Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
Абзалимов Р.Р.
В настоящей работе предлагается метод
расчета приближенных собственных чисел
и собственных функций краевой задачи
на полуоси для дифференциального
уравнения второго порядка. Для численного
расчета собственных чисел интервал
заменяется
на
,
после чего задача решается на конечном
отрезке. Точность приближенных собственных
чисел будет зависеть от выбора граничного
условия в точке R.
I. Регулярная задача
Рассмотрим следующую краевую задачу:
,
(1.1)
,
(1.2)
.
(1.3)
Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:
,
(1.4)
с граничными условиями
,
(1.5)
,
(1.6)
где
.
(1.7)
Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):
;
;
удовлетворяет граничным условиям (1.5)
и (1.6);
удовлетворяет так называемым условиям
сопряжения
(1.8)
В каждом интервале
решения
уравнения
(1.4) имеют вид:
.
(1.9)
Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:
,
(1.10)
где
,
выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким
образом, получаем:
(1.11)
Из первого краевого условия получаем
зависимость
от
,
затем, подставляя во второе краевое
условие (1.6), получаем уравнение для
собственных значений задачи (1.4)-(1.6):
,
(1.12)
где
выписывается явно.
Пусть
- собственные значения и
- соответствующие им собственные функции
задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено
,
и пусть
- собственные значения задачи (1)-(3) и
соответствующие им собственные функции.
Введем обозначение:
.
(1.13)
Заметим прежде, что
при
.
Тогда имеет место следующая
ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства
,
(1.14)
.
(1.15)
Доказательство. Вначале докажем равенство
(1.15). Для этого рассмотрим уравнение
(1.1) на интервале
.
Представим ее в виде
,
(1.16)
где
вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения
(1.16) получаем интегральные уравнения:
,
.
Применяя метод последовательных приближений, получаем:
,
(1.17)
где
- решения уравнения (1.4).
Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).
Из (1.15) нетрудно установить неравенство:
,
(1.18)
где
при
.
Тогда имеет место следующее равенство:
(1.19)
при
,
где
- оператор Штурма-Лиувилля задачи
(1.1)-(1.3), а
- оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19)
нетрудно показать справедливость оценки
(1.14). Теорема доказана.
Следствие 1.1
,
.
Следствие 1.2
,
где
- характеристическое уравнение для
собственных значений задачи (1.4)-(1.6),
- характеристическое уравнение для
собственных значений задачи (1.1)-(1.3).
Следствие 1.3
и
совпадают
со всеми корнями уравнения
.
Следствие 1.4
образуют полную систему собственных
функций.
II. Сингулярная задача. Случай
.
Будем рассматривать задачу
,
(2.1)
,
(2.2)
где
монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не
более одной точки поворота. Таким
образом, для любого
.
В случае, когда
,
спектральная задача имеет дискретный
спектр. Из представленного метода
решения регулярной задачи следует, что
;
таким образом, для каждого
задачи на полуоси ставится в соответствие
своя регулярная задача на конечном
отрезке
.
Если бы мы знали все значения собственных
функций
,
соответствующие собственным числам
задачи
на полуоси, в точке
,
то, решая задачи на конечном промежутке
с дополнительным граничным условием
,
мы могли бы вычислить все собственные
числа задачи на
достаточно точно. Исходя из сказанного,
можно утверждать, что погрешность
определения собственных чисел тем
меньше, чем точнее выбор второго краевого
условия. В связи с этим рассмотрим два
краевых условия
(условие Дирихле) и
(условие Неймана). Пусть
- собственные числа задач на конечном
промежутке с дополнительными условиями
Дирихле и Неймана соответственно. С
помощью метода решения регулярной
задачи доказываются следующие утверждения:
ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси
,
(2.3)
где
1
.
Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.
ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:
.
(2.4)
Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.
Замечание В случае полуограниченного
оператора (),
данный выбор краевых условий позволяет
получать лишь верхнюю и нижнюю оценку
собственных чисел.
Следствие 2.1
,
где
- длина промежутка
.
Пример
.
Известно, что
,
где
вычисляется
явно. Из следствия 2.1 следует:
.
III. Сингулярная задача. Случай
.
Будем рассматривать задачу
,
(2.1)
.
(2.2)
Имеет место следующая (см. [3])
ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция
удовлетворяет
следующим условиям
;
, при
;
сохраняет знак для больших
;
,
где
,
при
;
.
Тогда спектр оператора
- чисто дискретный и состоит из двух
серий собственных чисел, уходящих на
и
.
Аналогично (как и для полуограниченного
оператора) задача на полуоси для расчета
собственных чисел
заменяется на регулярную задачу, т.е.
интервал
заменяется на
,
где
- достаточно большое положительное
число с дополнительным краевым условием
.
Нетрудно установить, что погрешность
приближенных собственных чисел
неполуограниченного оператора (при
)
стремится к нулю при
.
С помощью решения регулярной задачи
доказывается следующая
ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия
теоремы 3.1. Тогда если
- собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на
конечном промежутке
с дополнительным краевым условием
,
то справедливо равенство
для всех
.
Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).
Замечание 2 Для расчета собственных
чисел
задачи (2.1)-(2.2), промежуток
заменяется на
,
где
- достаточно большое положительное
число, с краевыми условиями
и
.
IV. Сингулярная задача. Случай
.
Будем рассматривать задачу
,
(3.1)
(3.2)
с дополнительными условиями:
;
голоморфна в точке
,
причем
;
при
монотонно, и
,
где
;
при
,
.
Данная задача рассматривалась в работе
Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]).
Известно, что задача имеет собственные
числа и собственные функции такие, что
все ее собственные числа простые,
отрицательные и образуют бесконечно
возрастающюю последовательность
с единственной предельной точкой
,
а собственные функции
,
отвечающие собственным значениям
,
имеют в интервале
в точности
нулей. В этом случае справедливы все
результаты, полученные для случая
полуограниченного оператора.
Пример
.
Известно (см. [3]), что
- собственные числа.
Введем обозначения:
- приближенные собственные числа,
полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым,
а
- приближенные собственные числа,
полученные методом, описанным выше.
Были рассчитаны собственные числа,
которые представлены в таблице (см.
ниже). Используя асимптотическую формулу
(2.3), можно показать (достаточно грубая
оценка), что
,
где
вычисляется явно. Для более точной
асимптотики необходимо точно решить
уравнение
.
n |
|
|
|
Промежуток |
||
|
|
|
||||
1 |
0.2500 |
0.25000… |
0.247… |
|
|
(1.16,6.82) |
2 |
0.1111 |
0.11107… |
0.111… |
|
|
(1.06,16.9) |
3 |
0.0625 |
0.06249… |
0.063… |
|
|
(1.03,30.9) |
4 |
0.0400 |
0.39995… |
0.041… |
|
|
(1.02,48.9) |
5 |
0.0277 |
0.0277715 |
0.028… |
|
|
(1.01,70.9) |
Список литературы
Митрохин С.И. // ДАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.
Рид, Саймон. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1, 4
Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Наука, 1960. 276 с.
Султанаев Я.Т. // ДАН. 1984. Т. 276. № 5. С. 1072-1074.
Жидков Е.П., Соловьев А.Г. // ЖВММФ. 1999. Т. 39. № 3. С. 1098-1118.
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа
1
Вопрос о том, как находить значения >
>
для расчета собственных чисел, остается
нерешенным