Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве
Хроногеометрия несвязных гранично однородных порядков в аффинном пространстве
Н.Л. Шаламова, Омский государственный университет, кафедра математическогомоделирования,
644077 Омск, пр. Мира,55-A
Изучение упорядоченных аффинных пространств An, n>2, связано, как известно, прежде всего с основаниями теории относительности [1]. Следуя же квантовой теории, мы не можем распространять причинно-следственные связи на явления микромира и поэтому вынуждены рассматривать так называемые "несвязные порядки". Предполагая при этом, что скорость передачи взаимодействия и в микромире ограничена, автор получает результаты, изложенные в данной статье.
Рассмотрим в
n-мерном аффинном пространстве An, n>2,
несвязный порядок
,
заданный семейством
подмножеств
An, для которого выполнены условия: (1)
;
(2) если
,
то
;
(3) если
,
то
.
Несвязность порядка
означает,
что
.
Предполагаем далее, что верно следующее:
(i)
;
(ii)
для
любой
.
Замечание 1.
Для любого множества A, будем через
,
int A, и
обозначать
соответственно замыкание, внутренность
и границу множества A.
Назовем внешним конусом множества Px следующее множество:
где lxy - луч,
идущий из точки x и проходящий через
точку
.
Считаем далее, что Cx - конус "с острой
вершиной", то есть не содержит прямой.
Известным является факт [1], что семейство
внешних
конусов задает порядок в An.
Гомеоморфизм
,
для которого f(Px)=Pf(x) для любой точки
,
назовем порядковым
-автоморфизмом.
Множество всех порядковых
-автоморфизмов
будет группой, которую обычно обозначают
.
Подгруппа группы
,
сохраняющая фиксированную точку
,
обозначается
.
Порядок
называется
-
однородным или гранично однородным,
если для любых
найдется
такой,
что f(x)=y.
Имеет место следующая
Теорема. Пусть
,
n>2, инвариантной относительно группы
параллельных переносов несвязный
порядок в n-мерном аффинном пространстве
An, для которого выполнены условия:
(1) существует
семейство
равных
и параллельных телесных одинарных
замкнутых выпуклых конусов с острой
вершиной такое, что
для
любых
и
;
(2) порядок
-
гранично однородный.
Тогда любой
порядковый
-автоморфизм
будет аффинным преобразованием.
Доказательство .
Для любой точки
рассмотрим
следующее множество
где объединение
берется по всем
-автоморфизмам
f из стабилизатора
таких,
что f(v) = uo .
Нетрудно
видеть, что
,
так как тождественное преобразование
id, очевидно, принадлежит
и
для него имеем: id(u0) = u0,
и
поэтому
.
В частности,
,
,
так как для любого
f(e)
= e.
По условию (1)
и,
кроме того, если
,
то
то есть семейство
сохраняется
-автоморфизмами
из
.
Замечание 2.
Не следует думать, что в определении
множества
,
,
f(v) = x точка v- фиксированная. Точка
,
то есть v- точка из орбиты точки x, для
которой определяется множество Dx.
Рассмотрим далее множества
Легко видеть,
что
(здесь
C-v, K-v- это конусы, центрально симметричные
конусам Cv и Kv относительно точки v). В
самом деле, для любой точки
,
имеем
(семейство
задает
порядок в An). Поэтому для
,
f(v) = u0 имеем
и
.
Если же
то
и
.
Это противоречит тому, что
.
Значит
для
любой точки
.
Отметим теперь
следующее: каждое множество Dx содержит
Cx, а каждое множество D-x- содержит конус
C-x. Далее, поскольку Kx, K-x- выпуклые конусы
с острой вершиной, то существует
гиперплоскость Tx такая, что
,
,
где
,
-
полупространства, на которые Tx разбивает
An. Утверждается, что в качестве Tx можно
выбрать такую гиперплоскость, которая
пересекает конус Cy,
по
компактному множеству. Известно, что
по отношению к замкнутому однородному
выпуклому телесному конусу Ce с острой
вершиной все гиперплоскости, имеющие
с
непустое
пересечение, можно разделить на три
непересекающихся класса. К первому
классу A1 отнесем все гиперплоскости,
пересекающие
по
компактному множеству. Во второй класс
A2 попадут гиперплоскости, имеющие с
некомпактное
пересечение и параллельные при этом
какой-либо прямолинейной образующей
конуса Ce, принадлежащей его границе
.
Все остальные гиперплоскости будут
принадлежать к третьему классу A3.
Нетрудно видеть, что вышеупомянутая
гиперплоскость Tx не может быть параллельна
какой-либо гиперплоскости из класса
A3. Это следует из того, что
,
а
и
также
,
,
что противоречит выбору Tx.
Если же Tx
параллельна гиперплоскости из класса
A2, то
и
,
что также противоречит выбору Tx. Значит
Tx параллельна некоторой гиперплоскости
из класса A1. Итак, пусть
-
эта та самая гиперплоскость, о которой
идет речь выше, то есть Te параллельна
гиперплоскости Tv из класса A1 и разбивает
An на два полупространства
и
такие,
что
,
.
Очевидно, что в этом случае найдется
гиперплоскость Ty0, параллельная Te, такая,
что
и
множество
-
компактно. Если теперь точка
,
то
.
Поскольку
и
порядок
-
гранично однородный, то для любой точки
будет
верно следующее:
Действительно,
вследствие граничной однородности
порядка
для
любых точек
найдется
такой,
что f(p0) = q0 и, значит, f(D)-p0 = D-f(p0) = D-q0. Но
,
поэтому
и,
следовательно,
.
Покажем теперь,
что наш порядок
будет
максимально линейчатым, то есть для
любой точки
имеем
.
Предположим, что это не так и найдется
точка
такая,
что луч
не
лежит полностью в Qe, то есть
.
Если
,
то есть луч l+x0, за исключением точки x0
лежит вне Qe, поступим следующим образом:
Пусть
,
точка,
которая вместе с некоторым шаром
с
центром в точке v0 положительного радиуса
лежит
в
.
Точка
,
значит найдется
такое,
что шар
имеет
непустое пересечение с int Q. Выберем
точку
.
Нетрудно видеть, что для прямой lm,
проходящей через точку m и параллельной
лучу l+x0 число точек пересечения с
уже
наверняка больше двух: первая точка
лежит на отрезке [m1, m), где
,
вторая точка лежит на отрезке (m, m2), где
,
так как
,
,
.
В этом случае в качестве точки x0 возьмем
любую точку из множества
.
Пусть точка
.
Тогда по доказанному выше
(см.
(
)),
но, поскольку
,
множество
содержат,
кроме точки w0 еще и точку x0, что, очевидно,
противоречит (
).
Значит порядок
-
максимально линейчатый и в соответствии
с результатами Э.Б.Винберга [2] и А.К.Гуца
[3] любой порядковый
-автоморфизм
будет
аффинным преобразованием.
Теорема доказана.
Следствие.
Пусть
,
n>2, - несвязный порядок в An, о котором
идет речь в теореме и, кроме того,
семейство
внешних
конусов порядка
является
семейством равных и параллельных
эллиптических конусов.
Тогда любой
порядковый
-автоморфизм
будет
преобразованием Лоренца.
Список литературы
Гуц А.К. Аксиоматическая теория относительности // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37. N 2. C. 39-79.
Винберг Э.Б. Строение группы автоморфизмов однородного выпуклого конуса // Труды ММО. 1965. Т.13. С.56-83.
Гуц А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях : Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск: Ин-т мат. СО РАН, 1987. 203 с.
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа