Шпоры по математическому анализу

Производные и дифференциалы высших порядков

Опр-ие: производной n-го порядка (n2) функции у=f(х) называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка.

Найдя 1-ю производную можно определить 2-ю производную по тем же формулам, по которым определяли первую.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿy)По определению dⁿy= d(d^n-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)dxⁿ, в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾(х) сущ-ет, поэтому понятно, что n-e. Производную обозначают так

3. Теорема Ролля.

Т

еорема Ролля: Если функция у=f(х) непрерывна на замкнутом промежутке [a,b], дифференцируема хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на концах промежутка ее значения совпадают f(a)=f(b), то внутри промежутка найдется такая точка x=c, что f'(c)=0

Док-во: Если функция сохраняет постоянное значение на промежутке [a,b], f(х)= f(a)=f(b), то f'(c)=0 и в качестве точки с можно взять любую точку интервала (a,b).

Пусть теперь функция f(x) не является постоянной. По теореме Вейштраса существуют точки х_>1> и х_>2> на отрезке [a,b] , в которых достигаются наименьшее m и наибольшее М значения функции. Обе эти точки не могут быть концевыми для отрезка [a,b], т.к. из условия f(a)=f(b) вытекало бы, что m=М, следовательно, функция f(х) сохраняла бы постоянное значение, вопреки предположению.

Допустим, что не совпадает с концом отрезка точка х_>1>, т.е. a< х_>1><b, тогда х_>1> является точкой локальности экстремума. По условия теоремы существует f'(х_>1>). Из этих двух утверждений по теореме Ферма получаем f'(х_>1>)=0, следовательно,

х_>1> можно принять за точку с.

Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).

Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x_>0>_>>локальный максимум, если сущ-ет окрестность (х_>0>-, х_>0>+), для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)f(х_>0>). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f(х)f(х_>0>).

Т
еорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х_>0> локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х_>0>) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х_>0>. Пусть (х_>0>-, х_>0>+) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

З

десь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

П
ри ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х_>0>)А это означает, что правая производная f_>пр>'(х_>0>) и левая производная f_>л>'(х_>0>) равны между собой: f_>пр>'(х_>0>)= f_>л>'(х_>0>)= f'(х_>0>). Таким образом, с одной стороны, f'(х_>0>)≤0, с другой стороны, f'(х_>0>)≥0, что возможно лишь, когда f'(х_>0>)=0.

4. Теорема Коши.

Т
еорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c  (a,b), что выполняется равенство (1)

Д

окозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g'(х) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g'(х)≠0. Образуем вспомогательную функцию:

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c  (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

П

одставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) 0), мы приходим к формуле (1)

5. Теорема Лагранжа.

Теорема Лагранжа: Если функция у=f(х) неперырвна на отрезке [a,b], дифференцируема хотя бы в интервале (a,b) то существует такая точка c  (a,b), что f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

Доказательство: Применим теорему Коши к функциям f(x) и g(x)=x. Для них все условия этой теоремы выполняются, включая требование g'(х)0. Учитывая, что g(b)=b, g(a)=a, g'(x)=1, получим, (2)

Г
де точка с-точка, существующая в силу теоремы Коши в интервале (a,b). Умножив обе части на b-a, придем к формуле (2).

6. Правило Лопиталя.

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в выколотой окрестности точки a.

(1)

3. g(x) и f(x) не равны нулю в этой выколотой окрестности.

Если при этом существует (2)

То существует и (3)

Причем, они равны между собой.(4)

Д
оказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами a и x, где точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Для определенности будем считать, что x<a. Обе функции на отрезке [x,a] неперывны, а в интервале (x,a) дифференцируемы, т.е. удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, Существует такая точка с(x,a), что выполняется равенство(5)

Т
ак как f(a)=g(a)=0. При ха будет са, потому x<c<a.

По условию теоремы существует (2). Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (5) при ха, получим

И
ли, что то же самое (4).

7. Необходимое условие локального экстремума функции одной переменной.

Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х_>0> локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х_>0>) равна нулю.

З

десь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому

Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х_>0> существует f'(х) ( в самой точке х_>0> производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х_>0> слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а после точки х_>0> убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х_>0> имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х_>0> f'(х)>0 при х< х_>0> и f'(х)<0 при х > х_>0> , то в точке х_>0> имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х_>0> f'(х)<0 при х< х_>0> и f'(х)>0 при х > х_>0> , то в точке х_>0> имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х_>0> , в том числе и в самой точке х_>0> , существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х_>0> существует вторая производная f''(х_>0>). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х_>0>)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Д
опустим, что f''(х_>0>)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х_>0>к значениям х > х_>0>. Но f'(х_>0>)=0, поэтому возрастание f'(х_>0>)<0, при х < х_>0> и f'(х_>0>)>0, при х > х_>0>. (для значений х из достаточно малой окрестности х_>0>). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х_>0>. Аналогичное рассуждение при f''(х_>0>)<0 приводит к существованию максимума в точке х_>0>. Вывод: если f'(х_>0>)=0, а f''(х_>0>)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х_>0>. Если f'(х_>0>)=0, а f''(х_>0>)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х_>0>.

11. Формула Тейлора и Маклорена.

Э
той формулой можно воспользоваться, когда в некоторой окрестности точки х_>0> существует непрерывная производная f⁽ⁿ⁺¹⁾(x), и значения х принадлежат этой окрестности. Через R_>n> обозначен так называемый остаточный член. Его можно записывать в разных формах. Мы ограничимся формулой Лагранжа:

Здесь с - какое-то число, о котором известно только то, что оно находится между х_>0> и х.

При х_>0>=0 формулу Тейлора называют формулой Маклорена, общий вид которой:

8. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Рассмотрим функцию у=f(х), непрерывную на отрезке [a,b]. По теореме Вейерштрасса эта функция принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться либо в точках локального экстремума (x_>2>, x_>3>, x_>4>, x_>5>,), либо на концах промежутка. Находим точки, подозрительные на экстремум (х_>1>, x_>2>, x_>3>, x_>4>, x_>5>,). Вычисляем значения функции в этих точках и на концах промежутка [a,b]. Из полученных чисел выбираем самое большое и самое маленькое. Это не предусматривает применения достаточных условий экстремума в точке х_>1>, где локального экстремума не существует, т.е. проделана лишняя работа. Однако, как правило, экономнее вычислять значения функции во всех точках, подозрительных на экстремум, вместо того, что бы отбирать из них с помощью достаточных условий лишь те точки, в которых локальный экстремум действительно есть. Иногда описанную задачу называю глобальный экстремум.

9. Нахождение асимптот графиков функции.

Говорят, что точка движется по кривой в бесконечность, если расстояние этой точки до начала координат неограниченно возрастает.

Определение: Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки, движущейся по кривой в бесконечность, до этой прямой стремится к нулю.

Нахождение вертикальных ас:

Ищутся конечные значения х=а, при которых

С
уществование такого значения часто связано с обращением в нуль знаменателя дроби.

Нахождение наклонных асимптот.

Пусть y = kx+b - асимптота кривой y=f(x) при x→+∞ (как на рисунке). Угол φ сохраняет постоянное значение, α=φ. Из ∆ KLM KM=MLּ cos α. Поэтому KM и ML стремятся к нулю одновременно. ML=f(x)-(kx+b), следовательно (1):

П
реобразуем это равенство, вынеся х за скобки:

П
ри x→∞ такое равенство возможно только тогда, когда:

З
десь

Поэтому

Следовательно (получаем (2)),

Вычислив k, находим b. Из равенства (1)(получаем (3)

Существование пределов (2) и (3) не только необходимо, но и достаточно, чтобы прямая y=kx+b была асимтотой кривой y=f(x). В частности, при k=0 асимптота будет горизонтальной. Кривая не имеет наклонной асимптоты, если не существует хотя бы один из пределов (2) и (3).

13. Первообразная. Теорема о двух первообразных одной функции.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если на этом интервале существует производная F'(x) и F'(x)=f(x).

Теорема: Если F_>1>(x) и F_>2>(x) - первообразные для одной и той же функции f(x), то их разность есть величина постоянная.

Докозательство: По условию F'_>1>(x)=F'_>2>(x)=f(x) обозначим: Ф(x)= F_>1>(x) - F_>2>(x). Очевидно, Ф'(x) равняется нулю во всем промежутке (a,b), где определены первообразные F_>1>(x) и F_>2>(x). Для любых х_>1>, x_>2>, (a,b) по формуле Лагранжа Ф(х_>1>)-Ф(х_>2>)=Ф'(c)(b-a). но Ф'(c)=0, т.к. с (a,b), следовательно Ф(х_>1>)=Ф(х_>2>). Это означает, что Ф(х) сохраняет постоянное значение на промежутке (a,b), т.е. F_>1>(x) - F_>2>(x)=С.

Следствие: Если для функции f(x) первообразной на интервале (a,b) является функция F(x), то ее любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C, где С - произвольная постоянная.

14. Неопределенный интеграл. Табличные интегралы.

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции. Он изображается так: ∫ f(x)dx, где ∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.

Из определения вытекает, что

И следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx. С другой стороны, ∫F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C.

Если F(x) - какая-нибудь первообразная для f(x), то учитывая приведенное выше следствие, можно написать: ∫ f(x) dx = F(x)+C, где С- произвольная постоянная. Путем дифференцирования обеих частей равенства легко доказать справедливость следующих свойств:

1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

10. Схема исследования функции с помощью дифференциального исчисления и построения графика.

Исследование функции y=f(x) проводится по плану:

1. Находится ООФ.

2. Вычисляются нули функции y=f(x), т.е. значения х_>1>, x_>2>…, при которых f(x_>1>)=0, f(x_>2>)=0…Между нулями функция, как правило сохраняет знак, так, непрерывная функция не может сменить знак не обратившись в ноль. Устанавливают где f(x)>0 и f(x)<0.

3. вычисляются производная f'(x) и находятся ее нули и знак в промежутках между нулями. В том промежутке, где f'(x)>0, функция возрастает, где f'(x)<0 - убывают. Попутно выявляются локальные экстремумы функции.

4. Вычисляется вторая производная f''(x) и с ее помощью находятся промежутки выпуклости (f''(x)<0), вогнутости (f''(x)>0) и точка перегиба (f''(x)=0).

5. Определяются вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Рекомендуется вычислять значения самой функции в тех точках, где f'(x) и f''(x) обращаются в нуль и наносить соответствующие точки на график. Затем нанесеные точки плавно соединяется прямой с учетом всех результатов исследования. Если функция обладает свойством четности или нечетности, то можно использовать это обстоятельство при исследовании (или после исследования для частичной проверки правильности построения графика).

21. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξ(a,b), что справедливо равенство:

Т
еорема верна и при b<a.

Доказательство: Проведем его для случая a<b. Пусть m и M - наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a,b] (для непревной функции они существуют по теореме Вейерштраса). По следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству mf(x)M. То выполняются неравенства: (на этом следствие из теоремы закончилось, но к нему относится ниже написанное неравенство))

м
ожно записать

П

оделив это неравенство на полжительное число b-a, получим:

Н
епрерывная функция f(x) принимает всякое значение промежуточное между наименьшим m и наибольшим M значениями. Поэтому существует такое число (a<<b), что

Ч
тд.

22. Классы интегрируемых функций. Функция Дирихле.

интегрируемость не является свойством, присущим всем функциям. В этом убеждает следующий пример. Рассмотрим функцию f(x), называемой функцией Дирихле:

Сделаем произвольное разбиение R отрезка [a,b]. На любом частичном отрезке [x_>i>, x_>i+1>] найдетсяи как рациональная точка _>i>. Так, и иррациональная точка _>i>.Составим две интегральные суммы:_>R> и

П
усть

П

ри _>R> →0 предел интегральных сумм вида :_>R> равен b-a, в то время, как для

р
авен нулю. Итак, для интегральных сумм разного вида пределы получаются различные, зависящие от выбора точек на отрезках [x_>i>, x_>i+1>]. Это означает, что функция Дирихле не интегрируемая.

З класса функции:

Функции непрерывные на отрезке [a,b].

Функции имеющие не более конечного числа разрывов 1-го рода на отрезке [a,b]. (их называют кусочно-непрерывными)

Функции монотонные на отрезке [a,b] (у функции этого класса число разрывов может быть бесконечным).

23. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности.

Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция

н
епрерывна на этом отрезке.

Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆х[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:

a x_>0> x х+∆х b

П
олучим:

По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем

…
(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству mf(x)M. То выполняются неравенства:

(на этом следствие из теоремы закончилось)

получаем:

Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.

24. Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла

По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)

Доказательство: Дадим аргументу х приращение

∆х так, чтобы х+∆х(a,b). Для приращения ∆F функции F(x) воспользуемся формулой

и
применим теорему о среднем значении ( Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξ (a,b), что справедливо равенство:

Теорема верна и при b<a.) получим:

Число  заключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х.

Перейдем к вычислению производной F'(x).

Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x) в любой точке х промежутка (a,b).

Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b), имеет первообразную на этом промежутке.

Д
ействительно, первообразной для такой функции является функция

Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать:

25. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):

( в качестве числа х_>0> взято число а).

В
этом тождестве положим х=а и получим ,

Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:

26. Интегрирование по частям в определнном интеграле.

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.

В
левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:

П
олучим:

Получим формулу интегрирования по частям:

27. Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

Д
оказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница

Получаем

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

30. Интегралы с бесконечными пределами.

Определение определенного интеграла по конечному промежутку [a,b] неприменимо к случаю бесконечного промежутка, например [a, +∞). Дело в том, что нельзя промежуток [a, +∞) разделить на конечное число частичных промежутков [x_>i>, x_>i+1>] конечной длины, чледовательно, нельзя составить сумму интегральную сумму. Понятие интеграла с бесконечным пределом вводится на основе понятий опредленного интеграла и понятия предела.

Определение: Предположим, что функция y=f(x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема в любом промежутке [a,b] (b>a). Если существует конечный предел

Т

о это предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке от а до +∞ и обозначают

Аналогично определяется интеграл от -∞ до b:

И
нтеграл от -∞ до +∞ можно определить так:

Г
де с - произвольное число.

Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.

Теорема: Пусть функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке (x_>0>, у_>0>). Если в этой точке существуют частные производные по х и по у, то они равны нулю.

Докаательство: Оно может быть сведено к применению известной теоремы для функции одной переменной. В наших условиях функция f(x,y_>0>) имеет экстремум в точке x_>0>, т.к. неравенство f(х_>0>+∆х, y_>0>+∆у)≤f(х_>0>, y_>0>), иначе ∆f≤0

Или ∆f≥0 должно, в частности, выполнятся и при ∆у=0. Поэтому, d/dx∙f(x,y_>0>)=0 при х=х_>0>, а это то же самое, что f'_>x>(х_>0>, y_>0>)=0. Аналогично устанавливается, что f'_>у>(х_>0>, y_>0>)=0. Экстремум возможен и тогда, когда одна или обе частные производные не существуют, что тоже является необходимым условием экстремума. Т.о., необходимые условия экстремума формулируются так: для каждой из частных производных выполняется одно из двух - лиюл она существует и равна нулю, либо она не существует.

31. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Определение: Число А называется пределом по совакупности переменных функции f(x,y) при стремлении х к х_>0> и у к у_>0>, если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек (x,y), координаты которых удовлетворяют неравенствам │ х - х_>0> │< δ, │ y - y_>0> │< δ ( за исключением, быть может, точки (х_>0>, y_>0>)), выполняется неравенство │f(x,y)-A│ < ε. Применяется обозначение

З
аметим, что точка (х_>0>, y_>0>) может не принадлежать ООФ f(x,y).

Пусть функция f(x,y) определена в области D.

Определение. Если выполняются три условия:

(х_>0>, y_>0>) D;

существует

3

.

то функция называется непрерывной в точке (х_>0>, y_>0>).

Определение: Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функцию называют разрывной в точке (х_>0>, y_>0>), а саму точку называют точкой разрыва.

Определение: Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой плоскости.

Определение: Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке (х_>0>, y_>0>), если при стремлении к нулю приращений ∆х, ∆у, независимых переменных стремится к нулю полное приращение ∆z функции f(x,y) (здесь предполагается выполнение условий 1 и 2.) (∆z - полное приращение).

42. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа для функции двух переменных.

В этом методе не требуется выражать явно y через х , однако используется то обстоятельство, что в случае предполагаемой замены y на g(x) дело сводится к безусловному экстремуму функции одной переменной.

Итак, находим полную прозводную от z по х, считая y функцией х:

В
точках экстремума dz: dx=0, следовательно (1),

П
рименим снова правило дифференцирования сложной функции к уравнению φ(x,y)=0. Будем предполагать при этом, что у заменен той самой функцией х, которая неявно задается уравнением. Такая замена превращает уравнение φ(x,y)=0 в тождество. Получим (2):

У

множим (2) на неопределенный множитель λ и сложим с (1):

М
ы будем предполагать, что в точке экстремума у. Тогда существует число , при котором fy + (у) = 0 в этой точке. Из равенства (3) следует, что в этой точке fх + (х) = 0

Мы приходим к необходимым условиям экстремума (4):

В
этой системе из трех уранений три неизвестные величины x, y и . Из системы находятся одна или несколько точек (х,у). Что касается , то этот множитель играет вспомогательную роль и дальше не требуется. Найденные точки (х,у) проверяют на наличие в них экстремума и его вид (максимум или минимум). В случае необходимости вычисляются значения f(x,y) на концах промежутка, ограничивающего изменение х при описании кривой АВ. Часто из существа задачи легко решается вопрос, с каким из значений - наибольшим или наименьшим - мы имеем дело. Проведенные рассуждения обосновывают метод Лагранжа, который состоит в следующем.

Составляется вспомогательная функция

F (x,y,) = f(x,y) + (x,y) (5), называемая функцией Лагранжа. Для нее выписываются как для функции трех переменных необходимые условия абсолютного экстремума:

При этом получается в точности система (4).

Коэффициент  называют множителем Лагранжа.

Метод Лагранжа допускает обобщение на функции большего числа переменных. Так, в задаче на условный экстремум функции u=f(x,y,z) с ограничениями _>1>(x,y,z)=0 и _>2>(x,y,z)=0 функция Лагранжа имеет вид:

F(x,y,z, _>1>, _>2>) = f(x,y,z) + _>1>_>1>(x,y,z)+ _>2>_>2>(x,y,z).

Нулю приравниваются все произвоные по x,y,z, _>1>, _>2>.

41. Достаточные условия абсолютного экстермума функции двух переменных.

Обратимся к формуле Тейлора (вопр. 11). Нас интересует случай, когда необходимые условия экстремума выполняются, т.к. в противном случае вопрос решается однозначно - экстремума нет. Поэтому будем считать:

И, перенеся f(х_>0,>y_>0>) в левую часть, получим слева

К
роме того, обозначим

П
риводим к формуле:

Положим u = AΔx² + 2B∆xΔy +CΔy²При ρ→0 квадратичная форма u убывает со скоростью р², т.е. быстрее. Поэтому в достаточно малой окрестности точки (х_>0>,, y_>0>) ,будет выполнятся неравенство 1/2│u│>│R│(если u не обратится в нуль). Это означает, что знак приращения совпадает со знаком u. Разумеется, в точках, где u=0, знаки ∆f и R совпадают. Имеются 3 возможности:

Величина u сохраняет знак, обращаясь в нуль только при ∆x=∆y=0. Такая квадратичная форма называется знакоопределенной. В этом случае сохраняет знак и приращение ∆f . При ∆f≤0 в точке (х_>0>,, y_>0>) имеется максимум, а при ∆f≥0 - минимум.

В любой оокрестности точки (х_>0>,, y_>0>) величина u принимает как положительные, так и отрицательные значения. Такая квадратичная форма называется знакопеременной. В этом случае меняет знак и приращение ∆f . Экстремума нет.

3. Величина u сохраняет знак, но обращается в нуль не только в начале координат. Такая квадратичная форма называется знакопостоянной. В этом случае никакого вывода сделать нельзя без исследования остаточного члена. Если в точках названной прямой остаточный член меняет знак, то экстремума нет, если сохраняет тот же знак, что и величина u - экстремум есть, если сохраняет знак противоположный u - экстремума нет.

