Пределы и производные

Пределы и производные

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти X_>n> если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N_>0>, такое что при всех n>N_>0> будет выполн-ся нер-во |X_>n>-A|<E. lim_>n>_>®¥>X_>n>=A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N_>0>, для кот. любые точки >N_>0> попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N_>1> "n>N_>1> |a-Xn|<E/2 Из lim Xn=b (n®¥) => " E/2 $ N_>2> "n>N_>2> |Xn-и|<E/2 N_>0>=max(N_>1>;N_>2>), n>N_>0>. |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N_>1> Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во: 1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N_>2> |Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2. Из $ lim Yn=a (n®¥) => n>N_>3>, a-E<Yn<a+E. 3. N_>0>=max(N_>1>,N_>2>,N_>3>). При всех n>N_>0> Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N_>0>, n>N_>0>, |Xn|<E.

Свойства б.м. величин:

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во: из Xn – б.м. => " E/2 $N_>1>, n>N_>1 >|Xn|<E/2

из Yn–б.м.=>" E/2 $N_>2>, n>N_>2 >|Yn|<E/2, N_>0>=max(N_>1>,N_>2>), N>N_>0>, |Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E => lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N_>0> n>N_>0> |Yn|<E/K.

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во: Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N_>0> n>N_>0> |Xn-a|<E

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N_>0>, n>N_>0>, |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn=¥ (n®¥).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>"M $N_>1>, n>N_>1> |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $ N_>2>, n>N_>2> |Yn|>M

N_>0>=max(N_>1>, N_>2>) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M²>M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N_>0>, n>N_>0> |Xn|>M =>n>N_>0>.

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+a_>n>; lim Yn=b => Yn=b+b_>n>;

Xn ± Yn = (a + a_>n>) ± (b + b_>n>) = (a ± b) + (a _>n>± b_>n>) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+a_>n>)/(b+b_>n>) – a/b = (ab+a_>n>b–ab–ab_>n>)/b(b+b_>n>) =(ba_>n>-ab_>n>)/b(b+b_>n>)=g_>n >=> Xn/Yn=a/b+g_>n> => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x_>0>, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x_>0>|<d, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или "x выпол x_>0>-d<x<x+d=> A-E<f(x)<A+E.

Lim _>x>_>®>_>x0> f(x)=A

Ф-ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при x®x_>0> если для "М>0 сколь угодно большого $ d>0, что "x |x-x_>0>|<d будет выполняться нер-во |f(x)|>M, "x x_>0>-d<x<x_>0>+d, -M>f(x)>M.

Lim f(x)=¥ (x®x_>0>).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x®¥, если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|<E.

I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

S_>треуг> МОА< S_>сект> МОА<S_>треуг> СОА.

S_>треуг>МОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

S_>сект>МОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

S_>треуг>СОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}

1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. lim_>x>_>®>_>0>(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;

2.lim_>x>_>®>_>0>(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=

=lim_>t>_>®>_>0>t/sint=1;

3. lim_>x>_>®>_>0> (sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=

=a/b lim_>a>_>x>_>®>_>0>(sin ax)/ax=a/b.

II замечательный предел.

lim_>n>_>®¥>(1+1/n)ⁿ=?

Бином Ньютона: (a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+(n(n-1)a^n-2b²)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)a^n-4b⁴)/4!+...+bⁿ.

(1+1/n)ⁿ=1+n1/n+n(n-1)/2!n²+n(n-1)(n-2)/3!n³+...+1/nⁿ= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nⁿ={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/2²(1-1/n)(1-2/n)+1/2³(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2ⁿ < 2+0.5+1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ =2+0.5(1-1/2ⁿ)/(1-0.5)=2+1-1/2ⁿ=3-1/2ⁿ <3.

2£(1+1/n)ⁿ<3 => $ lim_>n>_>®¥>(1+1/n)ⁿ=e.

Следствия:

1.lim_>x>_>®>_>+>_>¥>(1+1/x)^x=e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)^x³(1/x+1)^x³(1+1/(n+1))^x

(1/n+1)ⁿ⁺¹³(1+1/x)^x³(1+1/(n+1))ⁿ lim_>n>_>®¥>(1+1/n)ⁿ(1+1/n)=e*1=e,· lim_>n>_>®¥>(1+1/(n+1))ⁿ⁺¹*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $lim_>x>_>®>_>+>_>¥>(1+1/x)^x=e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х_>0>, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х_>0> равный значению фун f(x_>0>).limf(x)=f(x_>0>)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $lim_>x>_>®>_>x0-0>f(x) $lim_>x>_>®>_>x0+0> f(x) – конечные пределы; 3. lim_>x>_>®>_>x0->f(x)=lim_>x>_>®>_>x0+>f(x);

4. lim_>x>_>®>_>x0>_>±>f(x)=f(x_>0>).

Если Х_>0> т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х_>0> – 1 род

Если Х_>0> – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х_>0> т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х_>0> – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f_>1>(x) и f_>2>(x) непрерывны в точке х_>0>, то сумма (разность) y(х)=f_>1>(x)±f_>2>(x), произведение у(х)=f_>1>(x)*f_>2>(x), а также отношение этих фун у(х)=f_>1>(x)/f_>2>(x), есть непрерывная фун в точке х_>0>.

Док-во (суммы): По определению получ lim_>х>_>®>_>х0>f_>1>(x)=f_>1>(x_>0>) и lim_>х>_>®>_>х0>f_>2>(x)=f_>2>(x_>0>) на основании св-ва1 можем написать: lim_>х>_>®>_>х0>у(х)=lim_>х>_>®>_>х0>[f_>1>(x)+f_>2>(x) ]=

=lim_>х>_>®>_>х0>f_>1>(x)+lim_>х>_>®>_>х0>f_>2>(x)=f_>1>(x_>0>)+f_>2>(x_>0>)=у(х_>0>). Итак сумма есть непрерывная фун.·

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х_>0>, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z_>0>=j(х_>0>), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х_>0>.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке

Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства(small):

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна т-ка в кот ф-ия отрицат, то $ x_>0> на [a;b], f(x_>0>)=0.

Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х_>1> такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x_>1>)³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х_>2>, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю

f(x_>2>)£ f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xÎX, x_>0>; x_>0>+Dx ÎX => Dy=Df(x_>0>)=f(x_>0>+Dx)-f(x_>0>), Dy/Dx=(f(x_>0>+Dx)-f(x_>0>))/Dx.

Если $ lim_>D>_>x>_>®>_>0>Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х_>0>. · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. Lim_>D>_>х>_>®>_>0>(f(x_>0>+Dx)-f(x_>0>))/Dx= =f^/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y^|(x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х_>0 >равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х_>0>;f(x_>0>)).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М_>0> (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.

y^|(x_>0>)=lim_>D>_>х>_>®>_>0>(f(x_>0>+Dx)-f(x_>0>))/ /Dx=lim_>D>_>х>_>®>_>0>Dy/Dx=lim_>D>_>х>_>®>_>0>tga==lim_>a®a>_>0>tga=tga_>0>.

L: y-f(x_>0>)=f^\(x_>0>)(x-x_>0>)

N_>l>=y-f(x_>0>)=-(x-x_>0>)/f^\(x_>0>).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y^|=U^|(x)+ V^|(x). Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y^|=lim_>D>_>x>_>®>_>0>Dy/Dx = lim_>D>_>x>_>®>_>0>Du/Dx+ lim_>D>_>x>_>®>_>0>Dv/Dx=U^|(x)+V^/(x).

2. y=uv, y^|=u^|v+uv^|. Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,

y^|= lim_>D>_>x>_>®>_>0>Dy/Dx= lim_>D>_>x>_>®>_>0>Duv/Dx + lim_>D>_>x>_>®>_>0>Dvu/Dx + lim_>D>_>x>_>®>_>0>DuDv/Dx={ lim_>D>_>x>_>®>_>0>Du=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u^|v+uv^|.

3. y=u/v, y^|=(u^|v-uv^|)/v². Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)

Dy/Dx...

4. y=a^x, y^|=a^xln a. Док-во: ln y=x ln a, y^|/y=ln a, y^|=yln a y^|=a^xln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]^/=0^/}

Формула Лейбница.

y⁽ⁿ⁾=(uv)⁽ⁿ⁾=(u)⁽ⁿ⁾v+nu^(n-1)v^|+([n(n-1)]/[1*2])*n^(n-2)v^||+…+uv⁽ⁿ⁾

Дифференцирование ф-ии в точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х_>0>, если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. lim_>D>_>x>_>®>_>0>O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.

Теорема: y=f(x) дифф-ма в т-ке Х_>0> т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f^\(x_>0>).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)

f^\(x_>0>)=lim_>D>_>x>_>®>_>0>Dy/Dx= lim_>D>_>x>_>®>_>0>[(ADx+O(Dx))/Dx] = lim_>D>_>x>_>®>_>0>(A+O(Dx)/Dx)=A => Dy=f^\(x_>0>)Dx+O(Dx) => lim_>D>_>x>_>®>_>0>Dy=0 => f(x) – непрерывна.

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f^\(x_>0>) – число, f^\(x_>0>)=lim_>D>_>x>_>®>_>0>Dy/Dx => Dy/Dx=f^\(x_>0>)+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f^\(x_>0>)Dx+a(Dx)Dx => Dy=f^\(x_>0>)Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => lim_>D>_>x>_>®>_>0>O(Dx)/Dx=lim_>D>_>x>_>®>_>0>a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.

Приближ знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x_>0>+Dx)-f(x_>0>) =>f(x_>0>+Dx)=f(x_>0>)+Dy»f(x_>0>)+df(x_>0>)=f(x_>0>)+f^\(x_>0>)dx, dx=Dx.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х_>0>, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х_>0> равный значению фун f(x_>0>).limf(x)=f(x_>0>)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $lim_>x>_>®>_>x0-0>f(x) $lim_>x>_>®>_>x0+0> f(x) – конечные пределы; 3. lim_>x>_>®>_>x0->f(x)=lim_>x>_>®>_>x0+>f(x);

4. lim_>x>_>®>_>x0>_>±>f(x)=f(x_>0>).

Если Х_>0> т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х_>0> – 1 род

Если Х_>0> – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х_>0> т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х_>0> – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f_>1>(x) и f_>2>(x) непрерывны в точке х_>0>, то сумма (разность) y(х)=f_>1>(x)±f_>2>(x), произведение у(х)=f_>1>(x)*f_>2>(x), а также отношение этих фун у(х)=f_>1>(x)/f_>2>(x), есть непрерывная фун в точке х_>0>.

Док-во (суммы): По определению получ lim_>х>_>®>_>х0>f_>1>(x)=f_>1>(x_>0>) и lim_>х>_>®>_>х0>f_>2>(x)=f_>2>(x_>0>) на основании св-ва1 можем написать: lim_>х>_>®>_>х0>у(х)=lim_>х>_>®>_>х0>[f_>1>(x)+f_>2>(x) ]=

=lim_>х>_>®>_>х0>f_>1>(x)+lim_>х>_>®>_>х0>f_>2>(x)=f_>1>(x_>0>)+f_>2>(x_>0>)=у(х_>0>). Итак сумма есть непрерывная фун.·

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х_>0>, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z_>0>=j(х_>0>), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х_>0>.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Бесконечно малая последовательность

Последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел . Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер , что для всех , c номерами справедливо неравенство . Неравенство , эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер , что все c номерами , расположены между и . Последовательность, предел которой конечное число , называется сходящейся и ее предел обозначают . Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами , то неравенства означают, что все точки с номерами расположены между параллельными оси абсцисс прямыми и .

f(x)		f(x)		f(x)
C	0			cosx	-sinx
x	1	lnx	1/x	tgx	1/cos2x
xn	nxn-1	ax	axlna	arcsina
	1/(2)			arccosa	-
1/x	-1 / x2	sinx	cosx	arctgx	1/(1+x2)

Производная

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точкиx. Пусть Dx приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx)–f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое приращение функции Df.

Отношение Df/Dx, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y=f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Представим себе процесс, в котором величина Dx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y=f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Dx её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y=f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение Dy/Dx или, что то же самое (f(x+Dx)f(x))/Dx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx=0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x+Dx)–f(x))/Dx в точке Dx=0, то он называется производной функции y=f(x) в точке x и обозначается y¢ илиf¢(x):

Нахождение производной функции y=f(x) называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a,b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a,b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Производная  это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f¢(x)»Df/Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢(x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df и Dx.Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x_>0>, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке.

Так функция y=êxê не имеет производной в точке x=0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке. . Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.stydent.od.ua/