Расчет адгезионных характеристик металлов в модели обобщенного потенциала Хейне-Абаренкова
Расчет адгезионных характеристик металлов в модели обобщенного потенциала Хейне-Абаренкова
М.В. Мамонова, Р.В. Потерин, В.В. Прудников, Омский государственный университет, кафедра теоретической физики
Явление возникновения связи между поверхностными слоями разнородных конденсированных тел, приведенных в соприкосновение, получило название адгезии. С физической точки зрения, адгезия определяется силами межмолекулярного взаимодействия, наличием ионной, ковалентной, металлической и других типов связи. Возникает необходимость определения характеристик адгезионного взаимодействия различных материалов как с точки зрения прикладной, так и фундаментальной науки о поверхностных явлениях.
В предлагаемой работе в рамках метода функционала плотности проведен расчет адгезионных характеристик для ряда металлов. Исследованы влияния различных приближений, учитывающих дискретность кристаллической структуры и неоднородность электронного газа в межфазной области раздела. Для расчета влияния электрон-ионного взаимодействия на адгезионные характеристики металлов нами был впервые использован обобщенный псевдопотенциал Хейне-Абаренкова. Проведен сравнительный анализ результатов, полученных с его использованием, с результатами, полученными с привлечением иных моделей, в частности, псевдопотенциала Ашкрофта.
Метод функционала плотности состоит в
решении вариационной задачи о нахождении
минимума энергии системы электронов,
рассматриваемой на фоне заданного
положительного заряда. В качестве
пробных функций электронного распределения,
как правило, выбирают решения формально
линеаризованного уравнения Томаса-Ферми,
а вариационным параметром считают
обратную длину экранирования
.
Рассмотрим два полуограниченных металла, занимающих области z<-D и z>D. Пусть положительный заряд фона распределен в соответствии с формулой
где
и
-
плотности заряда фона;
-
ступенчатая функция. Решение
линеаризованного уравнения Томаса-Ферми
с использованием граничных условий,
отражающих непрерывность электростатического
потенциала
(z)
и электрической индукции d
/dz
при z=
D,
а также конечность потенциала на
бесконечности, позволяет при связи
(z)=-4
n(z)/
получить следующее выражение для
плотности электронного распределения
n(z) в системе:
где
Определим межфазную энергию взаимодействия контактирующих металлов, приходящуюся на единицу площади, как интеграл по z от объемной плотности энергии основного состояния электронного газа:
В рамках модели "желе" объемная плотность энергии неоднородного электронного газа может быть представлена в виде градиентного разложения:
где
есть плотность энергии однородного электронного газа в атомных единицах, включающая последовательно электростатическую, кинетическую, обменную и корреляционную энергии, а
где
-
фермиевский волновой вектор, являются
соответственно градиентными поправками
второго порядка на неоднородность
электронного газа для кинетической
энергии в приближении Вейцзекера-Киржница
и обменно-корреляционной энергии в
приближении Вашишты-Сингви (VS) [1].
Приближение VS является наиболее
употребимым для большинства металлов.
Учет только поправки для кинетической
энергии без рассмотрения влияния
соответствует
приближению хаотических фаз (ПХФ).
Поправки к межфазной энергии, связанные с учетом дискретности распределения положительного заряда, вычисляются в рамках модели псевдопотенциала Хейне-Абаренкова:
усредненного
по кристаллическим плоскостям,
параллельным поверхности металлов, и
будут характеризоваться параметрами
и
межплоскостными расстояниями
.
В результате поправка, связанная с
электрон-ионным взаимодействием,
принимает вид:
Для получения поправки к межфазной энергии, связанной с взаимодействием ионов металлов, мы воспользовались интерполяционной формулой, предложенной в [2]. Тогда
где
-
валентности металлов;
-
расстояния между ближайшими ионами в
плоскостях, параллельных поверхностям
металлов.
В соответствии
с методом функционала плотности величина
вариационного параметра
находится
из требования минимальности полной
межфазной энергии
где
.
Решение
уравнения (10) задает значения параметра
как
функцию величины зазора 2D. Итогом решения
вариационной задачи является полная
межфазная энергия системы
.
Зная ее, легко найти энергию адгезии
системы как работу, необходимую для
удаления металлов друг от друга на
бесконечность, т.е.
.
Тогда сила адгезионного взаимодействия
системы определяется как производная
по D от межфазной энергии
при
:
В соответствии с вышеизложенной методикой разработана программа численного интегрирования в (3) при одновременной минимизации в (10). Расчеты адгезионных характеристик были проведены для ряда простых и переходных металлов, полагая, что к межфазной границе раздела металлы направлены плотноупакованными гранями. Значения исходных параметров, использованные для расчета адгезионных характеристик металлов, приведены в следующей таблице:
Me |
Z |
|
d, а.е. |
c, а.е. |
rc, а.е. |
Rm, а.е. |
|
Al |
3 |
0.027 |
4.29 |
5.25 |
0.96 |
1.15 |
0.28 |
Pb |
4 |
0.019 |
5.38 |
6.59 |
1.46 |
1.36 |
-0.67 |
Cu |
2 |
0.025 |
3.92 |
4.80 |
0.92 |
1.41 |
1.21 |
Fe |
4 |
0.050 |
3.84 |
4.70 |
0.95 |
1.03 |
0.94 |
Cr |
4 |
0.049 |
3.85 |
4.72 |
0.96 |
1.06 |
1.02 |
На рис.1 приведены графики рассчитанных
в рамках модели обобщенного псевдопотенциала
Хейне-Абаренкова значений силы
адгезионного взаимодействия как функции
величины зазора 2D для таких пар металлов,
как Al-Pb, Fe-Cr, Fe-Pb, Fe-Al, Al-Cu. На рисунках
видно, что на малых расстояниях
наблюдается
притяжение металлических поверхностей.
Последующий рост величины зазора
сопровождается отталкиванием металлических
поверхностей. При этом сила
электростатического отталкивания
характеризуется максимумом при
и
сильным спадом при
.
Физически смена характера электростатической
силы адгезии связана с тем, что на малых
расстояниях электронный "хвост"
одного металла проникает в ионный остов
противоположного и притягивается
последним. При увеличении зазора
электронный "хвост" выходит из
зоны взаимодействия с ионным остовом,
взаимодействуя с электронным "хвостом"
противоположного металла. Это вызывает
отталкивание металлических поверхностей.
Из графиков также видно, что значения
адгезионных характеристик для благородных
и переходных металлов значительно выше,
чем для простых металлов.
Рис. 1 Сила адгезионного взаимодействия как функция величины зазора для пар металлов: 1-Fe-Cr, 2-Fe-Al, 3-Fe-Pb, 4-Al-Cu, 5-Al-Pb
На рис.2 приведены сравнительные адгезионные характеристики для пары простых металлов Al-Pb, вычисленные как с использованием псевдопотенциала Хейне-Абаренкова с обменно-корреляционной поправкой в приближении VS, так и псевдопотенциала Ашкрофта (псевдопотенциал Хейне-Абаренкова переходит в выражение для псевдопотенциала Ашкрофта при V0 = 0) с обменно-корреляционной поправкой в приближении VS и в приближении ПХФ. Последнее обусловлено тем, что в модели псевдопотенциала Ашкрофта поверхностная энергия алюминия наиболее удачно описывается обменно-корреляционной поправкой VS, а поверхностная энергия свинца - ПХФ [3]. Но методика расчета адгезионных характеристик требует использования единой обменно-корреляционной поправки для обоих контактирующих металлов. Это требование наиболее полно реализуется, как показано в данной работе, при использовании для различных металлов псевдопотенциала Хейне-Абаренкова с обменно-корреляционной поправкой в приближении VS. Вычисления, проведенные в приближении псевдопотенциала Хейне-Абаренкова, значительно уточняют соответствующие расчеты, проведенные в рамках модели Ашкрофта, и могут быть распространены для описания адгезии как простых, так и переходных металлов.
Рис. 2 Сила адгезионного взаимодействия как функция величины зазора для пары Al-Pb: 1 - модель Ашкрофта, приближение VS; 2 - модель Хейне-Абаренкова, приближение VS; 3 - модель Ашкрофта, приближение ПХФ.
Список литературы
Vashishta P., Singwi K.S. Electron correlations at metallic densities // Phys.Rev. 1972. B6. ò3. P.875-887.
Ferrante J., Smith J.R. A theory of adhesional bimetallic interfaceoverlap effects // Surface Science. 1973. 38. ò1. P.77-92.
Вакилов А.Н.,Прудников В.В.,Прудникова М.В. Расчет решеточной релаксации металлических поверхностей с учетом влияния градиентных поправок на неоднородность электронной системы // ФММ. 1993. 76. ò6. С.38-48.
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа