Применение свойств функций для решения уравнений
Применение свойств функций для решения уравнений
Т.С. Кармакова, доцент кафедры алгебры ХГПУ
В предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений, основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее значение. Используя предлагаемые автором задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у учащихся более широкий взгляд на область применения различных этих свойств. Ведь не секрет, что в стандартном курсе школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их графиков.
В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99), все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:
Разложение на множители,
Замена переменных,
Использование свойств функций.
Рассмотрим на конкретных примерах сущность третьего метода. Этот метод применяется тогда, когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения. Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x) - любые элементарные функции.
Использование области определения и области значения функций
Решить уравнение
Решение: Множество решений этого
уравнения совпадает с областью определения
функции
.
Областью определения этой функции (в
соответствии с определением степени
с рациональным показателем) является
множество положительных действительных
чисел.
Ответ: x>0.
Решить уравнение sinxctgx=cosx.
Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения. Область определения уравнения – это общая часть областей определения функций, входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения – множество всех действительных чисел, кроме x=kp, где kÎZ.
Ответ: x¹kp, где kÎZ.
Решить уравнение
.
Решение: У этого уравнения нет корней,
так как область значений функции
при
x³1 есть
множество неотрицательных чисел, а
функция
при всех x принимает отрицательные
значения.
Решить уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответы: а) x>0, x¹1; б) êxê£1; в) x¹0; г) x³0; д) Нет корней; е) x¹0.
Использование экстремальных значений функций
Сущность этого способа решения уравнений
в том, что оцениваются правая и левая
части уравнения F(x)=G(x) и, если одна из
функций принимает значение не меньше
некоторого числа А, а другая – не больше
этого же числа А, то данное уравнение
заменяется системой уравнений:
Этот способ может быть применен к решению следующих уравнений:
в обеих частях уравнения стоят функции разного вида;
в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу;
в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число.
Рассмотрим конкретные примеры.
2.1 Решить уравнение
Решение: Оценим правую и левую части уравнения:
а)
,
так как
,
а
;
б)
,
так как
.
Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе
Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство:
Ответ: х=-2.
2.2 Решить уравнение
Решение: левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше двух, следовательно, данное уравнение равносильно системе:
Второе уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0. Подставляя найденное значение х в первое уравнение, получаем верное числовое равенство.
Ответ: х=0.
2.3 Решить уравнение
Решение: Оценим левую часть уравнения:
,
следовательно,
.
Получили, что в данном уравнении левая
часть не больше восьми, а правая часть
равна девяти при всех действительных
значениях переменной х, поэтому данное
уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
2.4 Решить уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Ответы: а) p; б) 0; в) 0; г) 0.5; д) 1; е) нет корней.
Использование монотонности функций
Этот способ основан на следующих теоретических фактах:
Если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не имеет решений;
Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней.
Сущность этого способа состоит в том, исследуются на монотонность левая и правая части уравнения и, если оказывается, что функции удовлетворяют какому - либо из приведенных условий, то найденное подбором решение будет единственным корнем уравнения.
Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений:
уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида;
уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции;
уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.
Рассмотрим примеры.
3.1 Решить уравнение
Решение: область определения данного
уравнения x>0. Исследуем на монотонность
функции
.
Первая из них –убывающая (так как это
- логарифмическая функция с основанием
больше нуля, но меньше единицы), а вторая
– возрастающая (это линейная функция
с положительным коэффициентом при х).
Подбором легко находится корень уравнения
х=3, который является единственным
решением данного уравнения.
Ответ: х=3.
3.2 Решить уравнение
Решение: Данному уравнению удовлетворяет
число х=2. Проверим, удовлетворяют ли
функции, образующие уравнение, условиям,
при которых можно утверждать, что других
корней нет. Сначала рассмотрим
.
Исследуем ее на монотонность с помощью
производной:
.
Решаем биквадратное уравнение
,
,
поэтому
при всех значениях хÎR.,
следовательно, функция f(x)- возрастающая.
Теперь исследуем функцию
.
Как легко установить, она убывает при
всех значениях хÎR.
Из проведенного исследования можно
сделать вывод, что х=2 – единственный
корень данного уравнения.
Ответ: х=2
3.3 Решить уравнение
Решение: Легко проверить, что х=1 – корень
данного уравнения, но мы пока не можем
утверждать, что других корней нет, так
как и левая и правя части уравнения –
возрастающие функции. Преобразуем
данное уравнение к виду
.
Функция в левой части – сумма двух
убывающих функций, а следовательно, она
также убывающая. В правой же части стоит
постоянная функция. Таким образом,
рассматриваемое уравнение может иметь
только один корень.
Ответ: х=1
3.4 Решить уравнения:
а) 2x3+9x2+150x-161=0
б) 13x+7x=2
в) 2x+5x=2-tgx
г)
д)
е) x+2=76-x
Ответы: а) х=1; б) х=0; в) х=0; г) х=2; д) х=4; е) х=5.
В конце приведем список литературы, по которому читатели смогут самостоятельно изучить, как использовать различные свойства функций при решении уравнений.
Список литературы
Аксенов А.А. Решение задач методом оценки.//Математика в школе, 1999, №3, с. 30
Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в Вузы. М.: Наука, 1976
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: алгебра, тригонометрия. М.: Просвещение, 1991
Шарыгин И.М., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа