Абстрактная теория групп

Абстрактная теория групп

I.Понятие абстрактной группы.

1.Понятие алгебраической операции.

Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (*), если каждой упорядоченной паре элементов _> > поставлен в соответствие некоторый элемент _> > называемый их произведением.

Примеры.

Композиция перемещений на множествах _> > является алгебраической операцией.

Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве _> > всех подстановок степени n.

Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах _> > соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное _> > не определено при _> >. Однако на множествах _> >, _> > это будет алгебраическая операция.

Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве _> >.

Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве _> >.

Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.

2.Свойства алгебраических операций.

Операция (*) называется ассоциативной, если _> >.

Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если _> >, _> >. В частности можно определить степени с натуральным показателем: _> >. При этом имеют место обычные законы: _> >, _> >.

2. Операция (*) называется коммутативной, если _> >

В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции _> >

Элемент _> > называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если _> >. В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если _> > - нейтральные элементы, то _> >. Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем: _> >.

Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент _> > называется обратным для элемента _> >, если _> >. Отметим, что по определению _> >. Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем: _> >. Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент _> > также обратим и _> >. (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).

Определение (абстрактной) группы.

Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если

Операция (*) ассоциативна на G.

Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).

Каждый элемент из G обратим.

Примеры групп.

Любая группа преобразований.

(Z, +), (R, +), (C, +).

_>>

Матричные группы: _> >- невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.

3.Простейшие свойства групп.

В любой группе выполняется закон сокращения: _> >(левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на _> > и воспользуемся свойством ассоциативности: _> > _> > _> >.

Признак нейтрального элемента: _> >

Доказательство Применим к равенству _> > закон сокращения.

Признак обратного элемента: _> >

Доказательство: Применим закон сокращения к равенству _> >.

Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно. Следует из п.3.

Существование обратной операции. Для любых двух элементов _> >произвольной группы G уравнение _> > имеет и притом единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что _> >(левое частное элементов _> >) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству _> >. Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного.

4.Изоморфизм групп.

Определение.

Отображение _> > двух групп G и K называется изоморфизмом , если

1.Отображение j взаимно однозначно. 2.Отображение j сохраняет операцию: _> >.

Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.

Примеры.

1.Группы поворотов плоскости _> > и _> >вокруг точек _> > и _> >изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

2.Группа диэдра _> > и соответствующая пространственная группа _> > изоморфны.

Группа тетраэдра T изоморфна группе _> > состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.

Формула _> >определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством _> > положительных чисел. При этом _> >. Это означает, что _> > является изоморфизмом.

Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

5.Понятие подгруппы.

Непустое подмножество _> > называется подгруппой, если _> >само является группой. Более подробно это означает, что _> >, _> > и _> >.

Признак подгруппы.

Непустое подмножество _> > будет подгруппой тогда и только тогда, когда _> >.

Доказательство.

В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь _> >- любой элемент. Возьмем _> > в признаке подгруппы. Тогда получим _> >. Теперь возьмем _> >. Тогда получим _> >.

Примеры подгрупп.

Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.

_>>- подгруппа четных подстановок.

_>>

_>> и т.д.

Пусть G - любая группа и _> > - любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество _> >всевозможных степеней этого элемента. Поскольку _> >, рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .

Пусть _> > любая подгруппа Рассмотрим множество _> >- централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если _> >, то _> >, то есть _> >. Теперь ясно, что если _> >, то и _> > и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то _> >. Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).

Замечание об аддитивной форме записи группы.

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.

6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований.

Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.

Пусть _> > некоторая подгруппа.

А) Для каждого _> > определим отображение _> >(левый сдвиг на элемент h) формулой _> >.

Теорема 1

_>>

Множество L(H,G)= _> >является группой преобразований множества G.

Соответствие: _> > является изоморфизмом групп H и L(H,G).

Доказательство.

Надо проверить, что отображение _> > взаимно однозначно для всякого _> >. Если _> >, то _> > по закону сокращения. Значит _> > инъективно. Если _> >любой элемент, то _> > и _> > так что _> > к тому же и сюръективно.

Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений _> >. Надо проверить, что _> > и _> >. Пусть _> > любой элемент. Имеем: _> >_>>_>>; _> > и значит, _> >.

Пусть _> >. Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: _> >. Сохранение операции фактически уже было установлено выше: _> > _> >.

Следствие.

Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).

Для случая конечных групп получается теорема Кэли:

Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы _> >подстановок степени n.

Для каждого _> > определим отображение _> >(правый сдвиг на элемент h) формулой _> >.

Теорема B.

_>>.

Множество _> > является группой преобразований множества G.

Соответствие _> >является изоморфизмом групп H и R(H,G).

Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что _> >. Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не _> >, а _> >.

С) Для каждого _> > определим _> >(сопряжение или трансформация элементом h ) формулой _> >.

Теорема С.

Каждое отображение _> > является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).

Множество _> > является группой преобразований множества G.

Отображение _> > сюръективно и сохраняет операцию.

Доказательство.

Поскольку _> >, отображение _> > взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем: _> > и потому _> > сохраняет операцию.

Надо проверить, что _> > и _> >. Оба равенства проверяются без труда.

Сюръективность отображения _> > имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.

Замечание об инъективности отображения q.

В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования _> > будут тождественными и группа _> >тривиальна. Равенство _> >означает, что _> > или _> > (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество _> > называется централизатором подгруппы _> >. Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что _> >. Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q является изоморфизмом.

Смежные классы; классы сопряженных элементов.

Пусть, как и выше, _> > некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита _> > называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам _> >.Заметим, что _> > стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов _> >, что hg=g_>>. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного _> >.

Орбиты группы _> > называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются _> > Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно _> >, где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.

Пример.

Пусть _> >- группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: _> >=(1,2,3); _> >=(1,3,2); _> >=(2,1,3); _> >=(2,3,1); _> >=(3,1,2); _> >=(3,2,1). Пусть _> >. Легко проверить, что левые смежные классы суть:

_>>, _> >, _> >.

Правые смежные классы:

_>>, _> >, _> >.

Все эти классы состоят из 2 элементов.

Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:

_>>, _> >, _> >, _> >.

В то же время,

_>>, _> >, _> >.

Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.

Доказательство.

По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: _> >. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, _> >, откуда и вытекает теорема.

Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы _> >.

Следствие.

Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если _> > эти подгруппы, то _> > их общая подгруппа и по теореме Лагранжа _> > - общий делитель порядков H и K то есть 1.

Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть _> > любая подгруппа и _> >-любой элемент. Тогда _> >также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения _> > является изоморфизмом. Подгруппа _> > называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Определение.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: _> >.

Равенство _> >можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

Примеры.

В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.

В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа _> > и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.

В рассмотренной выше группе _> > подгруппа _> >не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы _> > и _> >.

Если _> >- любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z _> >. В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.

Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.

Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть _> >.

Доказательство.

Очевидно, что для любой подгруппы H _> >.Но тогда

_>>= _> >= _> >= _> >.

Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс _> >. Поскольку _> >, всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.

9 Гомоморфизм.

Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма.

Определение.

Отображение групп _> >называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть _> >: _> >.

Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.

Примеры.

Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.

Тривиальное отображение _> > является гомоморфизмом.

Если _> >- любая подгруппа, то отображение вложения _> > будет инъективным гомоморфизмом.

Пусть _> >- нормальная подгруппа. Отображение _> > группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку _> >. Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.

По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения _> > сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.

Отображение _> >, которое каждому перемещению _> > n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор _> >(см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции _> >.

Теорема (свойства гомоморфизма)

Пусть _> >- гомоморфизм групп, _> > и _> >- подгруппы. Тогда:

_>>, _> >.

_>>- подгруппа.

_>>-подгруппа, причем нормальная, если таковой была _> >.

Доказательство.

_>> и по признаку нейтрального элемента _> >. Теперь имеем: _> >.

Пусть p = a(h) , q = a(k) . Тогда _> > и _> >. По признаку подгруппы получаем 2.

Пусть _> > то есть элементы p = a(h) , q = a(k) входят в _> >. Тогда _> > то есть _> >. Пусть теперь подгруппа _> >нормальна и _> >- любой элемент. _> > _> > и потому _> >.

Определение.

Нормальная подгруппа _> > называется ядром гомоморфизма _> >.Образ этого гомоморфизма обозначается _> >.

Теорема.

Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда _> >

Доказательство.

Поскольку _> >, указанное условие необходимо. С другой стороны, если _> >, то _> > и если ядро тривиально, _> > и отображение инъективно.

Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.

Теорема о гомоморфизме.

Любой гомоморфизм _> > можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма _> >, изоморфизма _> > и (инъективного) гомоморфизма _> > (вложения подгруппы в группу): _> >.

Доказательство.

Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j. Пусть _> >. Элементами факторгруппы _> > являются смежные классы Hg . Все элементы _> > имеют одинаковые образы при отображении a: _> >. Поэтому формула _> > определяет однозначное отображение _> >. Проверим сохранение операции _> > _> >.Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если _> >, то _> > и потому _> >. Следовательно, _> > и по предыдущей теореме j инъективно.

Пусть _> > - любой элемент. Имеем : _> > _> >. Следовательно, _> >.

10 Циклические группы.

Пусть G произвольная группа и _> >- любой ее элемент. Если некоторая подгруппа _> > содержит g , то она содержит и все степени _> >. С другой стороны, множество _> >очевидно является подгруппой G .

Определение.

Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

Примеры

Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

Группа _> > поворотов плоскости на углы кратные 2p¤n является циклической с образующим элементом _> >- поворотом на угол 2p¤n. Здесь n = 1, 2, ...

Теорема о структуре циклических групп.

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .

Доказательство.

Пусть G = Z(g) - циклическая группа. По определению, отображение _> >- сюръективно. По свойству степеней _> > и потому j - гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме _> >. H = KerjÌZ. Если H - тривиальная подгруппа, то _> >. Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n - наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZÌH. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0 < r < n. Тогда r = k - qn Î H , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.

Отметим, что _> >» Z / nZ .

Замечание.

В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,...

Определение.

Порядком элемента _> > называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) .

Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени _> > - различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы _> > различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а _> >N кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство _> >.

Следствие.

Если G - группа простого порядка p, то _> >- циклическая группа.

В самом деле, пусть _> > - любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g )»_>>.

Теорема о подгруппах конечной циклической группы.

Пусть G - циклическая группа порядка n и m - некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HÌG порядка m. Эта подгруппа циклична.

Доказательство.

По предыдущей теореме G»Z / nZ. Естественный гомоморфизм _> > устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HÌG и теми подгруппами KÌZ , которые содержат Kerp = nZ . Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZÉnZ , то k - делитель n и p(k) - образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы.

Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G - циклическая группа.

Доказательство.

Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HÌG порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.

Лемма.

Если G обладает свойством (Z), то

Любая подгруппа G нормальна.

Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx.

Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z).

Доказательство леммы.

1. Пусть HÌG . Для любого _> > подгруппа _> > имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) _> > то есть подгруппа H нормальна.

2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых a и b _> >. Следовательно, _> >. Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то _> >. Следовательно, _> > _> > и потому xy = yx.

Используя свойство (Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где hÎH, kÎK попарно различны, так как _> >=e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений равно m N/m = _> > и, следовательно, они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение _> > является гомоморфизмом _> > с ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, _> > и потому _> > - подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H.

Доказательство теоремы.

Пусть _> > - разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть _> >. Выберем в G элемент x максимального порядка _> >. Пусть y любой другой элемент этой группы. Его порядок равен _> >, где u £ s. Группы _> > и _> > имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому _> > и мы доказали, что x - образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq (например, _> >) . Пусть H и K подгруппы G порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции , мы можем считать, что H = Z(x), K = Z(y), причем xy = yx . Элемент xy имеет порядок pq = N и, следовательно, является образующим элементом циклической группы G.

11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп.

Теорема Коши.

Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.

Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если g¹e и _> >, где p - простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m - порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g.

Индукция , с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме

Лемма.

Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.

Доказательство леммы.

Пусть _> > - элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента _> >. Тогда _> > и значит m делится на p. Но тогда _> > - элемент порядка p.

Доказательство теоремы Коши.

Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G»Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и _> >, причем n делится на p.

Рассмотрим последовательно несколько случаев

G содержит собственную ( то есть не совпадающую со всей группой и нетривиальную) подгруппу H , порядок которой делится на p. В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент _> > порядка p. Поскольку _> > в этом случае теорема доказана.

G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы.

Если G - коммутативна, то возьмем любой _> >. Если порядок g делится на p, то теорема доказана по 1, поскольку Z(g)ÌG. Если это не так, то , поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема доказана по 2.

Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов: _> >. Здесь отдельно выделен класс _> > и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g¹ e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому gÎZ(g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому _> > делится на p: _> >. Но тогда _> > - не делится на p, что не соответствует условию.

Замечание.

Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа _> > порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4.

Теорема о подгруппах коммутативной группы.

Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа : если m - делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m.

Доказательство.

Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть для всех коммутативных групп порядка < n теорема доказана. Пусть простое p делит m . По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p. Так как G коммутативна, S - нормальная подгруппа. В факторгруппе G/S используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p .Если _> > естественный гомоморфизм, то _> > - подгруппа G порядка m .

Замечание.

Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе _> > четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.