Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций
Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций
Н.В. Перцев, Омский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа
1. Введение
В работе автора [1] предложена математическая модель, описывающая динамику численности некоторых популяций с ограниченным временем жизни особей. Модель представляет собой систему интегро-дифференциальных уравнений
с начальным условием
где
,
а оператор
имеет
вид
,
.
В настоящей работе приводятся результаты изучения вопросов существования, единственности, неотрицательности и ограниченности решений системы уравнений (1) с начальным условием (2). Рассмотрены также достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения, которые применяются к исследованию вопроса о вырождении популяций. Для изучения поведения решений используются принцип сжимающих отображений, монотонный метод [2, с. 43] и свойства М - матриц [3, с. 132].
2. Основные результаты
Введем некоторые обозначения.Пусть
-
длина вектора
,
-
норма матрицы A = ( ai j ), [4, с. 196], A+ - матрица,
составленная из элементов
,
Rm+ - множество векторов
с
неотрицательными компонентами. Если
,
то запись u>0 означает, что ui>0 при всех
.
Неравенства между векторами из Rm
понимаются как неравенства между их
комнонентами. Для фиксированного T>0
под C+T будем понимать пространство
неотрицательных непрерывных на отрезке
[0,T] функций
с
нормой
,
где K>0 - некоторая константа, [2, с. 11]. В
системе (1)
,
при
под
понимается
правосторонняя производная. Далее,
,
,
,
,
.
Функции
предполагаются
непрерывными в своих областях определения.
От системы уравнений (1) с начальным условием (2) перейдем к эквивалентной системе интегральных уравнений вида
где (Fx)(t) =
Здесь
при
,
h(t) = 0 при
,
-
отрезок интегрирования,
.
Примем в дальнейшем, что выполнено
следующее предположение :
H) элементы
матрицы
определены,
непрерывны и ограничены,
;
функции
удовлетворяют
условию Липшица
,
,
,
где D - некоторое выпуклое подмножество
Rm+.
Пусть M1 и M2
такие постоянные, что
,
,
.
Зададим матрицы A,B,Q по формулам :
,
где
при
и
при
,
,
Q = I - A B, I - единичная матрица. Положим
(Lx)(t) =
где
.
Тогда
и
для всех
таких,
что
,
верно неравенство
.
Теорема 1. Пусть
предположение H) выполняется на множестве
D = Rm+. Тогда система уравнений (3) имеет
единственное непрерывное решение
x=x(t), определенное на
,
и справедливы оценки
,
где
.
Теорема 2. Пусть
предположение H) выполняется на некотором
прямоугольнике
и
существует
,
такой, что
.
Тогда система уравнений (3) имеет
единственное непрерывное, ограниченное
решение x=x(t), определенное на
,
и справедливы оценки
.
Теорема 3. Пусть
предположение H) выполняется либо на
множестве D = Rm+, либо на некотором
прямоугольнике D = D0. Пусть, кроме того,
f(0) = 0 и Q является невырожденной М -
матрицей. Тогда система уравнений (1)
имеет нулевое решение x(t) = 0, которое
является экспоненциально устойчивым,
иначе для всех
верно
,
где
.
Приведем
краткую схему доказательства этих
теорем. В условиях теоремы 1 будем искать
функцию w(t), удовлетворяющую неравенствам
.
Выберем
.
Используя оценку
,
приходим к неравенству
,
где
,
.
Имеем, что при
(поэлементно).
Единичная матрица I является невырожденной
М - матрицей. В силу непрерывной зависимости
найдется такое a0>0, что (I - A0(a0) B) также
будет невырожденной М - матрицей.
Используя свойства невырожденных М -
матриц, получаем, что существует
,
такой, что верно неравенство
.
Отсюда следует, что
при
всех
.
Зафиксируем T>0 и обозначим через CwT
множество всех функций
,
удовлетворяющих неравенству
.
Тогда из неравенств
следует,
что
.
Пусть множество
.
Для всех
верно,
что
,
где
,
,
.
Полагая
,
получаем, что отображение F является
сжимающим. При доказательстве теоремы
2 функция w(t) ищется в виде w(t) = b0, где
.
Если существует
,
такой, что
,
то
и
является сжимающим отображением на
CwT. Используя далее принцип сжимающих
отображений, убеждаемся в справедливости
утверждений теорем 1 и 2.
Для доказательства
теоремы 3 строится оценка на решение
,
где
,
функция w(t) такова, что
.
Эти неравенства будут выполнены, если
,
где
,
при
при
.
Матрица (I - A1(a) B) непрерывно зависит от
a и
(поэлементно)
при
.
Так как Q является невырожденной М -
матрицей, то найдется a = a0 >0 такой, что
(I - A1(a0) B) также будет невырожденной М -
матрицей. Используя свойства невырожденных
М - матриц, можно показать, что существуют
и
такие,
что выполняется неравенство
.
В итоге получаем, что справедливы оценки
на решение
.
3. Заключение
Установленные выше результаты указывают на корректность применения представленной модели в целях описания динамики численности популяций. Это связано с тем, что решения модели обладают такими важными свойствами, как существование, единственность, неотрицательность и ограниченность, которые соответствуют смыслу моделируемых процессов.
Важным следствием
теоремы 3 являются достаточные условия,
при которых популяция вырождается, т.е.
ее численность x(t) такова, что
при
.
Предположение H) задает ограничения на
интенсивности процессов рождения и
гибели особей, тогда как условие f(0) = 0
означает, что нет внешних источников
поступления новых особей. Заметим, в
частности, что предположение H) и условие
f(0) = 0 выполняются для линейных процессов
рождения и гибели особей. В нелинейном
случае этому предположению и условию
удовлетворяют f(x) и
,
заданные в виде некоторых многочленов,
рациональных функций либо функций с
непрерывными частными производными.
Функции такого вида широко используются
в моделях биологических процессов, см.,
например, [5,6].
Нетрудно
показать, что матрица Q будет невырожденной
М - матрицей для малых
или
при достаточно малых ненулевых элементах
матрицы B. Если в условиях теоремы 3 D =
Rm+, то экспоненциальная оценка на решение
x(t) справедлива при любом начальном
значении x(0). Если же D = D0, то эта оценка
выполняется для x(0), лежащих в некоторой
окрестности точки x = 0. В обоих случаях
конкретный вид начального распределения
особей по возрасту
не
влияет на экспоненциальную оценку
(вектор
зависит
только от значений x(0)). В рамках принятых
предположений можно сделать следующий
вывод: если в некоторых популяциях особи
являются короткоживущими или интенсивности
процесса рождения особей достаточно
малы, то такие популяции обязательно
вырождаются, причем независимо от
начального распределения особей по
возрасту.
В завершение рассмотрим пример. Одной из классических моделей динамики популяций является так называемая логистическая модель или модель Ферхюльста, которая описывается дифференциальным уравнением
с начальным
условием
,
где
,
см., например, [5, c. 14]. Если учитывать
ограниченность времени жизни особей,
то в соответствии с (1) следует рассмотреть
уравнение
с начальным
условием (2). Здесь в качестве множества
D можно рассматривать произвольный
отрезок [0, d],
.
Пусть
.
Из теоремы 3 следует, что решение x(t)
данного интегро-дифференциального
уравнения таково, что
при
для
любых начальных значений x(0). Можно
показать, что этот результат справедлив
и для
.
Неравенства
задают
на плоскости
область
параметров, при которых популяция
вырождается. Кроме того, можно показать,
что для
решение
при
,
независимо от значений x(0), где x* -
единственный положительный корень
уравнения
С
ростом t решение x(t) приближается к x*
либо монотонно, либо с затухающими
колебаниями. Отметим, что решение
логистической модели таких колебаний
не имеет.
В заключение укажем, что система уравнений (1) с начальным условием (2) является обобщением некоторых из моделей, рассмотренных в работе [7].
Список литературы
Перцев Н.В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях динамики популяций // Фундаментальная и прикладная математика / Ред. А.К. Гуц. Омск, 1994. С.119 - 129.
Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
Berman A., Plemmous R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. New York, Academic Press, 1979.
Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.
Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.
Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.
Cooke K., Yorke A. Some equations Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosci., 1973. V.16. P.75 - 101.
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа