Билет №1

Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y). Разобъём обл. P на n частичных обл. Р_>i> , где i=1…n, возмём произвольную точку обл. (_>I>;_>I>)  Р_>i>_> >,  - наиболь-ший диаметр чатичных обл.

Построим частичную сумму – сумму Римена.

Определение:

Если существует конечный предел и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (_>I>;_>I>) в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным интегралом по обл. Р и пишут:

В случае, если фун-ия f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла: днойной интеграл – это объём некоторого цилиндрического тела, сверху ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р:

Двойной интеграл от f(x;y) имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла.

Св-ва двойного интеграла:

1.Необходимым условием сущ. Двойного интеграла явл. ограниченность ф-ции f в обл. Р, т.е если сущ. интеграл, то f(x;y) – ограниченная.

2.Всякая непрырывная ф-ция, заданная в обл. Р, интегри-руема.

3.Если ф-ция f(x;y) в обл. Р имеет разрывы на конечном числе непрырывных кривых, принадлежащих этой обл., то f интегрирума по обл. Р.

4.Сумма Дарбу:

Теорема: Для того, чтобы двойной интеграл от ограниченной обл. Р существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

5.Аддетивность двойного интеграла, т.е., если задана обл.Р некоторой непрырывной кривой разбита на две обл-ти Р_>1>иР_>2> не имеющих общих точек, то, если двойной интеграл по обл. Р существует, то существуют интегралы относительно по двум областям.

6.Линейность:

7.Если f(x;y)  g(x;y) для (x;y)P и ф-ции f и g интегрируемы, то соответственно справедливо неравенство:

9.Если f(x;y) удовлетворяет нер-вам m  f(x;y)  M, то справедливо следующее неравенство:

10.Для двойного интеграла имеет место теорема о среднем: если z = f(x;y) – ф-ция, заданая в обл. Р и такая, что во всех точках этой области выполняется нер-во m  f(x;y)  M, где

то существует число  такое, что справедливо равенство:

В случае непрырывности ф-ции:

Вопрос №3

Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими кривыми: y=_>1>(x) a  x  a – снизу;

y=_>2>(x) a  x  b – сверху; x = a – слева; x = b – справа;

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема: Если функция f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл

для любого фиксированного x [a ; b] существует одно- мерный интеграл

то тогда существует повторный интеграл

Доказательство:

Обозначим c=inf _>1>(x) a  x  b; d=max _>1>(x) a  x  b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]Д. P=R\Д (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию

Рассмотрим

Получаем следующее равенство:

Замечание: Пусть теперь область Д ограничена следующими линиями:

x=_>1>(y) c  y  d – слева; x=_>2>(y) c  y  d – справа;

x = c – сверху; x = d – снизу. И пусть

Тогда аналогично предыдущему можно показать, что существует повторный интеграл и

Если же функция f(x;y) такова, что существует двойной интеграл, существует оба повторных, то одновременно имеют место формулы (1) и (2) и можно пользоваться любой из них.

Вопрос №5

Формула Грина.

Теорема: Пусть задана область Д огран. след. кривыми:

y=_>1>(x) a  x  b

y=_>2>(x) a  x  b

x=a , x=b, где ф-ции _>1 >и _>2> непрер. на (a,b). Пусть в этой области задаётся функция P(x,y) – непрер. и имеющая непрер. частную производную: , тогда имеет место след. равенство:

Доказательство:

Рассмотрим двойной интеграл, стоящий справа в формуле(1). Т.к. под интегралом стоит непрер. функция, то такой двойной интеграл существует, также существует одномерный интеграл и его можно вычислить через повторный:

Теорема: Пусть задана область Д огран.:

y=_>1>(x) с  x  d

y=_>2>(x) c  x  d

x=c , x=d. И пусть в этой области задаётся функция Q(x,y) – непрер. и имеющая непрер. частную производную: , тогда имеет место след. равенство:

Cкладываем формулы (1) и (2) и получаем следующую формулу Грина для области Д:

D P(x,y), Q(x,y) ,

Вычисление площадей через крив интеграл

Применим ф. Грина, т.е. выразим его через криволинейный интеграл по границе области.

1. Q = x P = 0

2. Q = 0 P = -y

Суммируем 1 и 2 :

Пример: Вычислить площадь эллипса

.

Сделаем замену переменных 0  t  2

Вопрос №6

Неприрывную кривую назыв. простой кривой (жордановой), если она не имеет точек самопересечения.

Областью называется всякое открытое связаное мн-во, т.е. такое мн-во всякая точка кот. явл. внутренней и любые две точки этого мн-ва можно соединить непрерывной кривой все точки кот. принадлежат данному мн-ву.

Область называется односвязной областью, если внутренность всякой замкнутой кривой содержит только точки данного мн-ва.

Теорема 1. Пусть Д ограниченная односвязная область пл-ти x и y, тогда для того чтобы криволинейный интеграл

был равен нулю по любой замкнутой кривой ГД, (где P(x,y) и Q(x,y) непрерыв. И имеет непрерыв. Частные производ. и ) необходимо и достаточно чтобы вып. Такое равенство

= (2)

f(x,y)Д.

Док-во: Пусть во всей области Д вып. Равенство (2) и Г произвольная простая замкнутая кривая принадлеж. области Д. Обознач. Через обл. Д_>1> кот. огранич. Эта кривая Г. Применим к этой области формулу Грина:

Предположим, что интеграл равен нулю, а равенство (2) не вып. По крайней мере в одной точке (x_>0> ,y_>0>)  Д

F(x_>0>,y_>0>)0 , т.к. частные произв. Непрерывны в обл. Д, то ф-ция F(x,y) непрывна в этой обл. , а из этого вытекает , т.к. F(x_>0>,y_>0>)0, то существует окрестность этой точки такая, что F(x,y)0 для всех точек лежащих в нутри окр. _>> кот. явл. Границей нашей окружности.

Множество точек леж. В этой окр. обознач. Д_>1 >и применим к области Д_>1> ф-лу Грина:

это показывает, что не сущ. ни одной точки, где бы (2) не выполнялось.

Вопрос №4

Пусть заданы 2 плоскости с введенными в прямоугольник декартовыми системами координат

XOY и UOV. Пусть в плоскисти XOY задана область DV ограниченная кривой Г, а в плоскости UOV задана область G ограниченная кривой L

Пусть функция отображает область G в области D, где т.(u,v) G, а т.(x,y)D.

Будем предпологать , что функции x и y такие, что каждой точке области G соответствует точка области D и причем это соответствие такое, что различным точкам области D соответствуют различные области точки G. Причем всякая точка области D имеет единственный прообраз (u,v) в области G.

Тогда существует обратная функции

которая взаимноодназначно отображает область D в области G. Т.к. заданием двух точек U,V одназначно определяют т.(x,y) в области D, то числа U и V принято называть координатами точек в облати D, но уже криволинейными.

Будем предпологать, что функции x(U,V) и y(U,V) имеют непрерывные частные производные по своим переменным x’y и y’x, x’v и y’v, тогда определитель функции имеет вид:

Принято называть якобианом для функций x(U,V) и y(U,V).

Можно показать,что площадь области D задана в плоскости XOY может быть выражена в криволинейных координатах следующим образом:

- прямолинейном интеграле.

в криволинейных координатах.

Замена переменных.

Теорема: Пусть Z=f(x) – непрерывная функция заданая в области D и область D является образом области G через посредства функций , где функции x(U,V) и y(U,V) непрерывные и имеют непрер. Частные производные, тогда справедлива след. Формула замены переменных в двойном интеграле:

Док-во: Разорвем обл.G непер. Кривыми на конечное число частичных областей. Тогда согласно формулам отображающим область G в обл. D. Эти кривые обл. G отображ. В некоторые кривые обл. D, т.е. обл. D будет разбита на конечное число (такое же как и обл. G) частичных подобластей.

D_>i> – подобласти, i=1,2,…,n.

В каждой обл. D_>i> выберем т.(x,y)D_>i> и составим интегральную сумму Римана для двойного интеграла от функции f обл. D.

Площадь обл. D_>i> выразим в криволинейных координатах

x_>i>=x(U_>i>,V_>i>)

y_>i>=y(U_>i>,V_>i>)

И того, что интеграл от функции f(x,y)dxdy сущ., то  lim _>n>(f) и этот lim не зависит от выбора точек в обл. D_>i>, но тогда в качестве f(x_>i>,y_>i>) может быть взята точка

Мы получаем интегральную сумму Римана для интегр., что стоит справа формулы (1), поэтому переходя к lim в следующем равенстве:

получим ф-лу (1), т.к. суммы стремятся к соответствующему интегралу.

Вопрос №2

Теорема: Пусть z = f(x,y) – ограниченная функция, заданная на прямоугольнике R = [a,b;c,d], и существует двойной интеграл по этому прямоугольнику

Если для  X [a,b] существует одномерный интеграл

то  повторный интеграл

Доказательство:

Разобьем отрезки ab и cd отрезками a=x_>0><x_>1><…<x_>n>=b, c=y_>0><y_>1><…<y_>n>=d. Рассмотрим теперь частичный прямоугольник R_>ik>=[x_>i>,x_>i+1>;y_>i>,y_>i+1>] m_>ik>=inf f(x,y) M_>ik>=sup f(x,y)

Rik Rik

На промежутке [x_>i>;x_>i>_>+1>] возьмём точку . Будем рас- сматривать точки, лежащие на прямой x = .

Получаем следующее неравенство m_>ik> f(;y) M_>ik> y_>k> y y_>k>_>+1> Проинтегрируем его по отрезку [y_>k>; y_>k>_>+1>]

Замечание: если же существует двойной интеграл и существует одномерный интеграл

то существует повторный

Если же функция f(x;y) такова, что существует двойной интеграл по области R, существуют оба од- номерных J(y) и Ί(x), то одновременно имеют место формулы (1) и (2)

Например: если f(x;y) непрерывна в области R, то, как известно двойной интеграл, и оба одномерных существуют, а значит, справедлива формула (3) и для вычисления двойного интеграла можно пользоваться одной из формул (1) или (2), а именно выбирая ту или иную, которая даёт более простое решение.

7.Независемость криволинейного интегр. от пути интегрирования. Теор.1 и 2.

Теорема 1. Пусть D – ограниченная одно-связанная область плоскости XOY тогда что бы криволинейный интеграл - был равен 0 по любой замкнутой простой кривой , где P(x,y) и Q(x,y) - непрерывны и имеют непрерывные частные производные , необходимо и достаточно что бы во всех точках области D было (2).

Док-во

достаточность: Пусть во всех точках обл. D выполнено рав-во (2) и пусть Г произвольная простая замкнутая кривая, принадлежащая области. Обозначим через D область кот-ю ограничивает эта кривая Г. Применим теперь к этой области ф-лу Грина.

Необходимость: Криволинейный интеграл в любой замкнутой простой кривой существует область D=0. Покажем, что во всех точках области D выполняется рав-во (2). (это доказуется методом от противного). Пусть интеграл = нулю, а рав-во (2) не выполняется, по крайней мере, в одной точке , т.е. . Пусть, так что разность . Пусть тогда . Т.к. частные производные и непрерывны в области D, то непрерывна в этой области, а из непрерывности функций вытекает что ф-ция , то существует окрестность этой точки, принадлежащая области D, так что везде в этой окрестности для любой точки лежащей внутри кривой.

кот-я является границей нашей окрестности - множество чисел внутри . Применим к ф-лу Грина: . Полученное противоречие показывает, что не существует не одной точки где бы равенство (2) не выполнялось.

Теорема 2 Пусть D есть односвязная область плоскости XOY в этой области заданы две непрерывные функции D(x,y) и Q(x,y) имеющие непрерывные частные производные и ; чтоб криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования . Необходимо и достаточно чтоб выполнялось равенство (2).

Док. Не обход. Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точки пути интегрирования.

Возьмём в области D произвольно простую замкнутую кривую Г. На этой кривой т. А и т. В

Т.к. по условию криво-ный интеграл не зависит от пути интегрирования, то интеграл по кривым АmB=AnB

В силу 1-й теоремы должно выполнятся рав-во (2).

Док. Достат. Пусть выполняется рав-во (2) . Покажем, что криволенейный интеграл не зависит от пути интегрирования :

1-й случай. Берём две произвольные точки принадлежащие области D и соединяем эти точки непрерывными кривыми и , кот-е не имеют точек самопересечения.

Если эти кривые образуют простой замкнутый контур без самопересечения и т.к. выполняется рав-во (2), то интеграл поэтому замкнутому контуру обязан быть равен 0. , т.е. интеграл не зависит от кривой.

2-й случай. Пусть и имеют конечное число точек самопересечения

Будем двигаться от А к C_>1> в результате получили контур и . Аналогично Для всех остальных случаев.

3-й случай. Если кривые пересекаются на счётном множестве точек то интеграл по таким кривым тоже будут равны между собой ….счётное множество эквивалентное множеству натуральных чисел.

9.Параметрические ур-я поа-ти, касательная плос-ть, нормаль, направляющие косинусы нормали.

Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями :x=x(U,V) ; y=y(U,V); z=z(U,V) и функции x,y,z непрерывны и имеют непрерывные частные произвольные. Рассмотрим матрицу

На поверхности берём точки U_>0>(x_>0>,y_>0>,z_>0>) которая является образом (U_>0>,V_>0>) . Можно показать, что в этом случае уравнение касательной к плоскости поверхности имеет вид А(x-x_>0>)+B(y-y_>0>)+C(z-z_>0>)=0 .Уравнение нормали поверхности . Далее введём направляющую. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями и

- угол образованный нормалью с направлением осью X

- угол образованный нормалью с направлением осью Y

- угол образованный нормалью с направлением осью Z,

cos  cos  cos  - называют направляющими косинусами нормали. Для направляющих косинусов нормали имеет место формула:

, , . В знаменатели стоит двойной знак  и всякий раз выбирают один из знаков в зависимости от направления нормали. В случае явного задания поверхности направляющие вычисляются , , .

Билет 12

Задача о вычислении массы пространств-го тела.

Пусть в трехмерном пространстве задано тело D, причем в точках этого тела определены некоторые массы и известна плотность распределения массы, кот. явл-ся ф-цией трех переменных U=(x,y,z). Разобьем это прост-ное тело некоторыми гладкими пов-ми на конечное число областей D_>1, > D_>2>,…,D_>n>. В каждой области D_>i> произвол. выберем некот. точку () D_>i>. Плотность массы в этой точке – это _>i>_>i>_>i>. Будем считать, что ф-ция  явл-ся непрерывной, а разбиение достат. мелким так, что значения ф-ции внутри области D_>i> не слишком отличаються от значений ф-ции  в выбранной точке. Т.е. будем считать, что в области D_>i> плотность массы одна и та же и равна числу _>i>_>i>_>i>. Тогда очевидно масса, заключенная в обл. D_>i> , будет равняться _>i>_>i>_>i>V. Тогда приближенное значение массы для всей области равна _>i>_>i>_>i>V_>i>_> >Пусть  - наибольший из диаметров D_>i> – тых областей, а тогда масса , заключенная в области равна m=lim( _>i>_>i>_>i>V_>i>_> >

Пусть теперь задано пространств. тело D. В точках этого тела определена ф-ция U=f(x,y,z). Разобьем это тело на конечное число D_>i> –тых (i=1,2,3,…). В каждой области D_>i> выберем произвол. точку (x_>i>,y_>i>,z_>i>) и составим интегральную

_>n>= (x_>i>,y_>i>,z_>i>) * V_>i> Если сущ. предел и он конечный и он не зависит от способа деления обл. D на части и выбора точек (x_>i>,y_>i>,z_>i>) , то этот предел называют тройным интегралом по обл.D от ф-ции f(x,y,z) lim(_>n>= f(x,y,z)dx dy dz Следовательно m=(x,y,z)dxdydz

Св-ва тройного интеграла аналогично св-м двойного интеграла 1) Всякая интегрируемая в обл. D ф-ция ограничена в этой области.

2) Могут быть построены суммы Дарбу

верх S_>>= M_>i >* V_>i> низ s_>>= m_>i> * V_>i>

3) Необходимо и достаточное условие сущ. интеграла

lim( S_>>-s_>>)=0

4) Как и в случае двойного интеграла сущ. тройной интеграл от любой непрерывной ф-ции, заданной в обл. D. Однако тройной интеграл сущ. и в случае, когда ф-ция f(x,y,z) имеет разрывы 1-го рода на конечном числе пов-тей данного тела D.

5)Тройной интеграл обладает св-вами линейности и аддетивности

_>D>fdx = _>D>_>1>fdx + _>D>_>2> , где D=D1D2

6)Если сущ. тройной интеграл от ф-ции f, то сущ. интеграл по модулю

и существует равенство

fdv

Если функция fв области D ограничена какими-то числами m  f  М , то для тройного интеграла справидливо неравенство

mV_>d > dvM V_>D>

7) Имеет место теорема о среднем , т.е. если функция (x,y,z) не-прерывная в области D , то справедливо равенство

 dv   (X_>0> , Y_>o > , Z_>0>) (X_>0> , Y_>o> , Z_>0>)D

Ввычесление тройного интеграла по параллепипеду .

1. Пусть функция (x , y ,z) задана на параллепипеде R a ,b ; c , d; e, f.

_> >Обозначим через Gи D прямоугольника D c , d; e, f и a,b;c,d . Тогда если существует тройной интеграл по параллепипеду от функции (x,y,z) и существует для любого x из a,b двойной интеграл по прямоугольнику D

 (x,y,z)dydz то существует

dv =dx(x,y,z)dydz

Если для  ze,f   (x,y,z)dxdy,то  dv = dx(x,y,z)dydz = dxdy(x,y,z) . Если функция (x,y,z) непрерывна в области D,т.е. на параллепипеде , то все указаные ранее интеграмы существует и имеет

место вся большая формула и в последнемравенстве можно менять местами в случае непрерывности функции.

2. Пусть (x,y,z) задана в пространстве области G причем область G сверху ограниченная плоскостью z=z_>2>(x,y) снизу z=z_>1>(x,y),a c боков ограничена цилиндрической поверхностью образующая которой OZ. И пусть проекция этого тела на плоскость XOY есть некотокая область D .Тогда можно показать ,что тройной интеграл по пространственной области G может быть вычеслен по такой формуле

Продолжение №12

Если теперь обл. D будет иметь следующее строение. Пусть обл. D, кот. явл. проэкцией тела на пл-ть XOY, ограничена следующими линиями: отрезками прямых x=a и x=b , и кривыми y=_>1> (x) и y=_>2>(x). Тогда тройной интеграл:

Вопрос №10

Пусть в пространстве задана поверхность Q, которая является гладкой и задана явным уравнением z = f(x;y), где (x;y)ЄD.

D является проэкцией поверхности Q на плоскость xoy. Будем считать f(x,y) – непрерывная со своими частными производными



Требуется вычислить площадь S заданной поверхности. Разобьем область D непрерывными кривыми на конечное число частичных областей D_>1>,D_>2>,…,Dn. Возьмем в области Di т.(xi;yi) и построим цилиндрическое тело, в основании которого лежит область Di , а образующие параллельны оси oz. Это цилиндрическое тело вырежет на нашей поверхности Q некоторую i-тую площадку. Обозначим через Mi (xi;yi;zi) точку на i-той частичной поверхности такую, что zi=f(xi;yi), т.е. Mi(xi;yi;z (xi;yi)). Так как частные производные p,q-непрерывны, то поверхность является гладкой и в каждой точке этой поверхности существует касательная плоскость. Проведем теперь касательную плоскость к поверхности в точке Mi. Построенное тело на обл. Di на этой плоскости Т вырежит некоторую площадку Ti. Eе площадь S_>Ti> дает некоторое приближение для площади куска поверхности, который вырезается этом цилиндрическим телом. Аналогичным образом поступим с остальными областями D_>1>,D_>2>,…,Dn. В результате мы получим некоторое приближение для площади всей заданной поверхности. Пусть

n

_{> n}>= S_>Ti >

i=1

А тогда принято считать, что площадью поверхности является

n

S=lim _> >_>n>=lim  S_>Ti> ,

  i=1

где  - наибольший из диаметров площадей Di.

Нетрудно показать, что такой предел будет равен

S=lim n= (1/cos )dx dy,

0 D

где  - угол, образованный нормалью к поверхности с осью oz.

Доказательство:

Через i обозначим угол, который образует касательную плоскость с плоскостью xoy. В точке Mi проводим нормаль к поверхности. Получаем, что угол, образованный касательной плоскостью с плоскостью xoy равен углу, образованному нормалью к поверхности с осью oz. Площадь Di есть проекция плоскости T_>i> , которая лежит на касательной плоскости. А тогда S_>Di>=S_>Ti>*cos _>i >.

А тогда получаем, что

n n n

_{> n}>= S_>Ti>= S_>Di >/ cos _{> i} >= (1/cos _>i>)*S_>Di> .

i=1 i=1 i=1

Получили, что данная сумма является суммой Римена для такого двойного интеграла:

 (1/cos )dx dy.

D

Получили , что площадь поверхности Q , заданной явным уравнением , вычисляется по такой формуле :

S_>Q>= (1/cos )dx dy.

D

Если поверхность задана явным уравнением , то

cos =1/ (1+p²+q² n)=1/(1+z_>x>'²+z_>y>'² ).

В случае явного задания поверхности

S_>Q>=(1+z_>x>'²+z_>y>'²)dx dy =(1+p²+q²)dx dy

D D

Если теперь поверхность Q задана параметрическими уравнениями

x=x(u,v)

y=y(u,v) (u,v)єG ,

z=z(u,v)

_> >где функции x,y,z непрерывны со своими частными производными, то в этом случае площадь поверхности вычисляется по следующей формуле

_>>S_>Q>=(A²+B²+C²) du dv,

где А,B,C-есть раннее введенные функциональные определители.

8.Касательная пл-ть к пов-ти и её ур-е в случае явного и не явного задания пов-ти.

1) не явное. Пусть поверхность задаётся не явным уравнением F(x,y,z)=0. Эта функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные.

Здесь рисунок.

Зафиксируем любую точку M_>0>(x_>0>,y_>0>,z_>0>). Рассмотрим кривую проходящую через эту точку. Пусть уравнение этой кривой будет x=x(t) y=y(t) z=z(t) где . Предположим что эти функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные по t . Пусть т. M_>0> соответствует значению параметра t=t_>0> x_>0>=x(t_>0>) y_>0>=y(t_>0>) z_>0>=z(t_>0>). Т.е. M_>0>(x(t_>0>),y(t_>0>),z(t_>0>))=M_>0>(x_>0>,y_>0>,z_>0>) , т.к. кривая Г лежит на пов-ти, то она удовлетворяет уравнению поверхности т.е. F(x(t),y(t),z(t)) 0, берём производную . Посмотрим это рав-во в т.M_>0 >т.е. t=t_>0> получим ; Введём обозначение через , а через , а так как то проведём через точку М_>0> любую кривую. из рассмотренных равенств заметим, что любые кривые на пов-ти, кот-е являются непрерывными , всегда будет выполнятся рав-во , а это рав-во показывает что вектор будет ортогонален к любому касательному вектору , кот-й проходит через эту точку М_>0>, значить все касательные s лежат в одной плос-ти перпендикулярно к . Эту плос-ть состоящую из касательных векторов называют касательной плоскостью к поверхности в т. М_>0>, а вектор наз нормальным вектором плоскости в т. М_>0>. в случае не явно. Прямая проходящая через т. М_>0> и перпендикулярная к касательной плоскости поверхности называют нормалью поверхности. Но тогда ур-е прямой поверхности проходящую через т. М_>0>: .

2) явно. пусть пов-ть задаётся явным ур-ем z=f(x,y), где (x,y)D f - ф-ция непрерывна и имеет непрерывные частные производные. ; ;

z-f(x,y)=0; F(x,y,z);

;;

;

; ;

это ур-е пов-ти.

Вопрос№11

Если пов-ть Р задана параметрич. ур-ями

(u,v) G

ф-ии x,y,z непрерывны с частными производными то поверхностный интеграл 1-го рода вычисл. С помощью интеграла двойного рода,взятого по обл. G по ф-ле:

Если пов-ть Р задается явным урав. Z=F(x,y)=z(x,y)

Где (x,y),причем ф-ия F-непрерыв. Со своими

Часными произв.,то поверхностный интегр.1-го рода

Вычисл.по ф-ле :

где P и Q соотв.часные произв.

Поверхн.интеграл 2-го рода

Криволин.интеграл 2-го рода:

Пусть задана двусторонняя пов-ть S и на верхн.

Стороне задана ф-ция U=F(x,y,z).Разобьем задан.

Повер.S непрерывн.кривыми на конечное число

Частичных поверх. S1,S2….Sn.Проэктир.эти поверх.

На XOY , -площадь прэкции повер.Si:

Если сущ.предел Lim  n при не зависит

От способа дел.области на части и выбора точек Mi,

То его наз.повер.интегалом 2-го рода по поверхн.и

Обознач. :

Если же проэктировать пов-ть на другие плоскости ,то

Получится:

Пусть на пов-ти заданы три ф-ции P(x,y,z), Q(x,y,z)

R(x,y,z) тогда повер.интегр.2-го рода общего вида наз.

Пусть пов-ть S явл.гладкой поверхн.,такой что в каждой точке ее

Сущ. Пл-ть такая что в каждой т.пов-ти сущ.нормаль.Обозначим

Через ,,-углы ,которые образуют углы с осями OX,OY,OZ.

Тогда,как и для криволин.интеграла имеет место форма между повер.Интегр.1 и 2 рода:

Имеет место следующ.ф-ла замены перем.в пов.интегр.2-го.

Пусть пов-ть S задается своими парам.ур-ми:

ф-ции x,y,z –непрерыв.и имеют непрер.частн. произв.Тогда:

Имеет место ф-ла Стакса ,связывающ.криволин.интеграл по контуру

Пов-ти с повер.интегралом 2-го по задан.пов-ти.

Пусть задана некоторая гладкая повер.S на верхн.стороне этой повер.

Заданы три ф-ии P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) непрерыв.и имеющ.непрер.

Частн.произв.по своим аргументам и L-контур повер.,проходящий в

Полож.направления.Тогда:

Билет №14

Поток вектора через поверхность

Пусть задана некоторая область(тело) ДR_>3> Пусть над этой областью определено поле вектора (М), МД , А_>x> ,A_>y> ,A_>z>

Возьмем в области Д некоторую поверхность S обозначим через - нормальный вектор поверхности -единичный вектор , данного нормального вектора

где ,, -углы , которые образует нормаль с осями координат

Потоком вектора через заданную поверхность S (во внешнюю поверхность) называют следующий поверхностный интеграл 1-го рода

Проекция вектора на ось

А_>п> – проекция вектора на вектор А_>п> =пр_>>

А тогда поток вектора будет равен

Вопрос №16

Общий вид диф уравнения F(x, y, y’)=0 y’=f(x,y) (1).

Решением дифференциальное уравнение первого порядка называется всякая функция y=(x), которая будучи подставлена в данное уравнение обращает его в тождество.

’(x)= f (x, (x));

Задача Коши для диф. уравнения 1 порядка.

Требуется найти решение диф. ур-я (1) удовлетворяющего следующему условию (2).

Теорема Коши.

Пусть задана на плоскости XOY некоторая обл. Д и задано диф. ур-е разрешённое относительно производной, тогда если функция f(x, y) и её частная производная непрерывны в обл. Д, и некоторая фиксированная точка обл. Д, то существует и единственная функция y=(x) являющаяся решением (1) и такая, которая в т.

принимает значение , т.е. удовлетворяющая заданному начальному условию .

Т.е. если существует решение диф. ур-я, то таких решений бесконечное множество.

График функции являющийся решением диф. ур-я принято называть интегральной кривой, процесс решение принято называть интегрированием.

Точкув плоскости XOY называют особой точкой диф. ур-я если в этой т. не выполняется условие теоремы Коши, т.е. особая т. это такая т. через которую может вообще не проходить ни одной интегральной кривой, либо проходить множество.

Решения диф. ур-я в каждой т. которого нарушается условие единственности из теоремы Коши, принято называть особым решением диф. ур-я. График особого решения называется особой кривой.

Определение общего решения диф. ур-я 1 порядка:

Функция y=(x, C), где С произвольная константа, называется общим решением диф. ур-я (1) если выполнены следующие условия:

1. Функция y=(x, C) является решением ур-я (1) при любом значении произвольной константы С;

2. Какова бы ни была т.  Д найдётся такое значение произвольной константы , что функция y=(x,) удовлетворяет заданному начальному условию, т.е. 

Частным решением данного диф. ур-я называется решение этого ур-я которое может быть получено из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной константы С.

Определение:

Если решение диф. ур-я (1) может быть получено в виде, причём это ур-е не может быть явно разрешено относительно y, то функцию принято называть общим интегралом диф. ур-я (1), где С – произвольная константа. Если решение получено в виде , где - явная константа – частным интегралом диф. ур-я.

Особое решение данного диф. ур-я (1) ни при каком значении константы С не может быть получено из общего решения..

Вопрос №17

Диф. ур-ем с разделёнными перемеными принято называть ур-е вида (1):

(1)

Если y=y(x) является решением ур-я (1), то и правая и левая части этого ур-я представляют собой дифференциалы от переменной x, т.е. имеем равенство двух дифференциалов, то тогда неопределённые интегралы отличается разве лишь на константу. Т.е. интегрируя равенство (1), получаем общее решение данного диф. ур-я:

Уравнения с разделяющимися переменными:

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделёнными переменными.

докажем, что это ур-е можно привести к ур-ю с разделёнными переменными.

Т.е.

Если

т.е.

Пример:

Билет №15

Дивергенция , циркуляция ротор вектора

Пусть задана некоторая пространственная область Д над которой определенно поле вектора и S –некоторая поверхность в данной поверхности Д

Рассмотрим интеграл , выражающий поток вектора через поверхность S

Обозначим А_>x> = P(x,y,z) , A_>y> =Q(x,y,z) , A_>z> = R(x,y,z)

поверхность S ограничивает тело Д_>1>

- расходимость (дивергенция ) вектора

- уравнение Остроградского-Гаусса

А_>п> – проекция вектора на нормаль поверхности

Циркуляция , вихрь и ротор вектора

Пусть в пространстве задано некоторое тело Д и пусть в теле Д рассматривается некоторая кривая L , которая гладкая , имеет непрерывно изменяющуюся касательную

Обозначим через ,, углы , образует касательная к кривой L с осями координат

Пусть над этим телом определенно поле вектора

Тогда криволинейный интеграл по кривой L

Рассуждая как и прежде можно показать , что

L_>0> - единичный вектор касательной L_>1>

L_>1> - касательный вектор к кривой L

Если кривая L является замкнутой кривой , то такой интеграл принято называть циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура L - циркуляция

Пусть теперь в некоторой области Д задана поверхность S , контур которой обозначим через L

- формула Стокса

Ротором векторного поля называется вектором (или вихрем) , имеющий следующие координаты и обозначающиеся

Циркуляцией вектора вдоль поверхности S равна потоку вектора через заданную поверхность S

- формула Стокса

Билет №13

Криволинейные интегралы в пространстве и объем тела в криволинейных координатах

Пусть в пространстве OXYZзадано тело G.И пусть в другом пространстве OUVW задано тело Д

И пусть заданы 3 функции

взаимно однозначно отображающие область Д в области G

Будем считать функции x,y,z –непрерывными и имеющие непрерывные частные производные

Рассмотрим Якобиан

Можно показать , что в случае взаимно однозначного отображения области Д и G якобиан ни в одной точке области Д не обращается в 0

А значит в области Д сохраняет один и тот же знак Координаты (U,V,W) принято называть криволинейными координатами точек области G

И тогда можно показать , что объем области G в криволинейных координатах выражается по следующей формуле

Если теперь в области G будет задана функция f(x,y,z) –непрерывная в этой области, то справедлива следующая формула замены переменных в тройном интеграле

При замене переменных в тройном интеграле наиболее часто используются цилиндрические и сферические координаты

Под цилиндрическими координатами следует понимать объединение полярных координат на плоскости XOY и аппликаты z ,,z

-расстояние от начала координат до проекции тМ на плоскость

-угол , образованный радиус вектором ОМ , в пол направлении

циллиндрические координаты

0  < + , 0  < 2 , -< z < +

Подсчитаем якобиан в случае цилиндрических координат

- угол , образованный проекцией радиус-вектора тМ

-угол, образованный радиус-вектором тМ

- радиус-вектор тМ, равный ОМ

Сферическими координатами принято называть ,,

Где - расстояние от начала координат до тМ

- угол , образованный радиус-вектора с осью Z

- угол, образованный проекции радиус-вектора с осью X

=(ОМ) 0  < + , 0  <  , 0 <  < 2

Найдем якобиан для сферических координат

=cos[² cos² cos sin + ² sin²  sin cos] + sin [ sin²  cos²  +  sin²  sin² ] =² cos²  sin + ² sin³ =² sin  I(,,)=²sin

Вопрос №18

Пусть задана функция в области Д, полкости XOY, функцию называют однородной функцией m-той степени относительно переменных x и y, если каково бы ни было число t>0, выполняется равенство:

Пример:

Определение: диф. ур-е 1 порядка разрешённое относительно производной называется однородным диф. ур-ем 1 порядка, если его правая чаcть (функция f(x,y)) является однородной функцией 0-й степени.

Метод решения: Пусть (1) является однородным уравнением (1).

Пусть

2) если то

т.е.

Билет№20 Линейные диф.

Уравнения1- порядка. Метод подстановки.

Линейным уравнением 1-го порядка называют

уравнения вида:

1. y’+yP(x)=Q(x) – где P(x) и Q(x) некоторые

функции переменной х , а y’ и y входят в уравнение

в 1 степени.

1.Метод подстановки:

Будем искать решение уравнения 1 в виде

произведения y=U(x)V(x) при чём так, что мы

можем подобрать одну из функций по желанию,

а вторую так, чтобы удовлетворяла (1) :

y’=U’V+UV’ ; U’V+UV’+UV*P(x)=Q(x) ;

U’V+U(V’+V*P(x))=Q(x)

Найдём V ,чтобы V’+VP(x)=0 :

Тогда U’V=Q(x)

y’+y cos(x)=1/2 sin(2x) y=UV

U’V+UV’+UVcos(x)=sin(x)cos(x)

V’+Vcos(x)=0 dV/V=-cos(x)dx

ln(V)= -sin(x) V=e^-sin(x)

sin(x)=t

Билет №22

Уравнение Бернулли и Рикотти и их решение.

Уравнение Бернулли – это диф. Ур-е следующего вида :

где P(x) и Q(x) – непрерывные функции m – действительное число 0 и 1

разделим уравнение на y^m :

- приведем его к линейному

Обозначим через а теперь диференциируем

теперь подставим в уравнение

получили линейное уравнение .

Уравнение Рикотти – это диф. следующего вида

Где P(x),q(x),r(x) – некоторые непрерывные функции

Рассмотрим несколько случаев

1) если ф-ции P(x) , Q(x) и r(x) – явл. Константами то в этом случае сущ. решением ур-я Рикотти т.к. в этом случае ур-е явл. Ур-ем с разделенными переменными .

2) если q(x)=0 имеем лин. Ур-ние

3) если r(x)=0 то имеем ур-е Бернулли

Если не выполяется ни одно из этих 3 условий , то ур-е Рикотти решить нельзя , неразрешимо в квыадратурах . Однако если эти три случая , но возможно найти хотя бы одно частное решение этого ур-я то ур-е решается в квадратуре .

Установим это : пусть - явл. Часным решением ур-я Рикотти т.е.

тогда введем новую функцию z=z(x)

Положем ,

Подставив в уравнение получим

а это ур-е Бернулли

Билет №23

Уравнение в полных дифференциалах и их решение

Пусть задано диф. ур-е ел. Вида:

где P(x,y) и Q(x,y) – непрер. Функции имеющие непрерыв часн. Производную 2 порядка включительно.

Диф. ур. Назыв. Ур-ем в полных диф-лах , если такое что

т.е. ур. В этом случае имеет вид :

это уравнение явл полным диф. функции U как ф-ции двух переменных:

если выполняется равенство тогда то левая часть а тогда его решение

- общий интеграл диф. Ур.

Теорема о необходимости и достаточности условия того что Ур было ур-ем в полных дифференциалах

Теорема : Для того чтобы ур было ур-ем в полных диф. в некоторой Д принадл ХОУ

Необх. И дост. Чтобы во всех точках обл. Д выполн равенство если условие выполняется можно найти ф-цию что будет выполняться рав-во след. Образом.

найдем

Билет№21.

Метод вариации производной постоянной при решении линейного диф. уравнения 1-го порядка.

y’+P(x)y=Q(x) (1) -задано линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим соотв. ему однородное уравнение y’=P(x)y=0 (2). Найдём общее решение:

Будем искать решение в том же виде, что и однородного, только считая с не произвольной константой ,а функцией от х :

Билет№19 Уравнения, приводящиеся к однородным.

К таким уравнениям относят уравнения вида:

где a,в,с - const

1)Введём: чтобы исчезли с_>1> и с_>2> После нахождения конкретных k и h и подстановки их в наше уравнение, с учётом того, что получаем : Это уравнение является однородным и решается подстановкой

2). Тогда: Подставим : Сделаем замену:

1). Допустим φ(z)=x+c φ(a_>2>x+b_>2>y)=x+c

2). Теперь допустим Тогда получим z=c.

Билет №24

Интегральный множитель и его нахождение

Пусть задано диф. ур-ние в диф. форме вида :

не всякое такое уравнение явл. Уравнением в полных виференциалах однако доказано что для всякого такого ур-я может быть подобрана ф-ция такая что после умножения левого и правого ур-я на эту функцию данное уравнение стан ур-ем в полных диф. Ф-цияю назыв интегральным множителем данного уравнения

Найдем функцию определяющую интегр. Множитель данного уравнения:

тогда должно выполн. Рав-во:

имеем уравнение в частных производных относит неизв функции Мю.Общего метода нахожения которой не существует

Найдем интегр множитель в случае если он явл ф-цией от одной из перемен.

