображения >
>определяется
ортогональным проектором П>*>>f>
:
>
>
,
при
этом
>
>
и
>
>.
Доказательство.
Так как для >
>
>
>,
то получаем первое утверждение. Для
доказательства второго утверждения
рассмотрим выпуклую задачу на минимум
>
>,
решение которой определяется условиями
(см., например, [11])
>
>.
Отсюда следует, что >
>
и тем самым доказано и второе утверждение
n
Замечание.
Так
как >
>,
где f>i>(x)
- выходной
сигнал i-го
детектора
в точке >
>,
причем f>i>(x)³0
,i=1,...,n,
и,
следовательно цвет >
>
реальных изображений непременно имеет
неотрицательные >
>,
то для реальных изображений >
>,
условия >
>
и >
>,
эквивалентны. Если же для некоторого
>
>,
то условие >
>
не влечет >
>.
Заметим также, что для изображений g(×),
удовлетворяющих
условию >
>,
всегда >
>.
Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением
>
> (40)
В котором
>
>.
Если ИК составляющей солнечного излучения
можно пренебречь по сравнению с
собственным излучением объектов, то
представляет интерес задача приближения
изображениями f(×)
,
в которых f>1>(×)
- любая неотрицательная функция из >
>,
j>1>(×)
- фиксированное векторное поле цвета,
f>2>(×)
- термояркость, j>2>(×)
- термоцвет в точке >
>.
Форма П>*>>f>
видимой
компоненты
f(×)
(40)
определяется как оператор наилучшего
приближения в задаче
>
>,
в данном случае
>
>,
причем П>*>>f>
действует фактически только на "видимую
компоненту"
g(×),
обращая "невидимую,
ИК, компоненту"
g(×)
в ноль.
Форма ИК компоненты f(×) может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j>2>(×) f>2>(×).
Некоторые применения.
Задачи идентификации сцен.
Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.
1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.
Можно ли считать f(×) и g(×) изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?
В
простейшем случае для идентификации
достаточно воспользоваться теоремой
5, а именно, f(×)
и g(×)
можно считать изображениями одной и
той же сцены, если существует распределение
цвета >
>,
для которого v(j(×))
содержит f(×)
и g(×).
Если >
>,
и >
>,
то, очевидно, существует >
>,
при котором f(x)Îv(j(×)),
g(x)Îv(j(×)),
а именно, >
>,
>
>,
если >
>,
>
>,
если >
>,
и, наконец, >
>
- произвольно, если >
>.
На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать g(×) изображением сцены, представленной изображением f(×)? Ответ следует считать утвердительным, если
>
>.
Здесь
j(×)
- распределение цвета на изображении
f(×),
символ ~0
означает, что значение d(g(×))
можно объяснить наличием шума, каких-либо
других погрешностей, или, наконец, -
наличием или, наоборот, отсутствием
объектов объясняющим несовпадение g(×)
и f(×)
с точностью до преобразования распределения
яркостей. Такие объекты, изменившие
распределение цвета g(×)
по сравнению с распределением цвета
f(×),
представлены в >
>.
2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения.
Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f(×), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава освещения?
Пусть
П -
форма в широком смысле изображения
f(×),
определенная в теореме @, П>*>
- форма f(×).
Тогда ответ на поставленный вопрос
можно считать утвердительным, если >
>.
Если изменение g(×)
обусловлено не только изменившимися
условиями регистрации, но также появлением
и (или) исчезновением некоторых объектов,
то изменения, обусловленные этим
последним обстоятельством будут
представлены на >
>.
3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.
Пусть f(×) - заданное изображение, AÌX - подмножество поля зрения, c>A>(×) - его индикатор, c>A>(×)f(×) -назовем фрагментом изображения f(×) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на f(×). Пусть g(×) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сравнению с f(×). Задача состоит в том, чтобы указать на g(×) фрагмент изображения, представляющий на f(×) фрагмент сцены и совместить его с c>A>(×)f(×).
Ограничимся
случаем, когда упомянутые геометрические
искажения можно моделировать группой
преобразований R>2>->R>2>,
преобразование изображения >
>
назовем сдвигом g(×)
на h. Здесь
Q(h): R>n>->R>n>, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на h¢ÎH даст
>
>.
В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g(×) в “окне” A:
>
> (100)
причем,
поскольку >
>
где >
>
то в (100) >
>
- ограничение на сдвиг “окна” А,
которое должно оставаться в пределах
поля зрения X.
Если
кроме цвета g(×)
может отличаться от f(×),
скажем, произвольным преобразованием
распределения яркости при неизменном
распределении цвета и >
>
- форма фрагмента f(×),
то задача выделения и совмещения
фрагмента сводится к следующей задаче
на минимум
>
>.(101)
При этом считается, что фрагмент изображения g(×), соответствующий фрагменту c>A>(×)f(×), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h>*>, совпадает с c>A>(×)f(×) > >с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это означает, что
>
>.
т.е. в (101) при h=h>*> достигается минимум.
4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.
Рассмотрим
два изображения >
>
и >
>.
Определим форму в широком смысле >
>
как множество всех линейных преобразований
>
>:
>
>
(A - линейный
оператор R>2>->R>2>,
не зависящий от xÎX).
Для определения проектора на >
>
рассмотрим задачу на минимум
>
>. [*]
Пусть
>
>,
>
>,
тогда задача на минимум [*] эквивалентна
следующей: tr
A*AS
- 2trAB >~>
>
>.
Ее решение >
>
(знаком -
обозначено псевдообращение).
>
>=>
>
>
>=>
>
Рис.1.
f>e> - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e(×), j>e> - его цвет; j>1>,j>2>,j>3>, - векторы (цвета) базовых излучений, b - белый цвет, конец вектора b находится на пересечении биссектрис.
Литература.
[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.
[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.
[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.
[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.
[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.
[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.
[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.
[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.
[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-хххх.
[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.
[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.
[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).
[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.
1 ????????, ? ????? ? ?????????? ??????? ?????, ??????, ??????? ???? ? ?.?.
2 ???????? ???????????????? ??????? ??????? ??????????? ?????????? ? ??????[3].
3 ?????? f>e> ????? ????? ????????????? ??????????, ???? ?? ?? ??????????? ????????? ??????
>
>
4?????
????????????? ?????????, >
>
- ???????? ????????? ????? ? R>n>.
5
???? >
>
- ????? ????????? ??????????? , ?? ????????? A(j)
????? “??????????” ??
????????? ??????????? A¢(j¢),
?? ?????? ?? ??????? ???? >
>
??????????, ?? ????????? ?? ?????? ????????????? A¢(j¢).
??????, ????????? ????? ?????? ???????? ?????? ?? ???????
??????????? f(×),
v(f(×))
?? ????? ????????? ???????????, ??????? ?????
???????? ????????????? ???????????? ?????.
6 ??? ???????? ??????? ??????????? ????????? ????????????? ? ?????? ????? ???? ?????? ?.
7>
>-
????? ??????????????? ??????? >
>
????????????? >
>.
8????
? ?? ?? ????? F ???????????? ??? ??? ????????? >
>,
??? ? ??? ????????? >
>.
??? ????????? ?? ?????? ???????? ????????????? ? ????? ????????????
? ??????.
9???? (A>s>)=0, ?? ? ?????? ?????????? ??????????? (18) ???? ? ????????????? ??????? ?? A>s> ????? ??????? ?????????????, ????????? ?? ???????? ?? ?????? ?? ???????? ??????? s.
10??????? j>1>,..., j>q >??????????, ????????, ????????? ?????? ????????, ?????????????? ???????.