* Алгебры и их применение
*-Алгебры и их применение
Дипломная работа специалиста
Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского
Симферополь 2003
Введение
Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P2
P2 = С < p1, p2 | p12 = p1* = p1, p22 = p2* = p2 >,
порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:
4 одномерных: π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;
π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
И двумерные:
,
τ
(0, 1).
Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.
В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1+Р2 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).
Глава I. Основные понятия и определения
§ 1.
-
алгебры
Определение
-
алгебры.
Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб- рой, если:
А есть линейное пространство;
в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет- воряющая следующим условиям:
α (x y) = (α x) y,
x (α y) = α (x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z
А и любых чисел α.
Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере- становочны.
Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x* алгебры А в А, что
(x*)* = x;
(x + y)* = x* + y*;
(α x)* =
x*;
(x y)* = y*x* для любых x, y
С.
Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само- сопряженным.
Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.
1.2. Примеры
На А = С отображение z →
(комплексное число, сопряженное к z) есть
инволюция, превращающая С в коммутативную
*- алгебру.
Пусть Т – локально компактное
пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т,
стремящихся к нулю на бесконечности
(то есть для любого ε
> 0 множество {tT:
|f (t)|
ε} компактно, f (t)
А. Снабжая А отображением f→
получаем коммутативную *- алгебру. Если
Т сводится к одной точке, то возвращаемся
к примеру 1).
Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.
Обозначим через К(Н) совокупность
всех компактных операторов в гильбертовом
пространстве Н; операции сложения,
умножения на число и умножения определим
как соответствующие действия с
операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй,
если ввести инволюцию А→А* (АК(Н)).
Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н
есть алгебра без единицы. Действительно,
если единичный оператор I принадлежит
К(Н), то он переводит открытый единичный
шар S
H в себя. Значит I не может быть компактным
оператором.
Обозначим через W совокупность
всех абсолютно сходящихся рядов
.
Алгебра W есть *- алгебра, если
положить
.
(
)
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию
ех = хе = х для всех хА
(1.1.)
Элемент е называют единицей алгебры А.
Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то
е΄х
= хе΄
= х, для всех хА
(1.2.)
Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:
ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.
Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.
Доказательство.
Искомая алгебра должна содержать все
суммы х΄=αе
+ х, хА;
с другой стороны, совокупность всех
таких сумм образует алгебру А΄,
в которой основные
операции определяются формулами:
β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),
(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)
Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде
х΄
= αе + х, хА,
так как по условию А не содержит единицы.
Поэтому А΄
можно реализовать как
совокупность всех формальных сумм х΄
= αе + х, хА,
в которой основные операции определяются
формулами (1.3.); сама алгебра А получится
при α
= 0.
Алгебру
А΄
можно также реализовать
как совокупность всех пар (α,
х), хА,
в которой основные операции определяются
по формулам:
β (α, х) = (βα, βх), (α1, х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),
(α1, х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)
аналогично тому, как определяются
комплексные числа. Саму алгебру А можно
тогда рассматривать как совокупность
всех пар (0, х), хА
и не делать различия между х и (0, х).
Полагая е = (0, х), мы получим:
(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.
Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.
Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.
Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим
z = (yx)z = y(xz) = ye,
В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.
1.4. Простейшие свойства
-
алгебр
Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.
Каждый эрмитов элемент нормален.
Множество эрмитовых элементов есть
вещественное векторное подпространство
А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx;
следовательно, xy эрмитов, если x и y
перестановочны. Для каждого хА
элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще
говоря, эрмитов элемент не всегда
представим в этом виде, как показывает
пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для
любого zC
,
но если z действительно отрицательное
число, то его нельзя представить в виде
.
Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 – эрмитовы элементы.
Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:
,
(1.5.)
Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.
Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.
Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2),
хх* = х12 + х22 - i(х2х1 – х1х2)
так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.
Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.
Если А - *-алгебра без единицы, а
А΄ -
алгебра, полученная из
А присоединением единицы, то, положив
при хА,
мы определим инволюцию в А΄,
удовлетворяющую всем
требованиям определения 2. Так что А΄
станет *-алгеброй. Говорят, что А΄
есть *-алгебра, полученная
из А присоединением единицы.
Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и
(х*)-1 = (х-1)*
Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения
х-1х = хх-1 = е,
получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.
Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.
Подалгебра А1 алгебры А называется
*-подалгеброй, если из хА1
следует, что х*А1
.
Непустое пересечение *-подалгебр
есть также *-подалгебра. В частности,
пересечение всех *-поалгебр, содержащих
данное множество S
А, есть минимальная *-подалгебра,
содержащая S.
Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.
Теорема 1.5. Если В – максимальная
коммутативная *-подалгебра, содержащая
нормальный элемент х , и если х-1 существует,
то х-1В.
Доказательство. Так как х т х*
перестановочны со всеми элементами из
В, то этим же свойством обладают х-1 и
(х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда
следует, что х-1В.
Определение 1.6. Элемент хА
- *-алгебры называется унитарным, если
хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим
и х = (х*)-1.
В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.
Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то
((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,
поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (αx) = α f (x),
f (xy) = f (x) f (y),
f (x*) = f (x)*
для любых х,yА,
αС.
Если отображение f биективно, то f называют
изоморфизмом (*-изоморфизмом).
Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:
I ≠ A;
Из х, yI
следует x + y
I;
Из хI,
а αА
следует α
хI.
Если I = А, то I называют несобственным идеалом.
Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.
Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.
Пусть I – двусторонний идеал в
алгебре А. Два элемента х, y из А назовем
эквивалентными относительно идеала I,
если х-yI.
Тогда вся алгебра А разбивается на
классы эквивалентных между собой
элементов. Обозначим через А совокупность
всех этих классов. Введем в А1 операции
сложения, умножения на число и умножения,
производя эти действия над представителями
классов. Так как I – двусторонний идеал,
то результат операций не зависит от
выбора этих представителей.
Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.
*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.
Определение 1.9. Идеал I (левый,
правый или двусторонний) называется
самосопряженным, если из хI
следует х*I.
Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.
В фактор-алгебре A/I по самосопряженному
двустороннему идеалу I можно определить
инволюцию следующим образом. Если х-yI,
то х*-y*I.
Поэтому при переходе от х к х* каждый
класс вычетов х по идеалу I переходит в
некоторый другой класс вычетов по I. Все
условия из определения 1.2. выполнены;
следовательно, A/I есть *-алгебра.
Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.
Обратно, отображение х → [х]
каждого элемента хА
в содержащий его класс вычетов по I есть
*-гомоморфизм алгебра А на A/I.
§ 2. Представления
2.1. Определения и простейшие свойства представлений.
Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).
Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что
π (x+y) = π (x) + π (y), π (α x) = α π(x),
π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*
для любых х, y
А и α
С.
Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.
Определение 2.2. Два представления
π1 и
π2
инволютивной алгебры А
в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны
(или унитарно эквивалентны), если
существует унитарный оператор U,
действующий из гильбертова пространства
Н1 в гильбертово пространство Н2,
переводящий π1(х)
в π2(х)
для любого хА,
то есть
U π1(х)
= π2(х)
U для всех х
А.
Определение 2.3. Представление π
называется циклическим,
если в пространстве Н существует вектор
f такой, что множество всех векторов π
(х)f (для всех хА)
плотно в Н. Вектор f называют циклическим
(или тотализирующим) для представления
π.
Определение 2.4. Подпространство
Н1Н
называется инвариантным, относительно
представления π,
если π
(А)Н1Н1.
Если Н1 инвариантное подпространство,
то все операторы π(х)
(хА)
можно рассматривать как операторы Н1.
Сужения π(х)
на Н1 определяют подпредставления π1
*-алгебры А в Н1.
Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.
Доказательство. Пусть f ортогонален
к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех gН1.
Тогда для любого хА
(π(х)f,
g) = (f, π(х)*g)
= (f, π(х*)g)
= 0, так как π(х*)gН1.
Следовательно, вектор π(х)f
также ортогонален к Н1.
Обозначим через Р1 оператор
проектирования в Н на подпространство
Н1Н1.
Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.
Доказательство. Пусть Н1 –
инвариантное подпространство и fН1,
но также π(х)f
Н1.
Отсюда для любого вектора fН
π(х)Р1f
Н1
следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,
то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.
Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также
Р1π(х)Р1 = Р1π(х).
Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.
Обратно, если эти операторы
перестановочны, то для fН1
Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;
Следовательно, также π(х)f
Н1.
Это означает, что Н1 – инвариантное
подпространство.
Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост- ранств есть также инвариантное подпространство.
Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида
h = f1 + … + fn, где f1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.
2.2. Прямая сумма представлений.
Пусть I – произвольное множество. Пусть
(πi)iI
- семейство представлений *-алгебры А в
гильбертовом пространстве Нi (iI).
Пусть
|| πi (х) || ≤ сх
где сх – положительная константа, не зависящая от i.
Обозначим через Н прямую сумму
пространств Нi, то есть Н =
Нi.
В силу (2.1.) можно образовать непрерывный
линейный оператор π(х)
в Н, который индуцирует πi
(х) в каждом Нi. Тогда
отображение х → π(х)
есть представление А в Н, называемое
прямой суммой представлений πi
и обозначаемое
πi
или π1
…..πn
в случае конечного
семейства представлений (π1…..πn).
Если (πi)iI
– семейство представлений *-алгебры А,
совпадающих с представлением π,
и если CardI = c, то представления
πi
обозначается через сπ.
Всякое представление,
эквивалентное представлению этого
типа, называется кратным π.
Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.
Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.
Доказательство. Пусть f0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.
Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.
Обозначим через М совокупность
всех систем {Нα},
состоящих из взаимно
ортогональных циклических подпространств
представления; одной из таких систем
является построенная выше система {Н1,
Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения
включения совокупность М образует
частично упорядоченное множество,
удовлетворяющее условиям леммы Цорна;
именно, верхней гранью линейно
упорядоченного множества систем {Нα}М
будет объединение этих систем. Поэтому
в М существует максимальная система
{Нα}.
Но тогда Н=
Нα;
в противном случае в
инвариантном подпространстве Н-(Нα)
существовало бы отличное
от {0} циклическое подпространство Н0 и
мы получили бы систему {Нα}
Н0М,
содержащую максимальную систему {Нα},
что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.
Доказательство. Пусть представление
π
неприводимо. При f
Н,
f ≠ 0, подпространство, натянутое на
векторы π(х)f
, хА,
есть инвариантное подпространство; в
силу неприводимости представления оно
совпадает с {0} или Н. Но первый случай
невозможен, ибо тогда одномерное
пространство
{α f | α
C}
инвариантно и потому совпадает с Н, то
есть π(х)=0
в Н. Во втором же случае f есть циклический
вектор.
Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.
Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).
Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни- ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0 . Отсюда
В=
λ
dE(λ) = λ0 1.
Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста- новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,
В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*
Поэтому эрмитовы операторы В1=
,
В2=
также перестановочны со всеми операторами
π(х)
и, следовательно, кратны единице. Но
тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице,
то есть В – скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.
Определение 2.6 Всякий линейный
оператор Т : Н → Н΄
такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т
для любого хА,
называется оператором сплетающим π
и π΄.
Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т* : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как
Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*
Отсюда получаем, что
Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)
Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен
с π(А).
Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т.
Тогда для любого хА
Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)
Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует
Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)
Если, кроме того,
=
Н΄,
то есть если KerT*={0}, то U
является изоморфизмом Н и Н΄
и (2.3.) доказывает что π
и π΄
эквивалентны.
Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7. Пусть π
– конечномерное
представление *-алгебры А. Тогда π
= π1…..πn
, где πi
неприводимы.
Доказательство. Если dimπ
= 0 (n=0), то все доказано.
Предположим, что dimπ
= q и что наше предложение
доказано при dimπ<q.
Если π
неприводимо, то предложение
снова доказано. В противном случае π
= π΄
π΄΄, причем dimπ΄<q,
dimπ΄΄<q, и достаточно
применить предположение индукции.
Разложение π
= π1…..πn
не единственно. Тем не менее, мы получим
некоторую теорему единственности.
