Сопряженная однородная задача

Сопряженная однородная задача

План.

Сопряженный оператор.

Сопряженная однородная задача.

Условия разрешимости.

Сопряженный оператор.

Обозначим через _> > дифференциальный оператор второго порядка, т.е.

_>> (1)

где _> > представляют собой непрерывные функции в промежутке _> >. Если _> > и _> >- дважды непрерывно дифференцируемые на _> >функции, то имеем:

_>> (2)

Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:

_>> (3)

Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через _> >, т.е. _> > (4)

При этом соотношение (3) перепишется так:

_>> (5)

Оператор _> > называется сопряженным по отношению к оператору _> >. Умножая соотношение (4) на _> > и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору _> >. Таким образом, операторы _> > и _> > взаимно сопряжены.

Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:

_>>(6)

будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:

_>>(7)

Если же _> >, то оператор _> > и дифференциальное уравнение _> >будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что _> > тогда и только, когда:

_>>

Таким образом, оператор _> > будем самосопряженным тогда и только тогда, когда _> >.

При этом:

_>>

Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию _> >.

Дифференцируя соотношение (5) по _> >, получаем так называемую формулу Лагранжа:

_>> (8)

Правая часть этой формулы может быть записана как:

_>> (9)

где

_>> _>> _>> (10)

Отметим, что:

_>> и следовательно, матрица _> >-невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:

_>>(11)

Сопряженная однородная задача.

Введем следующее невырожденное линейное преобразование _> > в вектор _> >:

_>>(12),

где

_>> _>>

Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторе _> >две последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам_>>. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку _> >, мы можем обратить преобразование (12) и получить:

_>>.

При этом (11) можно переписать как:

_>>

или

_>> (13),

где _> > (14)

Билинейная форма _> > в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).

Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)

_>>и _> >и получим:

_>> (15)

Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:

_>> (16)

_>> (17)

С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:

_>> (18)

При ненулевом векторе _> > последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты _> > и _> > принимали любые требуемые значения, лишь бы _> > и _> >не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия _> >. При этом из соотношения (11) следует, что _> >. Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства _> >. При этом из соотношения (11) вытекает, что _> >. Таким образом, задача, сопряженная задаче _> >(19)

имеет вид:

_>> (20)

где _> > и _> > связаны с компонентами _> > вектора _> > соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когда _> >и каждая из двух компонент _> > и _> > является линейной комбинацией _> > и _> >, т.е. _> >пропорциональна _> >.

Один из определителей:

_>>

матриц-блоков

_>>

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что _> >. Далее, выберем такие _> >и _> >, чтобы строки матрицы А были линейно независимы.

Например, положим _> >и _> >.

При этом матрица А примет вид:

_> > (21).

Из формулы (19) следует, что _> >.

Тогда

_>> (22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):

_>>Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:

_>> (22)

_>> (23)

Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы _> > и чтобы каждая из компонент _> > и _> > являлась линейной комбинацией _> > и _> >. Как указывалось выше, _> > тогда и только тогда, когда _> >. При этом условия (21) и (20) принимают вид:

_>> (24)

Разрешая равенства относительно _> > и _> > при _> > и заменяя _> > на _> >, получаем:

_>> (25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:

_>> (26)

Краевая задача при _> > самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство _> >.

Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:

_>> (27)

_>>,

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:

_>> (27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь _> > и _> > с вектором _> >, описываемую формулой (14а) т.е.:

_>> (28)

При этом соотношение (27) принимает вид:

_>>

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.