1)Найдем условие при которых функция должна удовлетв равенству

;будет зависеть только от Х если правая часть ур будет зависеть только от Х

2) Аналогично и =(У)

;будет зависеть только от Х если правая часть ур будет зависеть только от У

Вопрос №26.

Уравнение вида: f(x,y)=0.

1) Предположим, что данное уравнение можно разрешить относительно y; y=f_>k>(x), k=1,2,…

Получим совокупность таких решений. Она является общим решением данного уравнения.

……………………………….

2) Пусть оно не разрешается относительно y и разрешается относительно x. Пусть оно эквивал. Такому x=(y). Будем искать решение данного уровнение в параметрической форме. y=p=p(x).

Пусть x=(p), А y ищем так:

dx=(p)dp dy=ydx=p(p)dl.

Отсюда

Тогда общее решение

3) Предположим, что ур-ние не разрешено не относ. х, не относ. y, но оно может быть представлено в виде с-мы двух ур-ний, эквивалентных данному ур-нию:   t  

dy=ydx dx =(x)dt

dy=(t)* (t)dt

Тогда парметрическое решение данное ур-я

Билет 28.

Ур-ние Логранжа

Ур. Лог.имеет следующий вид

где ф-цияи непрерывная и

сменная производная по своему аргументу.

Покажем что путём диф-ния и введения

параметра можно получить общее решение

в параметрической форме.Пусть у^`=p=p(x)

Подставляем в ур.

(1)

Продиф-ем на х

Рассмотрим два случая:

Будем смотреть на это ур-ние как наур-ние

от неизв. Ф-ции х, которая в свою очередь явл.

Ф-цией параметра р.Тогда имеем обычное

инт.ур.относительно неизв.ф-ции, которую

можем найти.

Пусть общим интегралом этого ур.будут

F(p,е,c)=0 (2)

Объеденим (2) и (1)

А это и есть общее решение ,представленое

через параметр Р.

2) ,тогда Р=0,но такая constanta,

что удовлет. решению ур. :

Пусть Р_>I>(I=1,2,..) будут решением этого ур.

Тогда решением первоначального ур.А.

будут ф-ции ,

которые явл. Особыми решениями ур. А.

И не могут быть получены общим решением.

Ур.Клеро.

Ур.Клеро имеет вид

где

-непрер. и симетр.произв.по своему

аргументу. Вводим параметр .

Тогда (3)

Диф-ем по Х

1. Если ,то р=е, а тогда

подставляем в (3)и получаем:

явл. общим решением ур. Клеро

2. тогда имеем параметрическое ур.

общее реш.

Пример

Замена

общее решение:

Билет 27.

Уравнение вида F(y,y`)=0

1)Пусть ур-ние разрешимо относ.

y`,тогда y`=f_>k>(y) Разрешим относ. y, где к=1,2….

_>k>(y) .

Пустьf_>k>(y)0 тогда

Считаем х-функцией от у. .

-это общий интеграл данного ур-я .

общее решен.х.

Пусть f_>k>(y)=0 . Тогда решен.данного ур-я

могут быть ф-ции ,где- консты, причём

такие,которые удовлнтв.условиюF

2)Пусть ур-ние не разр.относ.у^,, но разреш. отн. y, т.е. пусть

наше ур-е эквивал. Ур-ниюТогда общее реш.розыскивается в парометрич. форме.Вводят параметры таким образом

а)пусть тогда

,

а тогда:

- общее решение в пар-ой форме

б) пусть у^’=0, тогда у=const

Решением ур-ния будут ф-ции у=к ,

какие удовлет.ур-ние F(k,0)=0

Пример: решить ур.

Разреш. относ. У .тогда

;

Билет 25.

Рассмотрим несколько случаев:

1.Пусть задано следющее диф. ур-ние:

Это диф. ур-е 1-го порядка n-ой степени, где _>I> (x;y) – некото- рые непрырывные ф-ции двух переменных в некоторой обл. Q  R_>2> (i=0,…,n). Мы имеем ур-е n-ой степени относительно 1-ой производной, а известно, что всякое ур-е n-ой степени имеет вточности n-корней, среди которых есть как действительные так и комплексные. Пусть например это ур-е имеет какоето количество m  n действительных корней. Т.к. коэффициенты этого ур-я являются ф-циями двух переменных, то ясно, что корни тоже будут ф-циями двух переменных. Пусть это будут решения y¹=f_>k>(x;y), k=1,2…m.

Ур-е (1) свелось к m - ур-ий 1-го порядка. Пусть это ур-я, имеющие общий интеграл F_>k>=(x;y;c)=0, k=1,2…n. Тогда совокупность всех этих общих интегралов

и будет общим решением данного диф. ур-я (1).

Пример:

Пусть x=0,а ур-ние разделим на x

Ур-я вида: F(y^!)=0

Пусть заданное диф. ур-е явно зависит только от y^! и не зависит явно от x и y. Тогда мы имеем некоторое алгебраическое ур-е относительно производных. А такое алгебраическое ур-е пусть имеет конечное или бесконечное множество действительных решений относительно производных. Т.е. y^! = k_>i> , i= 1,2… , где k_>i> – некоторые действительные числа. У нас выполняется условие F(k_>i>)0. Решим ур-е y^!=k_>i>; y=k_>i>x+c; k_>i>=(y-c)/x. Общий интеграл заданного диф. ур-я

Пример:

(y^!)⁴-4(y^!)²+1=0

k⁴-4k²+1=0 действительные корни есть

Значит сразу получаем общее решение