Пусть ρ1,
ρ2 – два неприводимых
подпредставления π.
Им отвечают инвариантные
подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 –
проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют
с π(А).
Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор,
сплетающий ρ1
и ρ2.
Следовательно, если Н1 и
Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3.
следует, что ρ1
и ρ2
эквивалентны. Это
доказывает, что любое неприводимое
подпредставление π
эквивалентно одному из
πi .
Итак, перегруп- пировав
πi ,
получаем, что π
= ν1…..νm,
где каждое νi
есть кратное ρiνi΄
неприводимого представления
νi΄,
и νi΄
попарно эквивалентны.
Если ρ
– неприводимое представление
π, то
предыдущее рассуждение показывает, что
соответствующее инвариантное
подпространство Н΄
ортогонально всем
инвариантным подпространствам Нi,
отвечающих νi,
кроме одного. Поэтому Н΄
содержится в одном из
Нi. Это доказывает, что каждое пространство
Нi определяется однозначно: Нi – это
подпространство Н, порожденное
пространствами подпредставлений π,
эквивалентных νi΄.
Таким образом, доказано
предложение.
Теорема 2.8. В разложении π
= ρ1ν1΄…..ρmνm΄
представления π,
(где ν1΄,…,
νm΄ неприводимы и
неэквивалентны) целые числа ρi
и классы представлений
νi΄
определяются единственным образом, как
и пространства представлений.
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.
Определение 2.7. Борелевским
пространством называется множество Т,
снабженное множеством В подмножеств
Т, обладающим следующими свойствами:
ТВ,
ØВ,
В инвариантно относительно счетного
объединения, счетного пересечения и
перехода к дополнению.
Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.
Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.
Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.
Определение 2.9. μ
– измеримое поле
гильбертовых пространств на Т есть пара
ε =
((H(t))tT,
Г), где (H(t))tT
– семейство гильбертовых пространств,
индексы которых пробегают Т, а Г –
множество векторных полей, удовлетворяющее
следующим условиям:
(i) Г – векторное подпространство
Н(t);
существует последовательность
(х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого
tT
элементы хn(t) образуют последовательность
H(t);
для любого хГ
функция t→||x(t)|| μ
– измерима;
пусть х – векторное поле; если
для любого yГ
функция t→(x(t), y(t)) μ
– измерима, то хГ.
Пусть ε
= ((H(t))tT,
Г) μ
– измеримое поле
гильбертовых пространств на Т. Векторное
поле х называется полем с интегрируемым
квадратом, если хГ
и
||x(t)||2
dμ(t) < +∞.
Если х, y – с интегрируемым
квадратом, то х+y и λх
(λС)
– тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема;
положим
(x, y) =
(x(t),
y(t)) dμ(t)
Тогда векторные поля с интегрируемым
квадратом образуют гильбертово
пространство Н, называемое прямым
интегралом Н(t) и обозначаемое
x(t)dμ(t).
Определение 2.10. Пусть ε
= ((H(t))tT,
Г) – измеримое поле гильбер- товых
пространств на Т. Пусть для любого tT
определен оператор S(t)L(H(t)).
Если для любого хT
поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется
измеримым операторным полем.
Пусть Т – борелевское пространство,
μ
- положительная мера на Т, t→Н(t) - μ
- измеримое поле гильбертовых пространств
на Т. Пусть для каждого tT
задано представление π(t)
*-алгебры А в Н(t): говорят,
что t→π(t)
есть поле представлений
А.
Определение 2.11. Поле представлений
t→π(t)
называется измеримым,
если для каждого хА
поле операторов t→π(t)х
измеримо.
Если поле представлений t→π(t)
измеримо, то для каждого
хА
можно образовать непрерывный оператор
π(х)=π(t)
(x) dμ(t) в гильбертовом
прост- ранстве Н =Н(t)
dμ(t).
Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.
Доказательство. Для любых х, yА
имеем
π(х+y)
=
π(t)
(x+y) dμ(t) =
(π(t)
(x) + π(t) (y)) dμ(t) =π(t)
(x )dμ(t) +
+π(t)
(y) dμ(t) = π(х) +π(y)
Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*
Определение 2.12. В предыдущих
обозначениях π
называется прямым
интегралом π(t)
и обозначается π
=π(t)
dμ(t).
Определение 2.13. Операторное поле
t→φ(t)I(t)L(H(t))
где I(t)-единичный оператор в H(t), называется
диагональным оператором в Н=Н(t)dμ(t).
Пусть ε
= ((H(t))tT,
Г) – μ-измеримое
поле гильбертовых пространств на Т, μ1
– мера на Т, эквивалентная
μ (то
есть каждая из мер μ1,
μ абсолютно непрерывна
по другой), и ρ(t)=
.
Тогда отображение, которое каждому
хН==Н(t)dμ(t)
составляет поле
t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=Н(t)
dμ1(t),
есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.
Действительно,
||ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2
=
||х(t)||2ρ(t)-1
dμ1(t) =
||х(t)||2dμ1(t)
= ||х(t)||2
Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),
Н =Н(t)
dμ(t)
, π1==π(t
)dμ(t),
Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 – мера на Т, эквивалентная μ,
Н1 =Н(t)
dμ1(t)
, π1 =π(t)
dμ1(t),
Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1.
Доказательство. Пусть ρ(t)=.
Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть
изометрический изоморфизм, который
переводит х =x(t)
dμ(t)Н
в
Ux =
ρ-1/2х(t)
dμ1(t).
Пусть α
А.
Имеем
π1(α)Ux =
π(t)(α)
ρ-1/2 х(t) dμ1(t)
= Uπ(t)(α)
х(t) dμ(t)
= Uπ(α)x,
поэтому и преобразуем π
в π1.
Тогда если SД,
то аналогично SUx = USx, для любого хН.
