1.

Нарисовать график производной и график интеграла функции, заданной свободно начерченным графиком.

2.

Найти предел

lim

x  0

sin tg x – tg sin x

arcsin arctg x – arctg arcsin x

.

3.

Найти критические значения и критические точки отображения z  z² + 2z (нарисовать ответ).

4.

Вычислить сотую производную функции

x² + 1

x³ – x

.

5. в нуле с относительной погрешностью 10%.

Вычислить сотую производную функции

1

x² + 3x + 2

6.

Нарисовать на плоскости (x, y) кривую, заданную параметрически: x = 2t – 4t³, y = t² – 3t⁴.

7.

Сколько нормалей к эллипсу можно провести из данной точки плоскости? Исследовать область, в которой число нормалей максимально.

8.

Сколько максимумов, минимумов и седел имеет функция x⁴ + y⁴ + z⁴ + u⁴ + v⁴ на поверхности x + … + v = 0, x² + … + v² = 1, x³ + … + v³ = C ?

9.

Всякий ли положительный многочлен от двух вещественных переменных достигает своей нижней грани на плоскости?

10.

Исследовать асимптотики решений y уравнения x⁵ + x²y² = y⁶, стремящихся к 0 при x  0.

11.

Исследовать сходимость интеграла

+ 



– 

dxdy

1 + x⁴y⁴

.

12.

Найти поток векторного поля r/r³ через поверхность (x – 1)² + y² + z² = 2.

13.

Вычислить с относительной погрешностью 5%

10



1

x^x dx.

14.

Вычислить с относительной погрешностью не более 10%

+ 



– 

(x⁴ + 4x + 4)^–100 dx.

15.

Вычислить с относительной погрешностью 10%

+ 



– 

cos (100 (x⁴ – x)) dx.

16.

Какую долю от объема пятимерного куба составляет объем вписанного в него шара? А от десятимерного?

17.

Найти расстояние от центра тяжести однородного 100-мерного полушара радиуса 1 до центра шара с односительной погрешностью 10%.

18.

Вычислить



–



1  i  j  n

x_>i> x_>j>

e

dx_>1> … dx_>n>.

19.

Исследовать ход лучей в плоской среде с показателем преломления n(y) = y⁴ – y² + 1, пользуясь законом Снеллиуса n(y)sin = const, где  – угол луча с осью y.

20.

Найти производную решения уравнения x'' = x + A(x')² с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = 0 по параметру A при A = 0.

21.

Найти производную решения уравнения x'' = (x')² + x³ с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = A по A при A = 0.

22.

Исследовать границу области устойчивости (max Re _>j> < 0) в пространстве коэффициентов уравнения x''' + ax'' + bx' + cx = 0.

23.

Решить квазиоднородное уравнение

dy

dx

= x +

x³

y_> >

.

24.

Решить квазиоднородное уравнение x'' = x⁵ + x² x'.

25.

Может ли асимптотически устойчивое положение равновесия сделаться неустойчивым по Ляпунову при линеаризации?

26. где  << 1.

Исследовать поведение при t  решений систем

{

x' = y,

{

x' = y,

y' = 2sin y – y – x,

y' = 2x – x³ – x² – y,

27.

Нарисовать образы решений уравнения x'' = – kx' – dU/dx на плоскости (x, E), где E = (x')²/2 + U (x), вблизи невырожденных критических точек потенциала U.

28.

Нарисовать фазовый портрет и исследовать его изменение при изменении малого комплексного параметра :

z' = z – (1 + i) z z² + z ⁴.

29.

Заряд движется со скоростью 1 по плоскости под действием перепендикулярного ей сильного магнитного поля B(x, y). В какую сторону будет дрейфовать центр ларморовской окружности? Вычислить скорость этого дрейфа (в первом приближении). [Математически речь идет о кривых кривизны NB, где N .]

30.

Найти сумму индексов особых точек векторного поля zz ² + z⁴ + 2z ⁴, отличных от нуля.

31.

Найти индекс особой точки 0 векторного поля с компонентами (x⁴ + y⁴ + z⁴, x³y – xy³, xyz²).

32.

Найти индекс особой точки 0 векторного поля grad(xy + yz + zx).

33.

Найти коэффициент зацепления фазовых траекторий уравнения малых колебаний x'' = –4x, y'' = –9y на поверхности уровня полной энергии.

34.

Исследовать особые точки кривой y = x³ на проективной плоскости.

35.

Нарисовать геодезические на поверхности (x² + y² – 2)² + z² = 1.

36.

Нарисовать эвольвенты кубической параболы y = x³ (эвольвента – это геометрическое место точек r(s) + (c – s)r'(s), где s – длина вдоль кривой r(s), c – константа).

37.

Доказать, что поверхности в евклидовом пространстве ((A – λE)^–1x, x) = 1, проходящие через точку x и соответствующие разным значениям λ (A — симметричный оператор без кратных собственных чисел) попарно ортогональны.

38.

Вычислить интеграл от гауссовой кривизны поверхности z⁴ + (x² + y² – 1)(2x² + 3y² – 1) = 0.

39. где A пробегает кривую x = cos α, y = sin α, z = 0, а B — кривую x = 2cos²β, y = ½ sin β, z = sin 2β.

Вычислить интеграл Гаусса







(dA, dB, A – B)

A – B³

,

40.

Перенести параллельно направленный в Ленинграде (широта 60°) на север вектор с запада на восток вдоль замкнутой параллели.

41.

Найти геодезическую кривизну прямой y = 1 на верхней полуплоскости с метрикой Лобачевского-Пуанкаре ds² = (dx² + dy²)/y².

42.

Пересекаются ли в одной точке медианы треугольника на плоскости Лобачевского? А высоты?

43.

Найти числа Бетти поверхности x_>1>² + ... + x_>k>² – y_>1>² – ... – y_>l>² = 1 и множества x_>1>² + ... + x_>k>²  1 + y_>1>² + ... + y_>l>² в k+l-мерном линейном пространстве.

44.

Найти числа Бетти поверхности x² + y² = 1 + z² в трехмерном проективном пространстве. То же для поверхностей z = xy, z = x², z² = x² + y².

45.

Найти индекс самопересечения поверхности x⁴ + y⁴ = 1 в проективной плоскости CP².

46.

Отобразить конформно внутренность единичного круга на первый квадрант.

47.

Отобразить конформно внешность круга на внешность данного эллипса.

48.

Отобразить конформно полуплоскость без перпендикулярного ее краю отрезка на полуплоскость.

49.

Вычислить







|z| = 2

dz

1 + z¹⁰

.

50.

Вычислить

+ 



– 

e ^{i k x}

1 + x²

dx.

51.

Вычислить интеграл

+ 



– 

e ^{i k x}

1 – e^x

1 + e^x

dx.

52.

Вычислить первый член асимптотики при k интеграла

+ 



– 

e ^{i k x}

1 + x²ⁿ

dx.

53.

Исследовать особые точки дифференциальной формы dt = dx/y на компактной римановой поверхности y²/2 + U (x) = E, где U – многочлен, а E – не критическое значение.

54.

x'' = 3x – x³ – 1. В которой из ям больше период колебаний (в более мелкой или более глубокой) при равных значениях полной энергии?

55.

Исследовать топологически риманову поверхность функции w = arctg z.

56.

Сколько ручек имеет риманова поверхность функции w = 1 + zⁿ.

57.

Найти размерность пространства решений задачи

u

z

= (z – i) при Im z  0,

Im u(z)|_>Im >_>z>_{> = 0}> = 0,

u|_>z>_{>}>  0.

58.

Найти размерность пространства решений задачи

u

z

= a(z – i) + b(z + i) при |z|  2,

Im u(z)|_>|>_>z>_{>| = 2}> = 0.

59. в окрестности точки (1, y_>0>).

Исследовать существование и единственность решения задачи

y

u

x

= x

u

y

,

u|_>x>_{> = 1}> = cos y

60. в окрестности точки (x_>0>, 0) оси x?

Существует ли и единственно ли решение задачи Коши

x(x² + y²)

u

x

+ y³

u

y

= 0,

u|_>y>_{> = 0}> = 1

61. продолжается на интервал [0, t)?

При каком наибольшем t решение задачи

u

t

+ u

u

x

= sin x,

u|_>t>_{> = 0}> = 0

62. в окрестности точки (0,0).

Найти все решения уравнения

y

u

x

– sin x

u

y

= u²

63. на всей плоскости (x, y)? Единственно ли оно?

Существует ли решение задачи Коши

y

u

x

+ sin x

u

y

= y,

u|_>x>_{> = 0}> = y⁴

64.

Имеет ли задача Коши u_>>_>y>_{> =} >_>x>_>²> = 1, (u)² = 1 гладкое решение в области y  x²? В области y  x²?

65.

Найти среднее значение функции ln r на окружности (x – a)² + (y – b)² = R² (функции 1/r на сфере).

66.

Решить задачу Дирихле

u = 0

при x² + y² < 1;

u = 1

при x² + y² = 1, y > 0;

u = –1

при x² + y² = 1, y < 0.

67.

Какова размерность пространства непрерывных при x² + y²  1 решений задачи

u = 0 при x² + y² > 1;

u

n

= 0 при x² + y² = 1?

68. по C^-функциям u, равным 0 в 0 и 1 при x² + y² = 1.

Найти

inf



(

u

x

)

2

+

(

u

y

)

2

dxdy

x² + y²  1

69.

Доказать, что телесный угол, опирающийся на заданный замкнутый контур, – гармоническая вне контура функция вершины угла.

70.

Вычислить среднее значение телесного угла, под которым виден круг x² + y²  1, лежащий в плоскости z = 0, из точек сферы x² + y² + (z – 2)² = 1.

71.

Вычислить плотность заряда на проводящей границе полости x² + y² + z² = 1, в которую помещен заряд q = 1 на расстоянии r от центра.

72.

Вычислить в первом приближении по  влияние сжатия Земли ( 1/300) на гравитационное поле Земли на расстоянии Луны (считая Землю однородной).

73.

Найти (в первом приближении по ) влияние несовершенства почти сферического конденсатора R = 1 + j() на его емкость.

74.

Нарисовать график u(x,1), если 0  x  1,

u

t

=

²u

x²

,

u|_>t>_{> = 0}> = x²,

u|_>x>_{>² =} >_>x> = x².

75.

Вследствие годовых колебаний температуры земля в городе N промерзает на глубину 2 м. На какую глубину она промерзла бы вследствие суточных колебаний такой же амплитуды?

76.

Исследовать поведение при t  решения задачи

u_>t> + (u sin x)_>x> = u_>xx>

,

u|_>t>_{> = 0}> = 1,

 << 1.

77.

Найти собственные числа оператора Лапласа div grad на сфере радиуса R в евклидовом пространстве размерности n и их кратности.

78.

A|_>t>_{> = 0}> = cos x,

B|_>t>_{> = 0}> = 0,

A

t

t = 0

=

B

t

t = 0

= 0.

Решить задачу Коши

²A

t²

= 9

²A

x²

– 2B,

²B

t²

= 6

²B

x²

– 2A,

79.

Сколько решений имеет краевая задача

u_>xx> + λu = sin x,

u(0) = u(π) = 0?

80.

Решить уравнение

1



0

(x + y)² u(x) dx = λu(y) + 1.

81.

Найти функцию Грина оператора d ²/dx² – 1 и решить уравнение

+ 



– 

e^{– | x – y |} u(y) dy = e^–x².

82.

При каких значениях скорости c уравнение u_>t> = u – u² + u_>xx> имеет решение в виде бегущей волны u = φ(x – ct), φ(–∞) = 1, φ(∞) = 0, 0 ≤ u ≤ 1?

83.

Найти решения уравнения u_>t> = u_>xxx> + uu_>x>, имеющих вид бегущей волны u = φ(x – ct), φ(±∞) = 0.

84.

Найти число положительных и отрицательных квадратов в нормальной форме квадратичных форм



1 ≤ i < j ≤ n

(x_>i> – x_>j>)²

и



1 ≤ i < j ≤ n

x_>i> x_>j> .

85.

Найти длины главных осей эллипсоида



1 ≤ i ≤ j ≤ n

x_>i> x_>j> = 1.

86.

Через центр куба (тетраэдра, икосаэдра) провести прямую так, чтобы сумма квадратов расстояний до вершин была: а) минимальной, б) максимальной.

87.

Найти производные длин полуосей эллипсоида x² + y² + z² + xy + yz + zx = 1 + εxy по ε при ε = 0.

88.

Какие фигуры могут получиться при пересечении бесконечномерного куба { |x_>k>|  1, k = 1, 2, ...} двумерной плоскостью?

89.

Вычислить сумму векторных произведений [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y].

90.

Вычислить сумму коммутаторов матриц [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]], где [A, B] = AB – BA.

91.

Найти жорданову нормальную форму оператора e^d/dt в пространстве квазимногочленов {e^tp(t)}, где степени многочленов p меньше 5; оператора ad_>A>, B  [A, B] в пространстве (n × n)-матриц B, где A – диагональная матрица.

92.

Найти порядки подгрупп группы вращений куба и ее нормальные делители.

93.

Разложить пространство функций, заданных в вершинах куба, на инвариантные подпространства, неприводимые относительно группы а) его симметрий, б) его вращений.

94.

Разложить пятимерное вещественное линейное пространство на неприводимые инвариантные подпространства группы, порожденной циклической перестановкой базисных векторов.

95.

Разложить пространство однородных многочленов пятой степени от (x, y, z) на неприводимые подпространства, инвариантные относительно группы вращений SO(3).

96.

Каждый из 3600 абонентов телефонной станции вызывает ее в среднем раз в час. Какова вероятность того, что в данную секунду поступит 5 или более вызовов? Оценить средний промежуток времени между такими секундами (i, i + 1).

97.

Частица, блуждающая по целым точкам полуоси x  0, с вероятностью a сдвигается на 1 вправо, с вероятностью b влево, в остальных случаях остается на месте (при x = 0 вместо сдвига влево точка остается на месте). Определить установившееся распределение вероятностей, а также математическое ожидание x и математическое ожидание x² через большое время, если вначале частица находилась в точке 0.

98.

Каждый из участников игры в очко на пальцах, стоящих по кругу, выбрасывает несколько пальцев правой руки, после чего для определения победителя суммарное число выкинутых пальцев отсчитывается по кругу от водящего. При каком числе участников N вероятность выигрыша хотя бы одного из подходящих N/10 участников становится больше 0,9? Как ведет себя при N  вероятность выигрыша водящего?

99.

Один из игроков прячет монету в 10 или 20 копеек, а другой отгадывает. Отгадавший получает монету, не отгадавший платит 15 копеек. Честная ли это игра? Каковы оптимальные смешанные стратегии обоих участников?

100.

Найти математическое ожидание площади проекции куба с ребром 1 на плоскость при изотропно распределенном случайном направлении проектирования.