Дело свелось теперь к установлению условий, при которых квадратичная форма u является знакоопределенной, знакопеременной или знакопостоянной. Если А = С = 0, В  0, то u = В∆х∆у, и квадратичная форма является знакопеременной. При совпадении знаков ∆х и ∆у она имеет знак В, при несовпалении - знак противоположный знаку В. В этом случае экстремума нет. Если к тому же В = 0, вопрос об экстремуме решается путем исследования остаточного члена R в каждом конкретном случае.

П
усть теперь хотя бы одна из величин А, С отлична от нуля. Положим для определенности, что А ≠ 0. Преобразуем форму u: вынесем за скобки А, прибавим и вычтем (ВА ∆у)². Первые три слагаемых представляют полный квадрат, два последних приводим к общему знаменателю:

1. Если В² - АС <0, то форма знакоопределенная. Действительно,

Поэтому выражение в квадратных скобках неотрицательно и может обратится в нуль только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Второе обращается в 0 лишь при ∆у=0. В этом случае первое слагаемое будет равно 0 только при ∆х=0. Очевидно, что знак знакоопределенной формы u совпадает со знаком числа А.

2. Если В² - АС >0, то форма знакопеременная. Действительно, выражение в квадратных скобках останется ∆x² и если ∆х≠0., то ∆x² > 0; при ∆у≠0 можно взять ∆х = -В/А∆у и выражение в квадратных скобках будет отрицательным.

3. Если В² - АС = 0, то форма знакопостоянная. В скобках останется выражение (∆х+В/А∆у)², которое неотрицательно. Но в нуль оно обращается не только при ∆х=∆у=0, а и тогда, когда ∆х = -В/А∆у, при любом ∆у.

33. Частные производные.

Наряду с полным приращением функции вводится понятие частных приращений по х ∆_>х>z и по у ∆_>у>z. Они определяются формулами, где приращение дается только одной из переменных.

Определение: Частной производной функции f(x,y) по х называется предел отношения частного приращения ∆_>х>z к приращению ∆х, когда х→0 (если этот предел существует)(1)

А
налогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по у. Для частной производной функции нескольких переменных, производную функции одной переменной называют переменной иногда обыкновенной.

Формуле (1) можно дать такое толкование: у функции f(x,y) фиксируется значение переменной у и получается, что f(x,y) становится функцией одной переменной х, а частная производная - обыкновенной производной этой функции. Так же истолковывается формула для f'_>y>(x,y) с той разницей, что f(x,y) рассматривается как функция одной переменной у. Мы приходим к следующему правилу.

Для вычисления частной производной по х следует переменную у (или другие переменные, если их несколько) считать постоянной и вычислять производную по х как обыкновенную.

Аналогично формулируется правило вычисления частной производной по у.

32. Свойства непрерывных функций двух переменных.

1. Функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области D а) ограничена в области

б) достигает в этой области наибольшего М и наименьшего m значений.

2. Сумма, произведение и частное непрерывных функций есть снова непрерывная функция, если в последнем случае делитель не принимает нулевого значения.

19. Определенный интеграл. Определение. Геометрический смысл.

О

пределение: Пусть дана функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a,b] (a<b). Сделаем разбиение R этого отрезка точками х_>i>: а<х_>0>< x_>1>< x_>2><…< x_>n>,=b. Обозначим

Н
а каждом промежутке [x_>i>, x_>i+1>] выберем произвольную точку ξ_>i>. Величину

Называют интегральной суммой.

Если существует предел интегральной суммы _>R> при _>>λ_>R> →0. Независящий от выбора разбиений R и выбора точек ξ_>i>, то он называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается (1)

Д
обавление к определению:

1. При a>b полагают

2
. принимают

В
интеграле (1) числа a и b называются соответственно нижними и верхними пределами интегрирования. Если функция f(x) ≥0 на отрезке [a,b], то геометрический смысл определенного интеграла - это площадь криволинейной трапеции. Пусть на промежутке [a,b] задана ограниченная функция y=f(x), будем считать ее положительной.(рис 1)

Фигура aABb, ограниченная графиком функции y=f(x), отрезком [a,b] оси х и перпендикулярами аА и bB к оси х, называется криволинейной трапецией. Измерить ее площадь непосредственно путем установления того, сколько раз в этой фигуре укладывается единица измерения площади (квадрат со стороной, равной единице), и доли этой единицы невозможно из-за криволинейной верхней границы.

Разобьем отрезок [a,b] на части (не обязательно равные) точками х_>i> (i = 0,n): а=х_>0>< x_>1>< x_>2><…< x_>n>=b. Это разбиение назовем R. Длину наибольшего отрезка назовем

Н
а каждом из частичных отрезков [x_>i>, x_>i+1>] выберем произвольную точку

И
построим прямоугольник с высотой f(ξ_>i>). В результате получится ступенчатая фигура, ограниченная сверху ломаной линией L. Ее площадь назовем _>R>. Если теперь увеличивать число делений разбиения R так, что бы λ_>R> →0, то ломаная L будет все теснее прижиматься к кривой АВ. Это дает возможность ввести следующее определние.

Определение: Площадью криволинейной трапеции aAАb называется предел, к которому стремится площадь _>R> ступенчатой фигуры когда число делений разбиения R не ограничено возрастает и λ_>R> →0 (Если этот предел существует и не зависит от способа получения разбиения R и выбора точек ξ_>i>).

28. Вычисление площади фигуры и длины дуги с помощью определенного интеграла.

f
(x)≥0

Рассмотрим два случая.

1. площадь S заштрихованной фигуры на рис 1, а, где функция y=f(x) на отдельных промежутках принимает отрицательное значение, выражается формулой:

2
. Площадь S фигуры ограничена графиками функции y=f(x) и y=g(x), а так же прямыми АВ и CD (рис 2) вычисляется по формуле:

О
пределение: Пусть дана дуга кривой АВ. Нанесем на нее произвольные точки M_>i> (i=0,n) и соединим их хордами (рис 3). Периметр полученной ломаной обозначим P_>n>. Будем увеличивать число точек M_>i> на дуге. Длиной дуги кривой АВ называется предел периметра P_>n>, когда длина наибольшей хорды стремится к нулю (если этот предел существует и не зависит от выбора вершин ломаной). Если дуга задана уравнением y=f(x) на промежутке [a,b] (ищем длину дуги l). Будем считать функцию f(x) непрерывно дифференцируемой. Положенеи произвольных точек M_>i> определим выбрав абциссы этих точек, т.е. сделав разбиение R отрезка [a,b] точками а=х_>0>< x_>1>< x_>2><…< x_>n>=b. Длину хорды, соединяющей точки M_>i> и M_>i+1> обозначим ∆l_>i>.Ее проекциями на оси координат будут ∆х_>i> ∆у_>i>. Очевидно,

П
окажем, как нахождение предела периметра P_>n> сводится к вычислению интеграла. Представим ∆l_>i> в нужном виде:

По формуле конечных приращений Лагранжа

П
оставив это выражение ∆у_>i> в формулу ∆l_>i>, полуим

Т
аким образом (1),

Е
сли составить интегральную сумму для функции

с
полученными выше точками ξ_>i>, то придем к выражению (1), т.е.

к
роме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆l_>i> влечет за собой стремление к нулю

п
оэтому

(если этот предел существует).

Н
о по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что

П
одставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги:

29. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема V этого тела сведем к вычислению интеграла.

Делаем разбиение R отрезка [a,b] точками а=х_>0>< x_>1>< x_>2><…< x_>n>=b. На отрезке [x_>i>, x_>i+1>] строим прямоугольник высотой f(x_>i>). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(x_>i>) и высотой ∆ x_>i>. Его объем равен π[f(x_>i>)]² ∆ x_>i>. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x_>0>,x_>1>], [x_>1>,x_>2>],…[x_>n-1>,x_>n>]. Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем V_>n>.

Определение: Если существует предел V_>n>, когда

Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.

Очевидно,

Д
анная сумма является интегральной суммой для функции,

К
оторая непреывна по условию. Следовательно, интеграл сществует. Формула для объема тела вращения имеет вид:

П
лощадь поверхности вращения.

Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то

15. Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

16. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенной интеграле.

Замена переменной.

Будем полагать функции f(u) и φ'(x) непрерывными. Замена переменной производится по формуле:

Ф
ормула проверяется дифференциалом обеих частей равенства по x (правая часть дифференцируется как сложная функция).

Интегрирование по частям:

Пусть u и v являются функциями x. Умножив обе части равенства (uv)'=u'v+uv' на dx, получим d(uv)=vdu+udv. Интегрируя приходим к формуле интегрирования по частям

1 Матрицы и действия с ними

Матрицей порядка mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Квадратная матрица порядка m - m=n. Составляющие матрицу числа называют ее элементами.

Сложение матриц.

При сложения, должны быть равны порядки матриц.

а_>11> а_>12>в_>11>в_{>12
_}>

а_>21> а_>22> в_>21>в_>22>^_

а_>11>+_>>в_>11>а_>12>+_>>в_>12>

а_>21>+в_>21>а_>12>+ в_>12>

Умножение матриц на число.

а_>11> а_>12> ва_>11> ва_>12>

в а_>21> а_>22> = ва_>21> ва_>22>

Умножение матриц друг на друга.

а_>11> а_>12>в_>11>в_{>12
_}>

а_>21>а_>22>в_>21>в_>22>^_

а_>11>в_>11>+_>>а_>12>в_>21>а_>11>в_>12>+а_>12>в_>22>

а_>21>в_>11>+_>>а_>22>в_>21>а_>21>в_>12>+а_>22>в_>22>

2 Правила вычисления определителей второго и третьего порядков.

Определитель (детерминал) матрицы - число, которое ставится в соответствие этой квадратной матрице.

Порядок определителя - порядок соответствующей матрицы.

Определение определителя 2-го порядка.

а_>11> а_{>12 _}>

а_>21> а_>22>^__>>а_>11> а_>22>-_>>а_>21> а_>12>

а_>11> а_>22> - главная диагональ

а_>21> а_>12>- побочная диагональ

Определение определителя 3-го порядка.

а_>11> а_>12>а_>13>

а_>21> а_>22> а_{>23 =}>а_>11> а_>22>а_>33> + а_>21> а_>32>а_>13>+

а_>31>а_>32>а_>33> + а_>12> а_>23>а_>31> - а_>13> а_>22>а_>31> -

- а_>23> а_>32>а_>11> - _>>а_>21> а_>12>а_>33>

3 Минором элемента а_>ij>определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, который получается путем вычеркивания в определителе третьего порядка i- той строки и j-ого столбца, т.е. строки и столбца, в котором находится данные элемент а_>ij>

а_>ij> занимает четное место, если сумма i+j является четной и наоборот нечетное место, если сумма является нечетным числом.

Алгебраическим дополнением (А_>ij>) элемента а_>ij>называется минор этого элемента взятый с "+" если а_>ij>- четное и с "-" , если а_>ij>- нечетное.

а_>11> а_>12>а_>13>

а_>21> а_>22> а_{>23 =}>а_>11>А_>11>+а_>12>А_>12>+а_>13>А_>13>

а_>31>а_>32>а_>33>

4. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

а_>1>х + в_>1>у =с_>1>  в_>2>-для искл._>>

а_>2>х + в_>2>у =с_>2>  (-в_>1>) неизв. у

или

 а_>2>-для искл.

 (-а_>1>) неизв. х.

II сложим полученные уравнения, получим

х( а_>1>в_>2> - а_>2>в_>1>) = с_>1>в_>2> - с_>2>в_>1>

или (при исключении х)

у( а_>1>в_>2> - а_>2>в_>1>) = а_>1>с_>2> - а_>2>с_>1>

III По формуле определения определителя 2-го порядка, можно заменить коэфициенты уравнения.

а_>1> в_>1>

Д = - осн. опред-ль системы

_>>а_>2> в_>2>

с_>1> в_>1>

Д_>х> =

_>>с_>2> в_>2>

_>>доп. опред-ли_>>

а_>1> с_>1>

Д_>у> =

_>>а_>2> с_>2>

х= Д_>х>Д у= Д_>у>Д

Основной определитель составляется из коэфициентов при неизвестных а Д_>х> и _>>Д_>у> получаются путем замены свободными членами соответственно первого и второго столбцов основного определителя.

5.Геометрическое истолкование линейной системы двух уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

у системы 1 решение.

а_>1>а_>2>= в_>1>в_>2> = k

c_>1>с_>2>  k

k (а_>1>х + в_>1>у) = k c_>1>

_>>пусть х_>0>у_>0>- какое-нибудь решение 2-го уравнения, подставляем:

_>>

k(а_>1>х_>0>+в_>1>у_>0>)=kc_>1>с_>2>

решение второго уравнеиня не удовлетворяет первое.

Противоречивая система - не имеет решений.

______________________________________________________________________

а_>1>/а_>2>= в_>1>/в_>2> = c_>1>/с_>2>= k

второе уравнение равно первому умноженному на какое-либо число или второе уравнение является следствием первого.

Неопределенной системой называется система, имеющая бесконечное количество значений.

6. Геометрическое истолкование линейной системы трех уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

В пространстве Oxyz каждому из уравнений соответствует плоскость. Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих плоскостей.

Основной определитель Д0. По правилу Крамера находится единственное решение системы. Геометрически - это координаты единственной точки пересечения всех трех плоскостей.

Д=0 Много возможностей.

А) все три плоскости совпадают.

х+2у+z=2 2-ое и 3-е мы полу-

3х+6у+3z =6 чаем из 1-го, умно-

2х+4у+2z=4 жая их на 3 и 2 соответственно.Система неопределена. Отбрасываем 2 и 3 ур. и из оставшегося вычисляем z=2-х-2у. Давая различные значения х и у, вычислим соответствующее значение z и получим решение системы Таких решений бесконечное множество.

Б) Две плоскости совпадают, а 3-я их пересевает по одной прямой (т.е. не сливается с ними)можно отбросить одно уравнение, оставив уравнения любых двух несливающихся плоскостей. Эта система явл. неопред: значение одной из неизвестных задается произвольно, две другие вычисляются из упомянутой системы. Аналогичный результат получается, когда 3 плоскоти пересекаются по одной прямой, попарно не совпадая.

Если 1 и 3 сложить, то получится 2. И наоборот, если из 3-1, то получим 2.

В) 2 или 3 плоскости ||

При этом когда 2 || , третья либо их пересекает, либо совпадает с одной из них система противоречива.

Г) плоскости попарно пересекаются. Линии пересечения || между собой (их 3) система противоречива.

*** Если в однородной системе все миноры 2-го порядка =0, решение зависит от 2х параметров., или хотябы один отличен от нуля, то решение зависит от одного пораметра.

7. Сложение векторов, умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось. Коллиниарность и комплиментарность векторов.

Вектором называется величина, которая характеризуется не только численным значением, но и направлением в пространстве. Модулем |ā| или длиной вектора а наз его числ. зн-ие. Если |ā|=0, вектор называют нулевым..

Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве даны вектор ĀВ и ось Ох. Опустим  на ось Ох и з точек А и В, т.е. спроектируем эти точки на ось Ох. Обозначим проекции через А' и В' Вектор A'B' называют компонентой вектора АВ по оси Ох. Проекцией вектора АВ на ось Ох называется длинна компоненты, взятая со знаком "+", если направление оси и компоненты совпадают, и со знаком "-" если направления противоположны.

Сложение и вычитание векторов

Сумма векторов ā и в определяется с помощью параллелограмма. Они выпускаются из одной точки и достраивается параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма есть сумма векторов ā и в.

Сумма векторов так же определяется по правилу многоугольника - к концу первого вектора подставляют начало другого и соединяется начало первого и конец второго.

Разность векторов

с=а-в в+с=а а с

Умножение вектора на скаляр.

λ-число (скаляр)

ā - вектор λā=с

Произведением λā называется вектор, длинна которого равна |ā|·|λ|, а направление такое же, как и у вектора ā если λ>0, и противоположное, если λ<0.

Векторы называются коллиниарными, если они лежат на совпадающих прямых.

Если векторы ā и в коллиниарны (ā0; в0), то они пропорциональны, т.е. существует такое положительное или отрицательное число , что а=в.

Три вектора называются компланарными, если их можно уложить на одну плоскость.

9. Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением векторов а и в называют произведение их длин и косинуса угла между ними.

(а,b)=|a||b|cos(a,b)

Свойства:

Коммуникативность. (а,в)=(в,а)

Дистрибутивность. (а+в)(с)=(ас)+(вс)

(а,в)=(а,в) - скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

Скалярное произведение (а,в) равно 0 тогда и только тогда, когда они  или один из них=0

Док-во: cos 90 = 0

8. Длина и направляющие косинусы вектора, заданного координатами. Орты. Радиус-вектор точки.

Векторы единичной длины, направленные по осям координат называют ортами и обозначают i (по оси Ох) j (по оси Оу). В 3х-мерном пространстве берется еще k (по оси z) Проекции а_>х> и а_>у> вектора а на оси х и у называют координатами вектора а. Углы вектора а с осями координат -  и , тогда а_>х> =|a|cos - направляющие

а_>у> =|a|cos косинусы

, - задают направление.

Величины cos и cos называются направляющимикосинусами вектора а. Зная координаты а_>х> и а_>у> , можно вычислить модуль и направляющие косинусы: cos= а_>х>|a|, cos а_>у>|a|

Очевидно, что |a| = а_>х>² +а_>у>²

Вектор ОМ, выходящий из (0;0) и оканчивающийся в т. М(х,у) называют радиус-вектором т.М. Координаты х и у т.М. так же являются координатами вектора r=ОМ. Поэтому r=хi+уj. Принято так же писать r ={х,у}

Длина вектора в 3х-мерном пространстве измеряется по формуле

|a|=  а_>х>² +а_>у>² +а_>z>²

Векторное произведение и его свойства.

Результатом векторного умножения вектров является вектор. Векторное произведение векторов а и в обозначается так: а,в или ав.

Векторным произведением векторов а и в называется вектор с= а,в, для кот.:

длина численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |c|= |a||b|sin(ab)

прямая, несущая вектор,  каждому из перемножаемых векторов,т.е. плоскости указанного параллелограмма

направление на этой прямой выбирается так, что бы при взгляде с конца вектора с поворот первого множителя а на наименьший угол до совмещения со вторым множителем в производился бы против часовой стрелки ( такая тройка векторов а,в,с, называется правой)

Если а и в коллиниарны, то с=0 и вопрос о направлении с отпалдает.

Свойства:

ва = - ав, т.е. векторное умножение некоммуникативно

ав=а,в=а,в

(а+в)с=ас+св, т.е. векторное умножение дистрибутивно

i j k а_>у>_>>а_>z>а_>х>а_>z>а_>х>а_>у>

ав= а_>х>_>>а_>у>_>>а_>z> =i в_>у>_>>в_>z>- j в_>х>_>>в_>z> +k в_>х>_>>в_>у>

в_>х>_>>в_>у>_>>в_>z>

11. Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл.

Под смешанным произведением (векторно-скалярным) векторов а,в,с, понимают число авс=а,вс

Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть S=а,в

|S|- площадь основания паралл-да

H -высота паралл-да

H= |c| |cos|, где  - острый или тупой угол между векторами S и С.

авс=(s,c)=|s||c|= |s|(±H)=±V - объем параллелепипеда.

Знак "+" получается, если тройка а,в,с правая и "-", если леваяАбсолютная величина смешанного произведения авс численно равна объему парал-да, построенного на векторах а,в,с.

Исходя из геом. Смысла, получаем необходимое и дополнительное условие компланарности векторов а,в,с, а именно авс=0

Координатная формула величины см. произведения векторов.

а={а_>х>_>>а_>у>_>>а_>z>}, в={в_>х>_>>в_>у>_>>в_>z>}, с={с_>х>_>>с_>у>_>>с_>z>}:

а_>х>_>>а_>у>_>>а_>z>

авс= в_>х>_>>в_>у>_>>в_>z>

_>>с_>х>_>>с_>у>_>>с_>z>

12.Формулы расстояния между двумя точками и длина отрезка в заданном отношении.

Расстояние между точками М_>1> и М_>2>вычисляется как модуль |М_>1> М_>2>| вектора М_>1> М_>2.>

М_>1> М_>2>=| М_>1> М_>2>|=√(х_>2> -х_>1>)² + (у_>2> -у_>1>)²

Нахождение координат точки, делящей отрезок М_>1> М_>2> в заданном отношении М_>1>NN М_>2> = p(число р задано)

Известно ,что || прямые K_>1>М_>1> ;

NL_>>;_>>K_>2>М_>2> рассекают стороны угла M_>2>AK_>2> на пропорциональные отрезки:

p=М_>1>NN М_>2>=K_>1>LLK_>2>или х-х_>1>х_>2>-х_>1>=pх=х_>1>+pх_>2>1+p;y=у_>1> +pу_>2>1+p

в частности координаты середины отрезка (p=1)

x= х_>1> +х_>2>2

у= у_>1> +у_>2>2

13. прямая линия на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым коэфициентом, уравнение в отрезках.

Общее уравнение прямой линии - Ах+Ву+С=0, где коэфициенты А, В, С - какие-либо числа, переменные х, у называют текущимикоординатами точки, лежащей на прямой. Некотоорые коэфициенты могут равняться 0, однако хотя бы одно из чисел А, В должно быть отлично от 0, т.е. А²+В²0, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты

у=kх+в - уравнение прямой с угловым коэфициентом

k=tg, где  - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси Ох (0)

геом. смысл коэфицтентов

уравнение в отрезках

заданы ненулевые отрезки а и в, отсекаемые прямой на осях координат. По условию точки (а;0) и (0;в) лежат на прямой. Воспользуемся уравнением

х - х_>1>у - у_>1>

^х2^-х1^у2^-
у1

где х_>1>=а у_>1>=0

х_>2>=0 у_>2>=в

14. Уравнение прямой, проходящей через одну заданную точку, через 2 точки.

у - у_>1>=k(х - х_>1>)

уравнение прямой: у=kх+в

Если мы преобразуем первоначальное уравнение у - у_>1>=k(х - х_>1>), то получим у=kх+( у_>1>-kх_>1>) Оно удовлетворяет условия уравнения прямой : у=kх+в, т.к.

его степень первая, а значит оно может быть прямой,

прямая проходит через точку (х_>1>; у_>1>), т.к. координаты этой точки удовлетворяют уравнению : 0=0

роль коэфициента в играет выражение у_>1>-kх_>1>

Прямая с уравнением у - у_>1>=k(х - х_>1>) проходит через 1 точку. Потребуем, что бы и вторая точка лежала на этой прямой, т.е. что бы выполнялось равенство у_>2> - у_>1>=k(х_>2> - х_>1>). Отсюда находим k= у_>2> - у_>1> х_>2> - х_>1> и подставим в уравнение:

у - у_>1> = у_>2> - у_>1> х_>2> - х_>1>(х - х_>1>) или

х - х_>1>х_>2> - х_>1>= у - у_>1>у_>2> - у_>1>

15.Угол м/у прямыми на плоскости

Прямые: у=k_>1>х +в_>1>, у=k_>2>х +в_>2>

В тр-ке АВС сумма внутр. углов _>1>+ равна внешнему углу _>2> поэтому =_>2>-_>1>Очевидно, tg_>1>= k_>1>; tg_>2>= k_>2>.Проименяя формулу для tg разности 2х углов получим tg=tg(_>2>-_>1>)= tg_>2>-tg_>1>1+ tg_>2>tg_>1>

Окончательно имеем tg= k_>2>- k_>1>1+k_>2>_>>k_>1>Вычислив тангенс можно найти и сам угол .

16. Условия || и  прямых на плоскости.

Даны уравнения прямых с угловым коэф. у=k_>1>х и у=k_>2>х +в_>2>

Условия || прямых -это равенство угловых коэф. к_>1>=к_>2> (1)

Условие (1) выполн. и для слившихся прямых. Формулу углового коэф. прямых (tg= k_>2>- k_>1>1+k_>2>_>>k_>1>) можно записать ввиде: ctg= 1+k_>2>_>>k_>1>k_>2>- k_>1>(это в сслучае, если к_>1>к_>2>). Условие  прямых выражается равенством k_>2>_>>k_>1>= -1. Если к_>1>=0 или к_>2>=0, то одна из прямых || оси Ох, а вторая ей , имеет уравнение вида х=а.

Пусть прямые заданы общим уравнением. А_>1>х+В_>1>у+С_>1>=0, А_>2>х+В_>2>у+С_>2>=0, Если В1=В2=0, то обе прямые параллельны оси Оу и между собой (их уравнения имеют вид х=а) Если В1=0, а В20, то прямые. В случае когда А2=0 (уравнение приводится к виду х=а, у=в)В случае В10 и В20можно выразить у в каждом уравнении. у= -А1хВ1-С1В1;

У= - А2хВ2-С2В2, тогда к1= -А1В1, а к2= - А2В2 и условие || А1В1= А2В2 или А1А2= В1В2.

С помощью равенства 1+к1к2=0, 1+ А1В1 А2В2=0. Приходим к условию прямых А1А2+В1В2=0.

17. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая расстояния между фокусами)

Уравнение элипса примет самый простой вид, если фокусы разместить на оси Ох слева от начала координат на равном от него расстоянии. F_>1> F_>2> - фокусы эллипса. Обозначим F_>1>F_>2> = 2c тогда фокусы имеют координаты (-с,0) и (с,0). Расстояния о фокусов до текущей точки эллипса М обозначим r_>1> и r_>2>. Их называют фокальными радиусами. Постоянную величину r_>1> + r_>2> обозначим 2а: r_>1> + r_>2> =2а. помещая точку М в точки и А' легко сообразить, что А'А = 2а. Отрезки AA' и ВВ' называются осями эллипса, а отрезки ОА и ОВ - полуосями эллипса. Точки А,А',В,В' называют вершинами эллипса. Пусть М(х,у)находится в точке В, тогда r_>1> = r_>2> =а. Из тр-ка ВОF_>2> ВО=BF_>2>²-OF_>2>² Обозначим ВО=в, тогда в=а² - с². Через полуосиэллипса а и в уравнение запишится так:

Это уравнение называют каноническим уравнением эллипса. Окружность - частный случай эллипса, получается при а=в=R(R - радикс окружности). Чем больше отличаются друг от друга полуоси а и в, тем более сплюснутым будет эллипс. Степень сплюснутости эллипса принято измерять эксцентриситетом

Очевидно, 0ɛ. При ɛ=0 имеем окружность, с увеличением ɛэллипс все больше отличается от окружности, становясь более выпуклым.

18. Гипербола

Гиперболой называется геом. место точек плоскости , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данный точек, называемых фокусами, есть величина посоянная, не равная 0 и меньшая расстояния между фокусами. Фокусы F_>1> и F_>2> снова расположим на оси Ох в точках (-с,0), (с,0). Отрезки F_>1>М = r_>1> и F_>2>М = r_>2>называют фокальными радиусами. По определению |r_>1> - r_>2> | есть величина постоянная. Обозначим ее 2а: |r_>1> - r_>2>| =2а. Точки А и А' называют вершинами гиперболы. Легко понять, что АА' =2а. Действительно, для точки А r_>1> =АF_>1> а r_>2> =АF_>2>. Очевидно, АF_>2>=А'F_>1>,поэтому r_>1> - r_>2> = АF_>1>-АF_>2>= АF_>1>=А'F_>1> = А'A. С другой стороны r_>1> - r_>2> =2а. Отрезок АА' называют действительной осью гиперболы. Пусть в=с²-а² Точки В и В' имеют координаты(0,в) и (0,-в). отрезок ВВ' называют мнимой осью гиперболы. Канонической уравнение гиперболы имеет вид:

у гиперболы 2 ветви, при а=в гиперола называется равнобочной. Уравнения у=вха и у=-вха. Они называются асимптотами. Если точка удаляется по любой из ветвей гиперболы, то ее расстояние до соответствующей асимптоты стремиться к 0. Для гиперболы эксцентриситет принимает зн-ия большие 1.

19. Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой, называемой директрисой, и от данной точки, не принадлежащей директрисе, называемой фокусом. Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через р. Канонической уравнение параболы имеет вид:

у²=2рх и получается, если фокус F поместить в точку (р2, 0), а в качестве директрисы взять прямую х = - р2. Число р называют параметром параболы, точку (0,0) - ее вершиной.

20. Плоскость в пространстве: общее уравнение, геометрический смысл коэфициентов, уравнение плоскости., проходящей через заданную точку пространства.

Общее уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz +D=0, в котором хотя бы один из коэффициентов А,В,С отличен от 0. Эти коэффициенты имеют опред. Геом. смысл

Зададим положение плоскости с помощью некоторой точки М_>0>(х_>0>,у_>0>,z_>0>) и ненулевого вектора N(А,В,С), перпендекулярного плоскости. По этим данным плоскость определяется однозначно. Пусть М(х,у,z) - текущая точка плоскости. Векторы N(А,В,С) и М_>0>М(х-х_>0>,у-у_>0>,z-z_>0>) ортогональны, поэтому их скалярное произведение равно )

А(х-х_>0>)+В(у-у_>0>)+С(z-z_>0>)=0 (1)

После преобразований получаем уравнение:

Ах+Ву+Сz+D=0, где D = -Ах_>0>-В_>0->Сz_>0>

Следовательно, А,В,С - координаты вектора, перпендекулярного плоскости, заданной общим уравнением.

Множество плоскостей, описываемых уравнением (1), при фиксированной точке (х_>0>,у_>0>,z_>0>) и переменных коэфициентах А,В,С называются связкой плоскостей. Когда среди условий, задающих искомую плоскость, значится ее точка М_>0>(х_>0>,у_>0>,z_>0>), можно начинать решение задачи с применения уравнения (1). Плоскость так же называют поверностью первого порядка.

23. Сфера,

Сфера. Уравнение сферы, центр которой находится в начале координат: х²+у²+z²=R². Пусть теперь центр расположен в точке М_>0>(х_>0>,у_>0>,z_>0>)

Текущая точка М(х,у,z) сферы находится на расстоянии R от т. М.

Из равенства ММ_>0>²=R²получаем: (х-х_>0>)²+(у-у_>0>)²+(z-z_>0>)²=R²

Эллипсоид канонич. уравнение:

- а,в,с - полуоси эллипсоида. При а=в получается эллипсоид вращения. Такую форму имеет поверхность нашей планеты. При а=в=с эллипсоид превращается в сферы радиуса R=а

Параболоид вращения

В плоскости уОz рассмотрим параболу у²=2рz. Поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг оси Oz называется параболоидом вращения.

Пусть М(х,у,z) - произвольная точка поверхности, а М_>0> - точка с той же аппликатой z, лежащая на параболе у²=2рz. Т.к. О'М=О' М_>0>, то у² для точки М_>0> можно заменить в уравнении на х²+у² для точки М: х²+у²=2рz - уравнение параболоида вращения

Уравнение прямой линии в пространстве.

Прямую линию в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей А_>1>х+В_>1>у+С_>1> z +D_>1>=0 и А_>2>х+В_>2>у+С_>2> z +D_>2>=0. Рассмотрим случай, когда прямая задана своей точкой М_>0>(х_>0>,у_>0>,z_>0>) и направлением р=(l,m,n). Пусть М(х,у,z) - текущая точка прямой, векторы М_>0>Ми р должны быть коллиниарны, поэтому:

х-х_>0>l=у-у_>0>m=z-z_>0>n (1)

получили каноническое уравнение прямой. Разрешается одной и даже двум величинам в знаминателе обращаться в 0.В этом случае используют свойства пропорции.

х-х_>0>l=у-у_>0>m=z-z_>0>n=t

приравнивая величине t каждое из отношений по отдельности, выразим х, у, z: х= х_>0>+lt, y= у_>0>+mt, z= z_>0>+nt. Получили параметрические уравнения той же прямой.

С помощью (1) можно написать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки М_>1>(х_>1>,у_>1>,z_>1>) и М_>2>(х_>2>,у_>2>,z_>2>). Одну из этих точек, например М_>1> можно принять за М_>0>, что даст возможность написать числители в (1). Осталось определить направление прямой. Для этого используют вектор М_>1>М_>2>(х_>1>-х_>2>,у_>1>-у_>2>,z_>1>-z_>2>) его координаты принимают за числа l,m,n В результате приходим к уравнениям:

х-х_>0> х_>1>-х_>2>=у-у_>0>у_>1>-у_>2>=z-z_>0> z_>1>-z_>2>

Условия || и  прямых на плоскости.

Пусть даны две прямые х-х_>1>l_>1>=у-у_>1>m_>1> =z-z_>1>n_>1> и х-х_>2>l_>2>=у-у_>2>m_>2> =z-z_>2>n_>2> и две плоскости А_>1>х+В_>1>у+С_>1>z+D_>1>=0 и А_>2>х+В_>2>у+С_>2>z +D_>2>=0. Вспомним, что векторы р_>1>={l_>1>,m_>1>,n_>1>} и р_>2>={l_>2>,m_>2>,n_>2>} имеют направления прямых, а векторы N_>1>{А_>1>,В_>1>,С_>1>} и N_>2>{А_>2>,В_>2>,С_>2>}ортоганальны соответствующим плоскостям. Кроме того, воспользуемся условиями коллиниарности и ортоганальности двух векторов:

1.Условие параллельности прямых.

l_>1>l_>2> =m_>1>m_>2> =n_>1>n_>2>

Условие параллельности плоскостей

А_>1>А_>2> =В_>1>В_>2> =С_>1>С_>2>

условие перпендекулярности прямых(скалярное произведение и р_>1>и р_>2>=0)

l_>1>+l_>2> =m_>1>+m_>2> =n_>1>+n_>2>=0

4. условие перпендекулярности плоскостей

А_>1>+А_>2> =В_>1>+В_>2> =С_>1>+С_>2>=0

условие перпендекулярности прямойи плоскости( коллиниарность векторов р_>1>и N_>1>)

l_>1>А_>1> =m_>1>В_>1> =n_>1>С_>1>

Условие параллельности прямой и плоскости ( ортогонтальность векторов р_>1>и N_>1>)

l_>1>+А_>1> =m_>1>+В_>1> =n_>1>+С_>1>=0