Определение 2.14. Пусть Т, Т1 –
борелевские пространства; μ,
μ1 – меры на Т и Т1
соответственно; ε
= ((H(t))tT,
Г), Z1 = ((H2(t1))t1T1,
Г), - μ-измеримое
и μ1-измеримое
поля гильбертовых пространств. Пусть
η:
Т→Т1 – борелевский
изоморфизм, переводящий μ
в μ1;
η-изоморфизм ε
на ε1
называется семейство
(V(t))tT,
обладающее следующими свойствами:
для любого tT
отображение V(t) является изоморфизмом
Н(t) на Н1(η(t));
для того, чтобы поле векторов
t→x(t)H(t)
на Т было μ-измеримо,
необходимо и достаточно, чтобы поле
η(t)→V(t)х(t)
Н1(η(t))
на Т1 было μ1-измеримо.
Отображение, переводящее поле
хН
=Н(t)
dμ(t)
в поле η(t))→V(t)х(t)
Н1
=
Н1(t)
dμ1(t)
, есть изоморфизм Н на
Н1, обозначаемый
V(t)
dμ(t).
Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),
Н =Н(t)
dμ(t),
π
==π(t)
dμ(t),
Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H2(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.
Предположим, что существует:
N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;
борелевский изоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1;
η-изоморфизм
t→V(t) поля t→Н(t) (tZ\N)
на поле t1→Н1(t1) (t1Т1\N1)
такой, что V(t) преобразует π(t)
в π1(η(t))
для каждого t.
Тогда V =V(t)dμ(t)
преобразует Д в Д1 и π
в π1.
Доказательство. Обозначим через
It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1).
Если fL∞(T,
μ) и если f1 – функция на
Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η,
то V преобразует
f(t)It
dμ(t) в
f1(t1)
It1 dμ1(t1), поэтому V преоб-
разует Д в Д1. С другой стороны, пусть
αА
и х =
х(t)
dμ(t)Н.
Тогда
Vπ(α)х
= Vπ(t)(α)
х(t) dμ(t)
=
V(η-1(t1))
π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1))
dμ1(t1) =
π1(t1)(α)
V(η-1(t1)) х(η-1(t1))
dμ1(t1) = π1 (α) V х
Поэтому V преобразует π в π1.
Приведем примеры прямых интегралов.
Пусть имеется последовательность
гильбертовых пространств
и дискретная мера μ
на N, то есть μ(n)=1
для любого nN.
Тогда
Н(n)
dμ(n)
=
Н(n),
то есть прямой интеграл сводится к
ортогональ- ной сумме.
Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ
соответствует поле комплексных чисел
С, и на Т задана линейная мера Лебега
dt. Тогда
С
dt = L2 (0, 1).
Изоморфизм устанавливается
отображением х =
х(t)
dt →х(t)L2
(0, 1).
Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.
§ 3. Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения
пространств. Пусть
- конечная последовательность сепарабельных
гильбертовых пространств,
- некоторый ортонормированный базис в
Нк.
Образуем формальное произведение
(3.1.)
α = (α1,…,
αn)
(n раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную
последовательность (
) и на формальные векторы (3.1.) натянем
гильбертово пространство, считая, что
они образуют его ортонормиро- ванный
базис. Полученное сепарабельное
гильбертово пространство называется
тензорным произведением пространств
Н1,…, Нn и обозначается Н1
,…,
Нn
=
.
Его векторы имеют вид:
f =
(fαC),
|| f ||2 =
<
∞ (3.2.)
Пусть g =
,
тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой
(f, g) =
(3.3.)
Пусть f(k) =
(к
= 1,…, n) – некоторые векторы. По определению
f = f(1)…
f(n) =
(3.4.)
Коэффициенты fα
=
разложения (3.4.) удовлетворяют условию
(3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит
,
при этом
|| f || =
(3.5.)
Функция Н1,…,
Нn
<
>
линейна по каждому фрагменту, а линейная
оболочка L векторов (3.4.) плотна в
- эта линейная оболочка называется
алгебраическим (непополненным) тензорным
произведением пространств Н1,…, Нn и
обозначается α.
Приведенное определение тензорного
произведения зависит от выбора
ортогонального базиса
в
каждом сомножителе
.
При изменении базисов получаем тензорное
произведение, изоморфное с сохранением
своей структуры исходному произведению.
Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы
сепарабельные пространства. Тогда
конструкция тензорного произведения
означает следующее. Рассматривается
линейная оболочка L формальных произведений
f1
f2, причем считается, что
(f1 + g1)
f2 = f1
f2 + g1
f2 (3.6.)
f1
(f2 + g2) = f1
f2 + f1
g2 (3.7.)
(λ f1)
f2=λ (f1
f2) (3.8.)
f1
λ (f2) = λ (f1
f2) (3.9.)
f1, g1Н1;
f2, g2
Н2;
λ
С.
Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).
Затем вводится скалярное произведение в L.
(f1
f2 , g1
g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.)
f1, g1Н1;
f2, g2
Н2,
а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.
3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.
Теорема 3.1. Пусть
,
- две последовательности гильбер- товых
пространств,
- последовательность операторов АкL(Нк,
Gк). Определим тензорное произведение
А1
…Аn
=
Ак
формулой
(
)
f =
()
=
(3.11.)
(f
).
Утверждается, что ряд в правой
части (3.11.) сходится слабо в
и
определяет оператор
L (,
),
причем
||
||
=
||
||
(3.12.)
Доказательство. Достаточно
рассмотреть случай n=2, так как в силу
равенства Н1,…,
Нn
= (Н1,…,
Нn-1)Нn
общий случай получается по индукции.
Пусть
-
некоторый ортонормированный базис в
Gк (к = 1, 2) и пусть g =
G1
G2. В качестве f возьмем вектор из Н1
Н2 с конечным числом отличных от нуля
координат fα.
Зафиксируем α2,
β1
Z+ и обозначим через f(α2)
Н1
вектор f(α2)
=
и через g(β1)G2
– вектор g(β1)
=
.
Получим
=
=
=
≤
=
=
≤
=
=
Из этого неравенства следует
слабая сходимость в G1G2
ряда
уже при произвольном c
Н1Н2
и оценка его нормы в G1G2
сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом,
оператор A1
A2: Н1
Н2 →G1G2
определен посредством (3.11.) корректно,
ограничен и его норма не превосходит
||A1|| ||A2||.
Из (3.5.) и (3.11.) следует
||(A1
A2) (f1
f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк
Нк
, к = 1, 2)
Подбирая должным образом орты
f1, f2 последнее произведение можно сделать
сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому
неравенство ||(A1
A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то
есть (3.12.) при n=2 доказано.
Из (3.11.) получаем для Ак
L(Hк,
Gк), Вк
L(Hк,
Gк) (к = 1,…, n) соотношения
(Вк)
(Ак)
=
(Вк
Ак) (3.13.)
(Ак)*
=
Ак*
(3.14)
(Ак)
(f1
…
fn) = A1 f1…
An fn (3.15.)
(fк
Hк;
к = 1,…, n)
(3.15) однозначно определяет
оператор
Ак.
Приведем пример. Пусть Hк =
L2((0,1),
d (mк))
= L2
Действительно, вектору вида
(3.1.)
поставим в соответствие функцию
L2.
Такие функции образуют ортонормированный
базис пространства L2, поэтому такое
соответствие порождает требуемый
изоморфизм между
и
L2.
Глава II. Задача о двух ортопроекторах
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве
Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2
P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >
порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.
Положим u = 2p1 – 1, v = 2p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.
u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.
Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:
P2 = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >
Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.
Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.
P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >
Обозначим через Рк = π(рк),
к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π
- *-представление, то Рк2
= Рк* = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на
подпространстве Нк = {yH
| Рк y = y } к = 1, 2.
Возможны следующие случаи:
Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.
Н1 = Н (то есть dim H2 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.
Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H3 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.
Н1 = Н2 = Н (dim H2 = dim H3 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.
Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.
1.3. Двумерные *-представления
*-алгебры P2 . Обозначим через Нк область
значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть
Нк┴ - ортогональное дополнение
подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда
Н=H2Н1┴
, Н=H3Н2┴
Введем дополнительные обозначения :
Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.)
Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.
Будем считать, что Hij ={0} для любых
i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы)
и dim H2 = dim H3 =1. Тогда в Н можно найти два
ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в
которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют
вид
.
Найдем матрицу оператора Р2 в базисе
{e1, e2}.
Пусть g1
= a11e1 + a12 e2
g2 = a21e1 +
a22e2
e1 = b11g1 + b12g2
e2 = b21g1 + b22g2
Рассмотрим векторы H2 = eite1 и H3 = eile2, тогда
|| H2 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || H3 || = || eile2 || = || e2 || = 1
(H2 ,H3 ) = (eite1 , eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {H2 ,H3} – ортонормированный базис.
Р1H2 =ei t Р1 e1 = H2, Р1H3 =eil Р1 e2 = 0.
Значит в базисе {H2 ,H3} матрица
оператора Р1 также имеет вид
.
Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так
как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| H2)
(e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или
,
тогда существует такое комплексное
число r, что
a22 = - ra11
a21 = ra12
Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно
a112 + a122 =
1
|a22 |2 + |a21 |2 = 0
тогда | r | = 1.
Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,
Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.
Найдем b11 и b21:
e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2,
b11a11 +
b12a12 = 1
b11a12 + b12a22 = 0 или
b11a11 +
b12a12 r = 1
b11a12 - b12a11 r = 0,
Тогда b11 = a11.
Аналогично
E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2,
b21a11 +
b22a21= 0
b21a12 + b22a22 = 1,
отсюда находим, что b21 = a12.
Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)
Р2 =
,
где
a11>0, a12>0 и
a112 + a122 =1
А) Пусть
a112 = τ,
тогда
a122 =1 – τ,
a11a12 =
.
Так как a11a12 >0, то τ(0,
1).
Тогда Р2 =
.
В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом
Р2 =
.
Найдем коммутант π(P2).
Пусть Т =
оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда
ТР1 =
=
Р1Т =
=
Следовательно b = c = 0.
ТР2 =
=
Р2Т =
=
Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.
Покажем, что все эти представления неэквивалентны.
Пусть τ,
ν(0,
1), τ ≠ ν. Предположим, что
существует унитарный оператор в Н,
устанавливающий эквивалентность. Тогда
UР1 = Р1U, следовательно U=
,
a, b
C
UР2 (τ)
=
=
Р2 (ν)
U =
=
.
Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.
Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 .
Тогда:
(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;
(ii) Все двумерные неприводимые
и неэквивалентные представления имеют
вид: π(p1)
, π(p2)
τ
(0, 1).
Доказательство следует из
сказанного выше и в пункте (ii) можно
положить π(p2)
=
φ
(0,
).
1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство
max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)
Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.
Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.
Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, хН1
такой, что Р1Р2х = λх,
где λС.
Доказательство. Пусть
,
ортонормированный базисы в Н, в которых
матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид
,
где I – единичная матрица порядка n.
Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями
к = 1,…, n к = 1,…, n
Так как хН1,
то
,
gk
C,
к = 1,…, n. Тогда
Р1Р2х = Р1Р2
=
Р1Р2
=
Р1
=
= Р1
=
=
(
)
=
Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:
=
j = 1,…, n
Подбирая λC
так, чтобы определитель этой системы
обратился в нуль, получим ненулевое
решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.
Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.
Доказательство. Проверим
инвариантность L. Для любых a, b
С
имеем
Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх
= (a +
λb) х
L,
Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х
L
dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).
Действительно, если aх + bР2х = 0,
где, например, а ≠ 0, то х =
Р2х, значит
=
0 или 1 и х
Н1,1;
тогда Н1,1≠{0}.
Итак, получаем предложение.
Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред- ставлений *-алгебры P2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.
1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.
Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств
Н = Н0,0Н0,1Н1,0Н1,1
(
(С2Нк)),
(1.1.)
где каждому подпространству Нк
соответствует одно φк
(0,
),
φк ≠ φi
при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…,
m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j , Рφк:
Н → С2Нк
– ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют
единственные разложения операторов
I = P0,0
P0,1
P1,0
P1,1(Рφк),
(1.2.)
P1 = P1,0P1,1((Iк
)) (1.3)
Р2 = P0,1
P1,1
(
Iк
)) (1.4)
где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).
Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение
Н = Н0,0
Н0,1
Н1,0
Н1,1
Н΄,
где dimН΄
четное число. Используя
лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем
написать разложение Н΄
в ортого- нальную сумму
инвариантных двумерных подпространств,
определяемых параметром φк
(0,
):
Н΄
=
Нφк,
(l = n -
)
Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм
Нφк…Нφк
≈ С2Нк
, где Нφк
nк экземпляров, dim(Нφк…Нφк
)=2nк dim(С2Нк)
= dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем
разложение (1.1.)
Н = Н0,0
Н0,1
Н1,0
Н1,1
((С2Нк))
Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк - *-подпредставления.
Учитывая кратности подпредставлений получаем
π =
n0,0π0,0n0,1π0,1n1,0π1,0n1,1π1,1(nкπк)
(1.5.)
В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.
Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)
I = P0,0
P0,1
P1,0
P1,1
(Рφк)
Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид
P1 = P1,0
P1,1
((Iк
))
Р2 = P0,1
P1,1
(
Iк
))
Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0 , n0,1π0,1(p2) = P0,1 , n1,1π1,1(р1) = P1,1 , n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно
UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)
Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.
Доказательство. Допустим, что А
и В неприводимы. Пусть существует
нетривиальное инвариантное подпространство
L относительно операторов А и U. Тогда
UL = АВLL,
но тогда ВLАLL,
то есть пара А, В – приводима.
Обратно, пусть А и U неприводимы.
Если операторы А и В приводимы, то есть
LН:
АLL
и ВLL,
то из включения АВLАLL
следует приводимость А и U, что невозможно.
Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.
Доказательство. Пусть Р1 и Р2
приводимые операторы, когда существует
нетривиальное инвариантное подпространство
LН
такое, что Р1LL,
Р2LL.
Рассмотрим АL = (2Р1 – I)LL,
ВL = (2Р2 – I)LL,
то есть А и В приводимы.
Обратно, пусть А и В приводимые
операторы, тогда Р1 и Р2 также будут
приводимы, так как Р1L =
LL,
Р2L =
LL,
для любого инвариантного относительно
А и В подпространства L в Н.
Лемма 2.3. Если eiφ
(U),
то e-iφ(U).
Доказательство.
1) Если eiφ
принадлежит точечному
спектру оператора U, то существует fН:
||f|| = 1 и Uf = eiφ
f. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f =
eiφАf,
следовательно, Аf собственный вектор
оператора U, то есть e-iφ
принадлежит спектру U.
2) Если eiφ(U),
то существует последовательность
единичных векторов
в Н || fn || = 1 такая, что
||Ufn - eiφfn || = || UАfn - eiφ A fn || = || U-1Аfn - eiφ A fn || → 0 при n → ∞ (|| Аfn || =1)
Тогда eiφ(U-1),
следовательно e-iφ(U).
Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.
Доказательство. Рассмотрим соотношения
А (U + U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А
А (U - U-1) = А (U2 – 2I + U-2) = (U2 – 2I + U-2)А = (U - U-1)2А
Таким образом А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.)
А (U - U-1) = (U - U-1)2А (2.3.)
Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем
U + U-1 = cI
(U - U-1)2 = d2I
где c, d
С.
По теореме преобразования спектров
eiφ+
e-iφ = c, eiφ- e-iφ = ±d.
Если d = 0, то
(U)
состоит из одной точки eiφ,
где φ=0
или φ=π,
и U = I или U = -I. Так как А,
U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А
= -I. Поскольку существует одномерное
инвариантное подпространство y оператора
А: л.о. {(A+I)x}, хH.
Если d ≠ 0, то
(U)
дискретен и состоит из двух точек eiφ=
и e-iφ=
φ(0,
π)
Собственное подпространство
оператора U, отвечающее собственному
значению eiφ
(или e-iφ),
Нeiφ
= {fH
| Uf = eiφf} одномерно.
Действительно, подпространство, натянутое
на собственные векторы f и Af для оператора
U: Uf = eiφf,
U(Аf) = eiφ
Аf инвариантно относительно
операторов U и А. U и А неприводимы, значит
dimНeiφ=
dimН-eiφ=1
Таким образом, все неприводимые
пары операторов U и А такие, что
(U)
= {eiφ, e-iφ} φ(0,
π) в базисе из собственных
векторов оператора U имеют вид:
А =
,
U =
,
В =
Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер- ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0Н0,1Н1,0
Н1,1
(
(С2L2((0,
),
dρк))) (2.4.)
где ρ1
> ρ2 >… ρк меры на
интервале (0,
),
такое, что имеют место равенства
P1 = P1,0
P1,1
((Iк
)) (2.5.)
Р2 = P0,1
P1,1
(Iк
)) (2.6.)
Iк – единичный оператор в L2((0,
),
dρк)
Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н = Н0,0
Н0,1
Н1,0
Н1,1
Н΄,
то есть отщепить все
одномерные представления от исходного.
Н΄
состоит из инвариантных
двумерных подпространств.
Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление πF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.
Пусть каждому вектору ξН
поставим в соответствие подпространство
Нξ
Н, которое получается замыканием
множества векторов вида π(х)ξ,
где хА.
Ограничения операторов из
π(А) на Нξ
является циклическим представлением.
Обозначим его через πξ,
а соответствующую меру
на Т через μξ.
Введем упорядочение в
Н, полагая ξ>η,
если μξ
> μη (то есть μη
абсолютно непрерывна по
мере μξ).
Если ηНξ,
то НηНξ,
тогда πη
– циклическое
подпредставление πξ.
Пусть Е
Т и μξ
(Е) = 0, тогда μη
(Е) = 0, следовательно μξ
> μη, а значит ξ>η.
Множество максимальных векторов
всюду плотно в Н. Пусть существует
счетное разложение Н =
Нηк.
Пусть {ζi}
– последовательность,
в которой каждый из векторов ηi
встречается бесконечное
число раз. Определим ξк
индуктивно, так, чтобы выполнялись
условия:
ξк+1
– максимальный вектор в (
Нξi)┴,
d (ζк,
Нξi)
≤
.
Тогда разложение Н =
Нξк
такое что ξк>ξк+1
и μк>μк+1
.
Пусть представления πμ
в L2(Т, μ)
и πν
в L2(Т, ν)
эквивалентны. Пусть
v:L2(Т, μ)
→L2(Т, ν)
устанавливающий их
эквивалентность изоморфизм. Положим
f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной
функции g на Т v(g)=vπμ(g)f
= πν (g)vf = πν (g)a = ga. Так как
v – изометрическое отображение, то
dμ=|a|2dν.
Таким образом мера μ
абсолютно непрерывна по
мере ν.
Аналогично, рассматривая
обратный оператор, получаем, что ν
абсолютно непрерывна по
μ, то
есть эти меры эквивалентны. Значит
существует разложение Н΄
=
(С2L2(Т,
μк)),
где μ1>μ2>…
и соответствующие этим
мерам представления неприводимы и
неэквивалентны. Это доказывает равенство
(2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:
P1 = P1,0
P1,1
((Iк
))
Р2 = P0,1
P1,1
(Iк
))
Iк – единичный оператор в L2((0,
),
dρк).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0Н0,1Н1,0
Н1,1
С2Н(φ)dЕ(φ)
(2.7.)
в прямой интеграл инвариантных
относительно Р1, Р2 подпространств и
определенное на Т = (0,
)
разложение dЕ(φ)
единичного оператора
I+=E(0,
)
в Н+ =С2Н(φ)dЕ(φ),
такое что имеет место
равенство
P1 = P1,0
P1,1
I+
(2.8.)
Р2 = P0,1
P1,1
dЕ(φ)
(2.9.)
Доказательство. Всякий
самосопряженный оператор А, действующий
в Н, изометрически изоморфен оператору
умножения на независимую переменную в
пространстве
L2(R,
dρк), где ρк
зависит от разложения единицы оператора
А. Тогда доказательство спектральной
теоремы в форме разложения единицы
следует непосредственно из спектральной
теоремы в форме операторов умножения.
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов
§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово
пространство. Если Р – ортопроектор,
то
(Р)
=
р
(Р) = {0, 1}, где
р
(Р) – точечный спектр при условии, что
Р ≠ 0 и Р ≠ I.
Доказательство. Рассмотрим
выражение Рх - λх
= y, х, y
Н, λ
С. Тогда (1 - λ)
Рх = Рy . Если λ
≠ 1, то Рх =
Рy.
Если х ≠ 1, то х =
(Рy
- y), тогда
(Р)
= {0, 1}.
Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует
х ≠ 0 такой, что Рх ≠ 0. Тогда Р(Рх) = Рх,
то есть 1р
(Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I
- Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0
р
(Р). Итак,
(Р)
=
р
(Р) = {0, 1}.
1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве.
Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк – область
значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим
через А = Р1 + Р2 и найдем
(А).
1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х
Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0
(А).
2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х
Н2 = Н Ах = х, то есть 1
(А).
3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х
Н1 = Н Ах = х.
4) Р1 = Р2 = I, то для любого х
Н1 = Н2 = Н Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2
(А).
Таким образом, если dimH =1, то
(А)
{0,
1, 2}.
1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х
Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0
(А).
2) х
Н0,1 или х
Н1,0 , тогда Ах = х и 1
(А).
3) х
Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2
(А).
Если существуют i, j= 0,1 такие, что
Нi,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что
Нi,j
Нk,l = H. В этом случае
(А)
{0,
1, 2}.
Пусть теперь Нk,l = {0} для любых
k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное
инвариантное подпространство L
относительно Р1 и Р2, тогда АLL.
Пусть х
L, тогда Рkх = λкх
(k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то
возможны случаи:
λ1 = 0, λ2 = 0;
λ1 = 0, λ2 = 1;
λ1 = 1, λ2 = 0;
λ1 = 1, λ2 = 1;
Но это означает, что
k,l = 0,1 такие, что Нk,l ≠ {0} вопреки
предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима.
Значит мы можем записать матрицы
операторов Р1 и Р2 в некотором
ортонормированном базисе, согласно
теореме 1.1. главы II.
Р1 =
,
Р2
τ
(0, 1)
Найдем спектр линейной комбинации
ортопроекторов aР1 + bР2, a и b
С. Для этого решим характеристическое
уравнение det(aР1 + bР2 – λI)
= 0.
(1.1.)
Тогда
,
(1.2)
Положим a = 1, b =1, ε
=
,
тогда λ1
= 1+ε , λ2 = 1-ε и 0<ε<1
(поскольку 0<τ<1.
Тогда
(А)
{0,
1, 2}
{1+ε
, 1-ε}. Причем собственные
значения 1+ε
и 1-ε
входят в спектр А
одновременно.
1.5. Спектр в n-мерном пространстве.
Пусть dimH =n. Если Н =КL,
где К, L инвариантные подпространства
относительно оператора А, то для любого
х
Н существует единственное разложение
x = k +l, k
K, l
L. Пусть λ
(А), тогда Ах = λх
=λk
+λl;, следовательно, если
пространство Н разложено в ортогональную
сумму инвариантных подпространств, то
спектр оператора А можно найти как
объединение спектров сужений оператора
А на соответствующие инвариантные
подпространства.
Используя лемму 1.2. главы II,
представим Н в виде ортогональной суммы
подпространств Н0 = Н0,0, Н1=Н0,1Н1,0,
Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных
относительно А, подпространств Нφк
φк
(0,
),
(к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2
неприводимы в Нφк
(к = 1,…, s), и собственные значения 1+εк,
1-εк
входят одновременно в спектр А. Так как
А*=А, то соответствующие собственные
векторы ортогональны. Тогда имеет место
разложение на собственные подпространства
Нφк
= Н1+εк
Н1-εк
, причем dimН1+εк
= dimН1-εк
= 1 (1.3)
Если φк
≠ φi,
то εк
≠ εi
(так как εк
=
=cosφк
и φк
(0,
)).
Объединим все Нφк
, у которых одинаковые φк
, в одно слагаемое, и обозначим его через
Нφк.
При этом, если dimНφк
= 2qk, то есть Нφк
состоит из qk экземпляров двумерных
подпространств, отвечающих одному φк
, то объединяя вместе все соответствующие
одномерные собственные подпространства,
получим Нφк
= Н1+εк
Н1-εк
, dimН1+εк
= dimН1-εк
= qk.
Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда
(А)
{0,
1, 2}(
{1+ε
, 1-ε}), 0<εк<1,
причем dimН1+εк = dimН1-εк к = 1,…, m.
Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:
(А)
{0,
1, 2}({1+ε
, 1-ε}), где 0<εк<1для
любого к = 1,…, m.
Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть
dimН1+εк = dimН1-εк . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):
Н = Н(0)
Н(1)
Н(2)
((С2Нк))
(1.4.)
(1.4.) можно записать иначе
Н = Н(0)
Н(1)
Н(2)
((С2(Н1+εк
Н1-εк
))) (1.5.)
Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом
P1 = PН2((Iк
)) (1.6.)
Р2 = PН1
PН2
(
Iк
)) (1.7.)
где PНк – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s=1,…, m. Но тогда
Р1 + Р2 = PН1
PН2
(
Iк
)) = А, при этом А = А*
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ1 + λ2 = a + b. Пусть λ2 = ε, тогда λ1 = a + b – ε.
Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a - b)2 + 4abτ > 0.
Тогда ε
=
>
=
0, то есть ε
= 0.
Допустим, что ε ≥ a , тогда
a ≤
≤
b – a
(b - a)2 +4abτ ≤ (b – a)2
abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a
Итак,
λ1
= ε
λ2 = a + b – ε. (1.8.)
0 < ε < a
Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.
Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда
(А)
{0,
a, b, a + b}({εк
, a + b - εк}),
0<εк<1,
и
dimНεк = dimНa+b-εк (Нεк , Нa+b-εк - собственные подпространства оператора А, отвечающие εк) к=1,…m.
Доказательство. Пусть А = aР1 +
bР2, 0<a<b. Найдем
(А).
1) х
Н0,0, то Ах = 0 и 0(А);
2) х
Н0,1 , то Ах = bx и b(А);
3) х
Н1,0 , то Ах = ax и a(А);
4) х
Н1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b(А).
Тогда
(А)
{0,
a, b, a + b}({εк
, a + b - εк}),
где 0<εк<1,
к=1,…m. Причем числа εк,
a + b - εк
входят одновременно в спектр А, и
соответству- ющие собственные
подпространства ортогональны и одномерны,
так как А=А*. Тогда сумма всех собственных
подпространств, отвечающих одному εк
также инвариантна относительно А и
dimНεк
= dimНa+b-εк
= qk. (с учетом кратности εк)
Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)
Н = Н(0)
Н(a)
Н(b)Н(a+b)
((С2Нк))
(1.9.)
Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) =Н1,0 , Н(b)=Н0,1 , Н(a+b)=Н1,1 или
Н = Н(0)
Н(a)
Н(b)Н(a+b)
((Нεк
Нa+b-εк)
(1.10.)
Положим
P1 = PaPa+b
((Iк
)) (1.11.)
Р2 = Pb
Pa+b
(
Iк
)) (1.12.)
Но тогда
aР1
+ bР2
= aPabPb
(а+b)Pa+b
(a(Iк
))
(bIк
)) = A.
Спектр оператора А совпадает с
{0, a, b, a + b}({εк
, a + b - εк}),
(0<εк<1,
к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная
комбинация ортопроекторов.
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Теорема 2.1. Самосопряженный
оператор А представим в виде суммы двух
ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только
тогда, когда
(А)
= [0, 2] и пространство Н можно разложить
в ортогональную сумму инвариантных
относительно А пространств
Н = Н0
Н1
Н2
(
(С2L2((0,
),
dρк))) (2.1.)
и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.
Доказательство. Пусть А = Р1 + Р2.
Н0=Н0,0 , Н1=Н1,0Н0,1
, Н2=Н1,1
Поставим в соответствие φ→ε
cosφ, где φ
(0,
).
Тогда, как было найдено выше, спектр
(А)
[0, 2] и Н можно разложить (опираясь на
спектральную теореме 2.3. главы II) в
ортогональную сумму (2.1.)
Н = Н0
Н1
Н2
((С2L2((0,
2), dρк)))
Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.
Обратно. Пусть имеет место (2.1.)
и
(А)
[0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1΄
Р2΄
равенствами
Р1΄
= P1P2((Iк
))
Р2΄
= P2
(
Iк
))
где Pi: Н→Нi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2((0, 2), dρк)). Тогда А =Р1΄ + Р2΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.
2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 + bР2 (0<a<b).
Теорема 2.2. Самосопряженный
оператор А представим в виде линейной
комбинации двух ортопроекторов А = aР1
+ bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда
(А)
[0, a]
[b,
a+b] и Н можно представить в виде
ортогональной суммы инвариантных
относительно А пространств
Н = Н0
Нa
НbНa+b
((С2L2([0,
a]
[b,
a+b], dρк)))) (2.2.)
и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→a+b.
Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2
(0<a<b). Пусть Н0=Н0,0, На=Н0,1, Нb=Н1,0 ,
Нa+b=Н1,1. Так как
(А)
[0, a]
[b,
a+b] и собственные подпространства,
отвечающие собственным значениям
оператора А входят в Н одновременно
(причем их размерности совпадают) то
аналогично теореме 2.1. получаем
Н = Н0
Нa
НbНa+b
((С2L2([0,
a]
[b,
a+b], dρк))))
где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.
Обратно, пусть
(А)
[0, a]
[b,
a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда
зададим Р1 и Р2 следующим образом
P1 = PaPa+b
((Iк
))
Р2 = Pb
Pa+b
(
Iк
))
где Рα:
Н→Нα
, α = a, b, a+b – ортопроекторы,
Iк – единичный оператор в L2([0,a]
[b,
a+b]). Тогда
А = aР1 + bР2 = aР1
bР2(a+b)Pa+b
((Iк
))
(
Iк
))
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .
P2 = С <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.
А именно: 4 одномерных π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1; π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
И двумерные:
,
τ
(0, 1)
Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = aР1 + bР2 (0<a<b).
Список литературы
Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.
Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.
Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.
Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.
Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа