Дискретная математика (работа 1)

Дискретная математика

Введение

Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

    Язык дискретной математики;

    Логические функции и автоматы;

    Теория алгоритмов;

    Графы и дискретные экстремальные задачи.

Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.

Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.

Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.

Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.

Множества и операции над ними

Одно из основных понятий математики – множество.

Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.

Множество обозначают: M,N …..

m>1>, m>2>, m>n> – элементы множества.

Символика

A Î M – принадлежность элемента к множеству;

А Ï М – непринадлежность элемента к множеству.

Примеры числовых множеств:

1,2,3,… множество натуральных чисел N;

…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

> > множество рациональных чисел а.

I – множество иррациональных чисел.

R – множество действительных чисел.

K – множество комплексных чисел.

Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А Í В – А подмножество В (нестрогое включение)

Множества А и В равны, если их элементы совпадают.

A = B

Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение).

Множества бывают конечные и бесконечные.

|М| - мощность множества (число его элементов).

Конечное множество имеет конечное количество элементов.

Пустое множество не содержит элементов: M = Æ.

Пример: пустое множество:

1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = Æ.

2) множество D, сумма углов которого ¹ 1800 пустое: M = Æ.

Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.

Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …

Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.

Если > >, состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.

Множество можно задать:

    Списком элементов {a,b,c,d,e};

    Интервалом 1<x<5;

    Порождающей процедурой: x>k>=pk sinx=0;

Операции над множествами

    Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.

А È В

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.

Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.

Объединение двух множеств

Объединение системы множеств можно записать

>> - объединение системы n множеств.

Пример: объединение множеств, когда они

заданы списком.

A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}

2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.

A ÇB

Пересечение прямой и плоскости

    если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;

    если прямые II пл., то M ¹Æ;

    если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.

Пересечение системы множеств: > >

    Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

С = А \ В

A \ B

А \ В

A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.

В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

2) не коммутативна, т.е. A\B ¹ B\A.

4) дополнение > >

E – универсальное множество.

>>-- дополнение

Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.

Основные законы операций над множествами.

Некоторые свойства È, Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.

Основные свойства

    AUB=BUA; AÇB=BÇA – переместительный закон объединения и пересечения.

    (АUB)UC = AU(BUC); (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC) – сочетательный закон.

    АUÆ=A, AÇÆ=Æ, A \ Æ=A, A \ A=Æ

1,2,3 – есть аналог в алгебре.

3.а) Æ \ A = Æ - нет аналога.

    >>Æ; E \ A =>>; A \ E=Æ; AUA=A; AÇA=A; AUE=E; AÇE=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

    AÇ(BUC)=(AÇB)(AÇC) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U.

Прямые произведения и функции

Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎА, bÎB.

С=AхВ, если А=В то С=А2.

Прямыми “х” n множеств A>1>x,…,xA>n> называется множество векторов (a>1>,…a>n>) таких, что a>1>ÎA>1>,…, A>n>ÎA>n>.

Через теорию множеств введем понятие функции.

Подмножество FÎM>x> x M>y> называется функцией, если для каждого элемента хÎM>x> найдется yÎМ>у> не более одного.

(x;y)ÎF, y=F(x).

Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:




Определение: Между множествами M>X> и M>Y> установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎM>X>> > соответствует 1 элемент yÎM>Y>> >и обратное справедливо.

Пример: 1) (х,у) в круге

x=2 à y=2

y=2 à x=2..4

не взаимнооднозначное соответствие.

2) x = sinx

Rà R > >

Пусть даны две функции f: AàB и g: BàC, то функция y:AàC называется композицией функций f и g.

Y=f o g o – композиция.

Способы задания функций:

    таблицы, определены для конечных множеств;

    формула;

    графики;

Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.

Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!

Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.

Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.

Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.

Множество N2 – счетно.

Доказательство

Разобьем N2 на классы

К 1-ому классу отнесем N>1> (1; 1)

Ко 2-му классу N>2> {(1;2), (2;1)}

К i-му классу N>i> {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар.

Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.

Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2.

Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk.

Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.

Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.


1-я 0, a>11>, a>12> ….

2-я 0, а>21>, a>22> ….

………………….

Возьмем произвольное число 0,b>1>,b>2>,b>3>

b>1> ¹ a>11>, b>2> ¹ a>22>, …

Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.

Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.

Отношение

Пусть дано RÍMn – n местное отношение на множество М.

Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.

Проведем отношение на множество N:

А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.

Пример отношения на множество R

А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.

Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна

Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.

Отношением назовется обратным к отношением R, если a>j>R>ai>> >тогда и только тогда, когда a>j>R>ai>> >обозначают R-1.

Свойства отношений

    Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

£ рефлексивное

< антирефлексивное

2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы

сумм C>ij>=C>ji>. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b

    Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.

    Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E

5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,

антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,

если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого

б) отношение < u > для чисел отношение строгого

Элементы общей алгебры

Операции на множествах

Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j>1>,…, j>m>}, т.е. система А = {М>1>;j>1>,…, j>m>} называется алгеброй. W - сигнатура.

Если M>1>ÌM и если значения j( M>1>), т.е. замкнуто ==> A>1=>{М>1>;j>1>,…, j>m>} подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и

поэтому тип этой алгебры (2;2)

    B=(Б;È;Ç) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций

запись ajb.

1. (ajb)jc=aj(bjc) – ассоциативная операция

Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2. ajb = bja – коммутативная операция

Пр. +,x – коммутат.

–; : – некоммут.

умножение мат A×B ¹ B×A – некоммутативно.

3. aj(bjc) = (ajb) j(ajc) –дистрибутивность слева

(ajb)jc) = (ajс) j(bjc) –дистрибутивность справа.

Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа

но не abc ¹ abac

Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; j>I>) и B=(M; j>I>) – одинакового типа.

Пусть отображение Г:KàM при условии Г(j>I>>)=> j>I>(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции j>I>> >b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение j>I>> >в В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1.

Мощности изоморфных алгебр равны.

Пр. Алгебры (Q>N>>; >+) и (Q>2; >+) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.