О полноте систем упражнений по математическому анализу

О полноте систем упражнений по математическому анализу

Е. А. Меньшикова

Разработкой требований к системам упражнений по математике занимались различные авторы (П.М.Эрдниев, Ю.М.Колягин, Н.А.Сорокин, В.А.Онищук, В.В.Гузеев, А.Ф.Эсаулов и другие). При этом многие из них уделяют значительное внимание требованию полноты. Данная статья анализирует понятие полноты системы упражнений в контексте преподавания математического анализа. При этом мы обосновываем следующие утверждения.

Требования современной дидактики к системам упражнений по той или иной теме математики могут быть обеспечены только такими системами, которые имеют достаточно большой объем и весьма сложную структуру.

Системы упражнений по теме "Экстремум функции", содержащиеся в традиционно используемых задачниках по математическому анализу, не полны в целом ряде отношений.

§1. Принцип полноты

Одним из стандартных требований, предъявляемых к системам упражнений, является требование полноты. Понятие полноты обсуждалось разными авторами, каждый из которых уделяет особое внимание тому или иному аспекту данного понятия.

Так, П.М.Эрдниев изучает данное понятие в рамках своей концепции укрупнения дидактических единиц [10. С.30-35]. Понятие полноты рассматривается в связи с вопросом о наборе упражнений для достижения целостного и прочного усвоения знаний. Говоря об упражнениях, П.М.Эрдниев вводит понятие циклической полноты. Под циклической полнотой понимается такая организация упражнения, когда каждый элемент данного выражения (задачи) последовательно выступает в качестве искомого. П.М.Эрдниев также указывает на необходимость концентрической организации материала, когда в качестве единицы структуры программы выступает цикл, образующий внутренне целостную тему. Например, целесообразно изучать одновременно линейные уравнения, линейные неравенства и тождества, приводящие к линейным уравнениям. Пройдя данный цикл, учащиеся снова возвращаются к уравнению, но уже квадратному. Понятие полноты возникает и в связи с понятийным окружением соответствующих знаний. Согласно П.М.Эрдниеву содержание любого математического понятия или результат математических действий необходимо обогащать, привлекая понятия из других разделов математики. Например, при изучении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными целесообразно давать геометрическую интерпретацию полученного результата. При данном подходе алгебраический результат и его геометрический образ выступают в качестве фона друг для друга. Такое взаимное влияние результатов связано с понятием фоновой наглядности [8. С.203].

В.В.Гузеев рассматривает вопрос о полноте системы упражнений к блоку уроков по той или иной теме. Требование полноты заключается "... в наличии задач на все изучаемые понятия, факты, способы деятельности, включая мотивационные, подводящие под понятие, на аналогию, следствия из фактов и т.д."[4. С.54]

Г.И.Саранцев в своей книге [7] не ставит вопрос о полноте системы упражнений. Однако, рассматривая процесс формирования понятия или организацию работы с теоремой, он указывает на необходимость упражнений для реализации каждого этапа работы. Каждый этап реализуется в процессе выполнения различных действий, следовательно, нужны упражнения на все эти действия. Например, одним из этапов формирования понятия является усвоение его логической структуры. На данном этапе могут быть использованы упражнения на распознавание, на выведение следствий, упражнения, требующие анализа условий, дополнения их таким образом, чтобы из условий вытекала принадлежность объекта понятию [7. С.73]. Таким образом, система упражнений только для формирования понятия должна иметь большой объем и быть хорошо структурированной. Г.И.Саранцев также подчеркивает необходимость формирования обобщенных умений (переформулировка требований задачи, составление промежуточных задач и т.д.) в процессе изучения конкретных понятий, теорем и их совокупностей, поэтому необходимо предусматривать упражнения, позволяющие организовать работу по формированию данных умений.

Ряд авторов рассматривает вопрос о полноте системы упражнений с позиции разнообразия организационных форм работы. Так, А.П.Иванов и Ю.Ф.Фоминых [6] указывают на необходимость наличия баз дидактических заданий по разделам, по темам, по типам; баз контрольных работ, индивидуальных заданий, тематических и итоговых тестовых работ.

А.В.Ястребов [11] рассматривает не отдельные системы упражнений, а задачник по математике в целом. Задачник является средством организации деятельности всех участников процесса обучения. Задачник по стандартному курсу тем лучше, чем более разнообразные виды деятельности могут быть организованы на его основе. Согласно концепции обучения математике как модели научных исследований задачник является средством моделирования различных аспектов научно-исследовательской работы на практических занятиях [11. C.38]. В силу этого задачник должен выполнять ряд специфических функций: 1) отражать современное состояние науки; 2) демонстрировать индуктивный характер математического творчества; 3) давать возможность моделировать информационный обмен, происходящий в науке. Наряду с выполнением данных функций необходимо учитывать тенденции современного образования. А.В.Ястребов указывает следующие тенденции и вытекающие из них требования к задачнику. Во-первых, это дифференциация и индивидуализация обучения. Выделяются три направления дифференциации обучения: 1) базовая - предоставление каждому студенту личного набора стандартных упражнений для выработки прочного навыка их решения; 2) восстановительная - возможность ликвидации пробелов в знаниях студентов, возникших при изучении предыдущих разделов; 3) пропедевтическая - предоставление сильным студентам блоков заданий, способствующих углубленному изучению каких-либо разделов математики или подводящих к решению задач научно-исследовательского характера. Вторая тенденция - профессиональная направленность обучения. Применительно к задачнику для педагогических вузов это означает выдвижение на первый план идеи преемственности обучения в школе и вузе, идеи связи курсов высшей математики с соответствующими школьными предметами, взаимосвязи абстрактных понятий высшей математики со школьными понятиями [11. С.35]. Третья тенденция - это тенденция самостоятельного изучения отдельных вопросов программы в результате решения большой серии специальным образом подобранных упражнений. Для реализации данной тенденции в задачнике целесообразно предусмотреть возможность изучения ряда разделов математики в "задачах".

Рассмотренные точки зрения показывают многообразие трактовок принципа полноты, сложившихся к настоящему времени в методической литературе. Это связано с разнообразием требований, положенных авторами в основу данного понятия. Однако, несмотря на кажущееся разнообразие, данные требования можно разбить на небольшое число групп:

требования, предъявляемые к математическому содержанию упражнений;

требования, вызванные необходимостью учета психологии обучаемых;

требования, предъявляемые к системам упражнений как способу организации учебного процесса.

Детализируем данную типологию, выделив ряд аспектов понятия полноты, которые представим в виде меню:

Математическая полнота системы упражнений характеризует степень отражения многообразия математических особенностей изучаемого материала в упражнениях. Говоря о математической полноте системы упражнений, необходимо различать усвоение понятий, теорем, алгоритмов и освоение практических умений, связанных с ними.

Усвоение понятия заключается в усвоении содержания понятия, его объема, существенных связей данного понятия с другими понятиями и фактами. Таким образом, система упражнений для изучения математического понятия должна включать упражнения, касающиеся всех существенных свойств данного понятия (т.е. упражнения, раскрывающие его содержание) и всех его типичных представителей (т.е. упражнения, раскрывающие его объем). Рассмотрим, например, понятие экстремума. Данное понятие изучается не изолированно, а в окружении других математических понятий, поэтому нужно привести примеры функций, обладающих различными свойствами в окрестности экстремальных точек. Так, говоря об экстремумах и монотонности, нужно рассмотреть различные сочетания типов монотонности по разные стороны экстремальной точки. На схеме №1 представлены различные функции, имеющие локальный минимум в точке x0=0. (Здесь дельта-функция определяется равенством ; - функция Дирихле.)

Схема №1

Отступим на время от основной линии нашего изложения и покажем, что рассмотрение примеров может выявить существенные свойства изучаемых понятий. Схема №1 показывает, что монотонность функции в открытой односторонней окрестности точки, рассматриваемая сама по себе, без привлечения дополнительных свойств, не связана с понятием экстремума. Аналогичный вывод мы получим, рассмотрев понятия экстремума и непрерывности (схема №2), экстремума и дифференцируемости (схема №3).

Схема №2

Схема №3

Подобное варьирование несущественных признаков способствует более полному выявлению объема понятия и предупреждает возникновение и упрочение представлений о том, что, например, в точке экстремума функция меняет характер монотонности.

