Поверхности второго порядка (работа 3)
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
Эллипсоид.
Эллипсоидом
называется поверхность, которая в
некоторой прямоугольной системе
координат определяется уравнением:
>
>
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
>
>
(2)
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
Если
>
>>
c (c>0),
то >
>
и уравнения (2) определяют мнимый эллипс,
т. е. точек пересечения плоскости z=h
с
данным эллипсоидом не существует.
Если
>
>,
то >
>
и линия (2) вырождается в точки (0;
0; + c)
и (0; 0; - c)
(плоскости >
>
касаются эллипсоида).
Если
>
>,
то уравнения (2) можно представить в
виде
>
>
откуда
следует, что плоскость z=h
пересекает
эллипсоид по эллипсу с полуосями >
>
и >
>.
При уменьшении >
>
значения >
>и
>
>увеличиваются
и достигают своих наибольших значений
при >
>,
т. е. в сечении эллипсоида координатной
плоскостью Oxy
получается
самый большой эллипс с полуосями >
>
и >
>.
Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.
2. Однополосный гиперболоид.
Однополосным
гиперболоидом называется поверхность,
которая в некоторой прямоугольной
системе координат определяется уравнением
>
>
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
>
> и >
>
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
>
> или >
>
(4)
из
которых следует, что плоскость z=h
пересекает гиперболоид по эллипсу с
полуосями >
>
и
>
>,
достигающими
своих наименьших значений при h=0,
т.е. в сечении данного гиперболоида
координатной осью Oxy
получается самый маленький эллипс с
полуосями a*=a
и
b*=b.
При бесконечном возрастании >
>
величины a* и
b*
возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
>
>
(5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
>
>
и >
>
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями
>
>
или >
>
(6)
из которых
следует, что при >
>>c
(c>0) плоскость
z=h
пересекает гиперболоид по эллипсу с
полуосями >
>
и >
>.
При увеличении >
>
величины a* и
b* тоже
увеличиваются.
При >
>
уравнениям (6) удовлетворяют координаты
только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости
>
>
касаются данной поверхности).
При >
>
уравнения (6) определяют мнимый эллипс,
т.е. точек пересечения плоскости z=h
с данным гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
>
>
(7)
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения
>
>
и
>
>
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями
>
>
или
>
>
(8)
из
которых следует, что при >
>
плоскость z=h
пересекает эллиптический параболоид
по эллипсу с полуосями >
>
и >
>.
При увеличении h
величины
a и
b
тоже увеличиваются; при h=0
эллипс вырождается в точку (плоскость
z=0
касается данного гиперболоида). При h<0
уравнения (8) определяют мнимый эллипс,
т.е. точек пересечения плоскости z=h
с данным гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
Гиперболический параболоид.
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением
>
>
(9)
где p>0, q>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
>
>
(10)
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.
>
>
рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение
>
>
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
>
>
из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения
>
>
или >
>
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых
>
>
и >
>
точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
6. Конус второго порядка.
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
>
>
(11)
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию
>
>
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
>
>
и
>
>
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые
>
>
и
>
>
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим
>
>
или
>
>
из
которых следует, что при
h>0
и h<0
в сечениях получаются эллипсы с полуосями
>
>
. При увеличении абсолютной величины
h
полуоси a* и
b*
также увеличиваются.
При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).
Cписок использованной литературы:
1.Шипачёв В.С.:”Высшая математика”