Сходящиеся последовательности
Удмуртский государственный университет
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
Определение: Последовательность {x>n>} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x>n>-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {x>n>}.
В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {x>n>} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы x>n> этой последовательности удовлетворяют неравенству:
|x>n>-a|<e.
При этом
число а называется пределом
последовательности.
Некоторые свойства сходящихся последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {x>n>}. Тогда, используя специальное представление для элементов x>n> сходящейся последовательности {x>n>}, получим x>n>=а+a>n>, x>n>=b+b>n>, где a>n> и b>n> – элементы бесконечно малых последовательностей {a>n>} и {b>n>}.
Вычитая данные соотношения, найдем a>n>-b>n>=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a>n>-b>n>} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a>n>} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {x>n>} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:
x>n>=а+a>n>,
где a>n>-
элемент бесконечно малой последовательности.
Так как бесконечно малая последовательность
{a>n>}
ограничена (по теореме: Бесконечно малая
последовательность ограничена.), то
найдется такое число А, что для всех
номеров n справедливо неравенство
|a>n>|£А.
Поэтому | x>n> | £
|a| + A для всех номеров n, что и означает
ограниченность последовательности
{x>n>}.
Теорема доказана.
Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {x>n>-a} и {x>n+1>-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(x>n>-a) – (x>n+1>-a)}={x>n>– x>n+1>} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |x>n>– x>n+1>| = 2 для любого номера n.
ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {х>n>} и {y>n>} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х>n>} и {y>n>}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х>n>} и {y>n>}. Тогда:
x>n>=а+a>n>, y>n>=b+b>n>,
где {a>n>}
и {b>n>)
– бесконечно малые последовательности.
Следовательно, (х>n> + y>n>)
- (а + b) =a>n>+b>n>.
Таким образом, последовательность {(х>n> + y>n>) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х>n> + y>n>} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {х>n>} и {y>n>} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х>n>} и {y>n>}.
Доказательство:
Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {х>n>}
и {y>n>}.Тогда:
x>n>=а+a>n>, y>n>=b+b>n>,
где {a>n>}
и {b>n>)
– бесконечно малые последовательности.
Следовательно, (х>n> - y>n>)
- (а - b) =a>n>-b>n>.
Таким образом, последовательность {(х>n> - y>n>) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х>n> - y>n>} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {х>n>} и {y>n>} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х>n>} и {y>n>}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х>n>} и {y>n>}, то x>n>=а+a>n>, y>n>=b+b>n> и x>n>×y>n>=a×b+a×b>n>+b×a>n>+a>n>×b>n>. Следовательно,
x>n>×y>n>-а×b=a×b>n>+b×a>n>+a>n>×b>n>.
(в силу
теоремы: Произведение ограниченной
последовательности на бесконечно малую
есть бесконечно малая последовательность.)
последовательность {a×b>n>+b×a>n>+a>n>×b>n>}
бесконечно малая, и поэтому последовательность
{x>n>×y>n>-а×b}
тоже бесконечно малая, а значит
последовательность {x>n>×y>n>}
сходится и имеет своим пределом число
а×b.
Теорема доказана.
ЛЕММА:
Если последовательность {y>n>}
сходится и имеет отличный от ноля предел
b, то, начиная с некоторого номера,
определена последовательность >
>,
которая является ограниченной.
Доказательство:
Пусть >
>.
Так как b¹0,
то e>0.
Пусть N – номер, соответствующий этому
e,
начиная с которого выполняется
неравенство:
|y>n>-b|<e
или |y>n>-b|<>
>
из этого
неравенства следует, что при n³N
выполняется неравенство |y>n>|>>>.
Поэтому при n³N
имеем >
>.
Следовательно, начиная с этого номера
N, мы можем рассматривать последовательность
>
>,
и эта последовательность ограничена.
Лемма доказана.
ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {x>n>} и {y>n>} при условии, что предел {y>n>} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x>n>} и {y>n>}.
Доказательство:
Из доказанной ранее леммы следует, что,
начиная с некоторого номера N, элементы
последовательности {y>n>}
отличны от ноля и последовательность
>
>
ограничена. Начиная с этого номера, мы
и будем рассматривать последовательность
>
>.
Пусть а и b – пределы последовательностей
{x>n>}
и {y>n>}.
Докажем, что последовательность >
>
бесконечно малая. В самом деле, так как
x>n>=а+a>n>, y>n>=b+b>n>,
то
>
>>
>.
Так
как последовательность >
>
ограничена, а последовательность >
>
бесконечно мала, то последовательность
>
>
бесконечно малая. Теорема доказана.
Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.
ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {x>n>}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству x>n>³b (x>n>£b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (a£b).
Доказательство: Пусть все элементы x>n>, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x>n>³b. Предположим, что а<b. Поскольку а – предел последовательности {x>n>}, то для положительного e=b-a можно указать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство
|x>n>-a|<b-a.
Это неравенство эквивалентно
-(b-a)<x>n>-a<b-a
Используя правое из этих неравенств мы получим x>n><b, а это противоречит условию теоремы. Случай x>n>£b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Элементы
сходящейся последовательности {x>n>}
могут удовлетворять строгому неравенству
x>n>>b,
однако при этом предел а может оказаться
равным b. Например, если x>n>=1/n,
то x>n>>0,
однако >
>.
Следствие 1: Если элементы x>n> и у>n> у сходящихся последовательностей {x>n>} и {y>n>}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x>n> £ у>n>, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству
>
>.
Элементы
последовательности {y>n>-x>n>}
неотрицательны, а поэтому неотрицателен
и ее предел >
>.
Отсюда следует, что
>>.
Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {x>n>} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.
Это выполняется, так как а£x>n>£b, то a£c£b.
ТЕОРЕМА: Пусть {x>n>} и {z>n>}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y>n>}удовлетворяют неравенствам x>n>£y>n>£z>n>. Тогда последовательность {y>n>} сходится и имеет предел а.
Доказательство: достаточно доказать, что {y>n>-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства x>n>-а £ y>n>-а £ z>n>-а. Отсюда следует, что при n³N’ элементы последовательности {y>n>-a} удовлетворяют неравенству
|y>n>-a| £ max {|x>n>-a|, |z>n>-a|}.
Так как
>
>
и >
>,
то для любого e>0
можно указать номера N>1>
и N>2>
такие, что при n³N>1>
|x>n>-a|<e,
а при n³N>2>
|z>n>-a|<e.
Итак последовательность {y>n>-a}
бесконечно малая. Теорема доказана.
Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.
ПРИМЕРЫ
Последовательность
>
>
сходится и имеет своим пределом ноль.
Ведь каково бы ни было e>0,
по свойству Архимеда вещественных
чисел существует такое натуральное
число n>e>,
что n>e>>>
>.
Поэтому >
>
для всех n³n>e>,
а это означает, что >
>.
Последовательность
>
>
сходится и >
>,
что следует из того, что
>
>,
и того, что >
>.
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА № 1
Пусть числовая последовательность а>1>, а>2>, а>3>, … удовлетворяет условию
>
> (m,
n = 1, 2, 3, … ),
тогда последовательность
>
>,…
должна
либо расходиться к >
>,
причем предел этой последовательности
будет равен ее нижней грани.
РЕШЕНИЕ:
Видим
частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно
рассмотреть случай, когда нижняя грань
a
конечна. Пусть e>0
и >
>a+e.
Всякое целое число n может быть представлено
в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1.
Полагая единообразие а>0>=0,
имеем:
a>n>=a>qm+r>£a>m>+a>m>+…+a>m>+a>r>=qa>m>+a>r>,
>
>,
>
>
ЗАДАЧА № 2
Пусть числовая последовательность а>1>, а>2>, а>3>, … удовлетворяет условию
>
>
тогда существует конечный предел
>
>,
причем
>
> (n
= 1, 2, 3, … ).
РЕШЕНИЕ:
Из неравенств 2a>m>-1<a>2m><2a>m>+1 получаем:
>
> (*)
Ряд
>
>
сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:
|a>1>|+2-1+2-2+2-3+…
запишем целое число n по двоичной системе:
n=2m+e>1>2m-1+e>2>2m-2+…+e>m> (e>1>, e>2>, …, e>m> = 0 или 1)
согласно предположению
>
>
>
>.
Применяя теорему (1) для данных:
s>0>=0,
s>1>=>
>, s>m-1>=>
>, s>m>=>
>,
…, p>n0>=0, p>n1>=>
>,
…, p>n, m-1>=>
>,
>
>, p>n,
m+1>=0, …,
заключаем,
что >
>.
Наконец, в силу (*) имеем:
>
>.
ЗАДАЧА № 3
Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.
РЕШЕНИЕ:
Нам
достаточно рассмотреть случай, когда
частичные суммы s>1>,
s>2>, …, s>n>,
… ограничены. Пусть >
>,
>
>,
l - целое положительное число, l>2 и >
>.
Разобьем числовую прямую на l интервалов точками
-¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥.
Выберем
такое N, чтобы для n>N выполнялось
неравенство |s>n>-s>n+1>|<d.
Пусть, далее, s>n1>
(n>1>>N)
лежит в первом интервале и s>n2>
(n>2>> n>1>)
– в последнем. Тогда числа конечной
последовательности >
>
не смогут “перепрыгнуть” ни один из
l-2 промежуточных интервалов длиной d.
Аналогично рассуждаем и в том случае,
когда последовательность будет не
“медленно восходящей”, а “медленно
нисхожящей”.
ЗАДАЧА № 4
Пусть для
последовательности t>1>,
t>2>, … , t>n>,
… существует такая последовательность
стремящихся к нулю положительных чисел
>
>…,
что для каждого n
>
>.
Тогда
числа t>1>,
t>2>, … , t>n>,
…лежат всюду плотно между их нижним и
верхним пределами.
РЕШЕНИЕ:
Существуют
в сколь угодно большом удалении конечные
последовательности >
>,
произвольно медленно нисходящие от
верхнего предела последовательности
к ее нижнему пределу.
ЗАДАЧА № 5
Пусть v>1>, v>2>, … , v>n>, … - положительные числа, v>1 >£ v>2 >£ v>3> … Совокупность предельных точек последовательности
>
>,
…
заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).
РЕШЕНИЕ:
>
>
ЗАДАЧА № 6
Числовая
последовательность, стремящаяся к >
>,
имеет наименьший член.
РЕШЕНИЕ:
Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.
ЗАДАЧА № 7
Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.
РЕШЕНИЕ:
При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.
ЗАДАЧА № 8
Пусть l>1>,
l>2>, l>3>,
… , l>m>,
… - последовательность положительных
чисел и >
>,
тогда существует бесконечно много
номеров n, для которых l>n>
меньше всех предшествующих ему членов
последовательности l>1>,
l>2>, l>3>,
… , l>n-1>.
РЕШЕНИЕ:
Пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h. Пусть n – наименьший номер, для которого l>n><h. Тогда:
n>m; l>n><l>1>, l>n><l>2>, …, l>n><l>n-1>.
ЗАДАЧА № 9
Пусть l>1>,
l>2>, l>3>,
… , l>m>,
… - последовательность положительных
чисел и >
>,
тогда существует бесконечно много
номеров n, для которых l>n>
превосходит все следующие за ним члены
l>n+1>, l>n+2>,
l>n+3>,…
ЗАДАЧА № 10
Пусть числовые последовательности
l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>, … (l>m>>0),
s>1>, s> 2>, s> 3>, … , s> m>, … (s>1>>0, s>m+1>>s>m>, m=1, 2, 3, …)
обладают тем свойством, что
>>,
>
>.
Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства
l>n>>l>n+1>, l>n>>l>n+2>, l>n>>l>n+3>, …
l>n>s>n>>l>n-1>s>n-1,> l>n>s>n>>l>n-2>s>n-2,> … l>n>s>n>>l>1>s>1,>
РЕШЕНИЕ:
Будем называть l>m> “выступающим” членом последовательности, если l>m> больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:
>
>,…
>
>
Каждый невыступающий член l>v> заключается (для v>n>1>) между двумя последовательными выступающими членами, скажем n>r-1><v<n>r>. Имеем последовательно:
>
>,
значит
>
> (*)
отсюда заключаем, что
>
>
Действительно,
в противном случае >
>,
значит, в силу (*) и вся последовательность
l>1>s>1>,
l>2>s>2>,
… были бы ограничены, что противоречит
предположению. Теперь пусть задано
целое положительное число m и h
– наименьшее из чисел >
>,…
; h>0.
Согласно предположению в рассматриваемой
последовательности существуют члены,
меньше чем h.
Пусть k – наименьший номер, для которого
>
><h.
Тогда:
k>m; >
>.
ЗАДАЧА № 11
Если
числовая последовательность >
>,…
стремится к >
>
и А превышает ее наименьший член, то
существует такой номер n (возможно
несколько таких), n³1,
что n отношений
>
>
все
не больше А, а бесконечное множество
отношений
>
>,…
все
не меньше А.
РЕШЕНИЕ:
Имеем >
>.
Пусть минимум последовательности
L>0>-0, L>1>-A, L>2>-2A, L>3>-3A, …
Будет L>n>-nA; тогда
L>n-u>-(n-u)A³ L>n>-nA; L>n+v>-(n+v)A³ L>n>-nA,
u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.
ЗАДАЧА № 12
Пусть относительно числовой последовательности l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>, … предполагается лишь, что
>
>.
Пусть,
далее, А>l>1>.
Тогда существует такой номер n, n ³
1, что одновременно выполняются все
неравенства
>
>
>
>.
Если
А®¥,
то также n®¥.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
l>1>+l>2>+l>3>+…+l>m>=L>m>, m=1, 2, 3, …; L>0>=0.
Так как L>1>-A<0, то L>0>-0 не является минимумом в предыдущем решении. l>n+1>³A; поэтому l>n+1, >а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.
ЗАДАЧА № 13
Пусть числовая последовательность l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>, … удовлетворяет условиям
>
>, >
>
Пусть,
далее, l>1>>A>0.
Тогда существует такой номер n, n ³
1, что одновременно выполняются все
неравенства
>
>
>>.
Если
А®0,
то также n®0.
РЕШЕНИЕ:
Положим
l>1>+l>2>+l>3>+…+l>m>=L>m>, m=1, 2, 3, …; L>0>=0.
Тогда >
>.
Последовательность
L>0>-0, L>1>-A, L>2>-2A, L>3>-3A, …, L>m>-mA, …
стремится к -¥. Пусть ее наибольший член будет L>n>-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.
В последовательности L>0>, L>1>, …, L>m>, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть L>s> будет один из них. Тогда числа:
>
>
все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L>n>) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.