Вернемся к основной линии нашего изложения. В упражнениях должны быть представлены различные способы математических действий с данным понятием: определение принадлежности к объему понятия, дополнение условий таким образом, чтобы объект принадлежал понятию, построение объектов, принадлежащих объему понятия, оперирование данным понятием при решении задач и т.д. Так, среди способов работы с понятием экстремума можно указать следующие:

доказать, что данная точка является точкой экстремума функции (используя определение или достаточное условие существования экстремума);

исследовать функцию на экстремум и, в случае наличия экстремума, установить его характер;

построить функцию с экстремумом заданного типа и значения;

построить функцию, обладающую набором экстремумов указанных типов и значений;

применить понятие экстремума к решению задач на оптимизацию, уравнений и т.д.

Разумеется, приведенный список может быть пополнен.

Система упражнений, направленная на изучение теоремы, должна обеспечивать усвоение содержания теоремы, обучать применению теоремы, раскрывать связи изучаемой теоремы с другими математическими фактами. Прочному и осознанному запоминанию формулировки теоремы способствует выполнение упражнений, показывающих необходимость каждого из требований, содержащихся в условии, справедливость/несправедливость теоремы, обратной данной (анализ логической структуры теоремы), упражнений на распознавание ситуаций, удовлетворяющих теореме. Например, рассмотрим анализ теоремы Вейерштрасса о монотонной последовательности. Введем обозначения:

A="последовательность монотонно возрастает";

B="последовательность ограничена сверху";

C="последовательность имеет предел".

Тогда на языке логики формулировка теоремы Вейерштрасса записывается следующим образом:. Попытка отказаться от одного из условий приводит к нарушению истинности утверждения. Действительно, истинность утверждения опровергается контрпримером . Данная последовательность ограничена и не имеет предела при . Ложность утверждения следует из контрпримера . Данная последовательность монотонно возрастает, не ограничена сверху и . Таким образом, каждое из условий существенно для истинности теоремы. Попытка сформулировать обратную теорему показывает, что обратное утверждение неверно, но возможно частичное обращение теоремы (если последовательность сходится, то она ограничена). Упражнения на обращение также способствуют уяснению логических категорий "необходимое условие" и "достаточное условие".

Усвоение теоремы включает в себя и усвоение доказательства, поэтому необходимы упражнения, моделирующие способ доказательства, упражнения, направленные на нахождение различных способов доказательства. В системе упражнений должны быть учтены и различные способы работы на каждом из этапов изучения теоремы, причем среди них должны быть такие, которые позволяют сопоставить решение с использованием теоремы и без нее, упражнения на выведение следствий, упражнения, в результате выполнения которых может быть выдвинута некоторая гипотеза (обобщение результатов измерений или однотипных упражнений, выполнение цепочки взаимосвязанных упражнений и т.д.), упражнения на систематизацию теорем.

При изучении алгоритмов в упражнениях должны быть представлены все возможные окончания алгоритма. Например, система упражнений на освоение метода Гаусса решения систем линейных уравнений должна содержать как совместные, так и несовместные системы, среди совместных - определенные и неопределенные, а среди неопределенных - имеющие многообразия решений разных размерностей. Кроме того, система упражнений должна обеспечивать возможность необходимого повторения каждой из ветвей алгоритма. Также желательно предусмотреть разнообразные формулировки упражнений на освоение алгоритма, упражнения на самостоятельное составление заданий.

Система упражнений, направленная на формирование того или иного метода, должна удовлетворять следующим требованиям. Во-первых, она должна обеспечивать усвоение всех приемов, входящих в качестве составных частей в формируемый метод. Например, использование метода геометрических преобразований предполагает владение следующими умениями [7. С.102-116]: 1) строить образы фигур при указанном преобразовании; 2) видеть соответственные при указанном преобразовании точки на соответственных при том же преобразовании фигурах; 3) выделять элементы, определяющие преобразование; 4) строить соответственные при указанном преобразовании точки на заданных произвольно фигурах; 5) использовать специфические свойства преобразований. Каждое из выделенных умений определяет соответствующий ему вид упражнений: 1) упражнения на построение образов фигур при указанном преобразовании; 2) упражнения на выделение соответственных при преобразовании точек на соответственных при том же преобразовании фигурах; 3) упражнения на выделение элементов, задающих преобразование; 4) упражнения на построение соответственных при преобразовании точек на любых заданных фигурах. Во-вторых, система упражнений должна содержать достаточное число заданий для достижения требуемого уровня владения приемом. В-третьих, система упражнений должна формировать умение выяснять, возможно или нет применение того или иного приема в рассматриваемой ситуации. И, наконец, система упражнений должна содержать задания, требующие распознавания типа задачи и осознанного выбора приема ее решения.

Рассматривая требования, предъявляемые к системам упражнений для усвоения понятий, теорем, алгоритмов, методов, мы говорили об отражении в них умений и навыков, связанных с конкретными математическими объектами. Ряд умений и навыков может и не иметь прямого отношения к математическому содержанию изучаемого материала, но их необходимо учитывать при создании системы упражнений. Здесь идет речь об обобщенных умениях: анализ условия, выведение следствий из условия, сопоставление условия и требований задачи, переформулировка требования задачи и т.д. Формирование указанных умений должно осуществляться систематически при изучении каждой темы, поэтому желательно, чтобы система упражнений по той или иной теме содержала упражнения такой направленности.

Приведенный краткий анализ требований, предъявляемых к математическому содержанию упражнений, показывает, что система упражнений по любой теме характеризуется большим объемом и достаточно сложной структурой.

Вторая группа требований, предъявляемых к системам упражнений, носит психологический характер и обусловлена антропоцентрической направленностью современного образования. Целью современного образования является обеспечение полноценного личностного развития каждого учащегося в максимально возможном диапазоне роста его индивидуальных психологических ресурсов [9. С.290]. Необходимость учета желаний и возможностей учащихся приводит, прежде всего, к профильной дифференциации. Но даже в сильном классе спустя некоторое время произойдет расслоение. Оно возникает в результате различий в исходных интеллектуальных возможностях, в складе ума, в отношении к учебе, возможностях наращивания интеллектуальных сил [Там же]. Таким образом, даже в рамках одного класса учитель должен работать одновременно с различными учащимися, организовывая наиболее благоприятные условия для развития интеллектуальных способностей каждого из них. Данное обстоятельство приводит к необходимости дифференциации на основе принципа индивидуализации обучения.

Для реализации уровневой дифференциации система упражнений должна содержать задания различных уровней сложности, что позволяет не только создать оптимальные условия для развития всех учащихся, но и осуществлять уровневое планирование результатов обучения. Согласно требованию восстановительной дифференциации [11. C.33] при создании системы упражнений необходимо заботиться, чтобы с ее помощью можно было восстановить наибольшее число сопутствующих навыков. Кроме этого, нужно учитывать наличие разных темпераментов, типов мышления, видов памяти. Следовательно, система упражнений должна включать задачи для устного и письменного выполнения, для чтения чертежа, задачи-шутки и т.д. (психологическая комфортность - В.В.Гузеев [4. C.55]).

Вновь мы видим, что учет теперь уже психологических закономерностей требует многофункциональной системы упражнений, большой по объему и хорошо структурированной.

С точки зрения деятельности упражнения являются одним из способов организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся. Система упражнений тем лучше, чем большее число видов работ она позволяет организовывать. Под организационной полнотой системы упражнений будем понимать возможность организации различных форм работы с учащимися при сохранении дифференцированного подхода к ним.

В зависимости от дидактических целей в процессе изучения любого материала можно выделить следующие этапы: повторение, изучение нового материала, закрепление, контроль, коррекция. В системе упражнений должны содержаться упражнения для реализации каждого из указанных этапов. Исходя из конкретного места в учебном процессе, можно выделить несколько разновидностей каждого этапа. Например, контроль может быть текущим и итоговым, тематическим и срезовым. При создании системы упражнений желательно предусмотреть упражнения для проведения контроля указанных типов в виде тестов, контрольных и самостоятельных работ. С учетом требований уровневой дифференциации и индивидуализации контролирующие работы должны быть разноуровневыми и многовариантными (с учетом запасных вариантов). Для закрепления материала необходимо достаточное количество упражнений для тренажа дома и на практическом занятии, аналогичных заданий для освоения алгоритмов, методов решения.

Система упражнений должна давать возможность организовывать различные формы выполнения упражнений: индивидуальная, групповая, коллективная, фронтальная и т.д.

В третий раз, исходя из других предпосылок, мы видим, что указанные требования можно удовлетворить, располагая довольно большой системой упражнений. Количество упражнений еще увеличится, если учесть необходимость обеспечения различных организационных форм уроков и различных методов обучения.

Таким образом, согласно современным требованиям дидактики учитель для эффективной работы должен располагать многофункциональной системой упражнений, большой по объему и хорошо структурированной.

§2. Сравнительный анализ задачников по математическому анализу

Попытаемся выяснить, в какой мере полны традиционно используемые задачники по математическому анализу. Для примера возьмем тему "Экстремум функции".

Понятие экстремума является сложным по двум причинам: во-первых, оно включает в себя два квантора, и, во-вторых, оно не алгоритмично и не позволяет отыскивать точки экстремума. В лучшем случае, оно позволяет доказывать, что предъявленная точка является/не является точкой экстремума. Для освоения этого понятия учащиеся нуждаются в решении многих разнохарактерных упражнений. Рассмотрим коллекции упражнений по данной теме, содержащиеся в задачниках Н.Я.Виленкина [2], И.А.Виноградовой [3], Б.П.Демидовича [5] и Г.Н.Бермана [1]. Подсчитаем в этих задачниках количество упражнений разных типов, оформим полученные данные в виде таблиц и дадим им соответствующую интерпретацию.

Таблица №1

Задачник	Число упражнений
[1]	[2]	[3]	[5]	Σ
Количество упражнений	17	16	10	28	70
Свойства функции	Функции, не дифференцируемые в точке экстремума	4	3	2	5	14
Функции с разрывом в точке экстремума	-	1	-	-	1
Функции, немонотонные в окрестности точки экстремума	-	-	-	2	2

Одним из стандартных и наиболее распространенных упражнений при изучении понятия "экстремум функции" является задание исследовать указанную функцию на наличие экстремума. Таблица №1 показывает, что количество таких заданий невелико: в задачнике [3] содержится 10 упражнений, чуть больше в задачниках [1] и [2] - 17 и 16 соответственно, наибольшее количество упражнений содержится в задачнике [5]. Уже на первом этапе анализа можно сказать, что при использовании традиционных задачников невозможна дифференциация и, тем более, индивидуализация обучения. Действительно, даже 28 упражнений недостаточно для составления индивидуальных заданий для группы в 20-25 человек, тем более, если учесть необходимость охвата данными упражнениями экстремумов разных типов.

Серия примеров из §1 показывает, что непрерывность функции в точке экстремума, дифференцируемость функции в точке экстремума, монотонность функции в односторонней открытой окрестности точки экстремума не являются ни необходимыми, ни достаточными условиями наличия экстремума. Во избежание возникновения и упрочения упрощенных представлений о сути понятия экстремума в упражнениях должны быть представлены функции, обладающие различными сочетаниями свойств в точке экстремума и ее окрестностях. Рассматриваемые задачники не отличаются большим разнообразием в данном отношении. Так, §9 задачника [2] содержит только одну функцию с разрывом в точке экстремума (№314.2) и три функции, не дифференцируемые в точке экстремума (№№ 303.2, 308.2, 309.2), одна из которых является модификацией функции , а две другие - модификациями функции . В задачниках [3] и [1] все предлагаемые функции непрерывны в точках экстремума, а не дифференцируемых среди них две (№107 б,д) и четыре (№№ 1171, 1174, 1177, 1196) соответственно. И вновь недифференцируемые функции являются модификациями функций и . Необходимо отметить, что в выше рассмотренных задачниках [1,2,3] все функции монотонны в открытых односторонних окрестностях экстремальных точек. В задачнике [5] содержится пять функций, не дифференцируемых в точке экстремума (№№ 1421, 1422, 1427, 1428, 1444), и нет ни одной функции с разрывом в точке экстремума. В дополнение к стандартным примерам недифференцируемых функций в №1444 предлагается исследовать функцию . Также в данном задачнике приведены три функции, немонотонные в односторонних открытых окрестностях точки экстремума (№№ 1427, 1428). Ни в одном из задачников не представлены функции, построенные на основе простейших неэлементарных функций , , .

Приведенный анализ выявляет два обстоятельства. Во-первых, функции с подобными "экзотическими" экстремумами весьма немногочисленны, однообразны и рассеяны по разным задачникам. Даже будучи собранными вместе, они не образуют педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне достаточно, если рассматривать задачник как инструмент для выработки технических навыков, сопутствующих лекционному курсу, и отнюдь недостаточно, если требовать от задачника выполнения более сложных функций, как это делается, например, в монографии А.В.Ястребова [11.C.38].

Как было сказано выше, желательно, чтобы при решении упражнений восстанавливались какие-либо утраченные навыки. При отыскании экстремумов дифференцируемых в области определения функций учащийся сталкивается с необходимостью решить уравнение . Возникает естественная возможность повторить методы решения основных типов уравнений, известных учащимся. В школе учащиеся изучают следующие типы уравнений: рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические, трансцендентные, уравнения с параметрами и со знаком модуля.

Таблица №2

Задачник	Число упражнений
[1]	[2]	[3]	[5]
Тип уравнения f' (x)=0	Рациональное	3	4	1	11
Дробно-рациональное	5	3	4	5
Иррациональное	5	1	1	1
Со знаком модуля	-	-	-	-
Тригонометрическое	0|2	2	1	3
Показательное	-	1	-	-
Логарифмическое	-	-	2	2
Трансцендентное	1	2	1	1
С параметром	-	-	-	1

Из таблицы №2 следует, что, в целом, упражнения охватывают всю указанную типологию, за исключением уравнений, содержащих знак модуля. Однако ряд задачников не содержит упражнений на нахождение экстремумов функций, которые приводят к решению уравнений определенного типа. Так, только в задачнике [5] есть только одно упражнение, приводящее к решению уравнения с параметром (№1417). В задачнике [3] не представлены упражнения, приводящие к решению показательных уравнений, в задачнике [2] - упражнения, приводящие к решению логарифмических уравнений. Задачник [1] не содержит упражнений, приводящих к показательным, логарифмическим и тригонометрическим уравнениям (в строке "тригонометрические уравнения" после черты указано количество упражнений, приводящих к решению уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции). Во всех задачниках большая часть упражнений приводит к решению простейших рациональных (линейных и квадратных) и дробно-рациональных уравнений. Остальные типы уравнений представлены одним-двумя экземплярами.

Известно, что усвоение математического материала учащимися достигается в результате решения разнохарактерных упражнений: вычислительных упражнений на применение алгоритмов, упражнений на доказательство, на нахождение заданных математических объектов. Анализ упражнений, содержащихся в задачниках [1,2,3,5], показывает, что умственные действия, выполняемые учащимися в связи с изучением понятия экстремума, однообразны: во всех упражнениях нужно найти экстремум. В задачниках отсутствуют упражнения на принадлежность к категории, на дополнение условий, на построение функций с экстремумами заданных типов и значений, на обобщение.

В результате анализа можно сделать следующий вывод: коллекции упражнений по теме "Экстремум функции", содержащиеся в рассматриваемых задачниках, не полны в целом ряде отношений и, следовательно, нуждаются в пополнении. В дальнейших публикациях нами будет предложен ряд способов конструирования упражнений по данной теме, позволяющих частично устранить указанные недостатки и существенно расширить систему упражнений.

Список литературы

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит., 1963. 443 с.

Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа / Под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение, 1971. Ч.1. 350с.

Виноградова И.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу/ И.А. Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. Под общ.ред. В.А.Садовничего. М.:Изд-во Моск.ун-та, 1988. 416с.

Гузеев В.В. Образовательная технология: от приема до философии. М.: Сентябрь, 1996. 112с.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990. 624с.

Иванов А.П., Фоминых Ю.Ф. Использование тестов для повышения системности знаний учащихся по математике // Содержание и методы обучения математике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методологический аспекты. Тезисы докладов XVIII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и пед.вузов. Брянск, октябрь 1999 г. Брянск: Изд-во Брянского гос.пед.ун-та, 1999. 184с.

Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 240с.

Смирнов Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 1998. 313с.

Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. Томск: Изд-во Том.ун-та. Москва: Изд-во "Барс", 1997. 392с.

Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986. 255с.

Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс- параллели и взаимосвязи. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 1997. 137с.

Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа