Шар и сфера

Оглавление:

    Вступление…………………………………………………………………………………..2

    Шар и сфера…………………………………………………………………………………3

      Шар и шаровая поверхность……………………………………………………...3

      Взаимное расположение шара и плоскости……………………………………..3

      Принцип Кавальери. Нахождение объёмов тел с помощью принципа Кавальери…………………………………………………………………………..6

      Интегральное исчисление. Понятие интеграла…………………………………9

      Вычисление объёмов тел с помощью интеграла………………………………10

      Объём шара………………………………………………………………………12

      Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента…………………………………12

      Шаровой слой. Объём шарового слоя…………………………………………14

      Шаровой сектор. Объём шарового сектора……………………………………14

      Площадь поверхности шара…………………………………………………17

      Площадь поверхности сектора шара……………………………………….18

      Площадь поверхности шарового пояса…………………………………….18

3.Задачи………………………………………………………………………………………20

3.1 Задачи на поверхности…………………………………………………………..20

3.2 Задачи на объёмы тел……………………………………………………………23

4.Заключение…………………………………………………………………………………25

5.Литература………………………………………………………………………………....26

TYPE=RANDOM FORMAT=PAGE>1


2. Шар и сфера.

2.1. Шар и шаровая поверхность.

Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространст­ва, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстоя­ние R (радиус). Все пространство по отношению к данной ша­ровой поверхности разбивается на внут­реннюю область (куда можно присоеди­нить и точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей назы­вается шаром. Итак, шар — геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстоя­ние, не превышающее данной величины R (радиуса). Шаровая поверхность яв­ляется границей, отделяющей шар от ок­ружающего пространства.

Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.

Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис. 1), лежащую в плоско­сти Я. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою оче­редь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку М>0>—проекцию вращающейся точки М на ось враще­ния АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вра­щения, и потому точка М все время будет находиться на сфе­рической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.

Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.

2.2. Взаимное расположение шара и плоскости.

Исследуем вопрос о взаимном расположении шара и плоско­сти. Для этого, имея некоторый шар и плоскость , опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Если основание этого перпендикуляра М>0> окажется вне шара (рис. 2), то остальные точки плоскости и подавно будут лежать вне шара, так как они еще больше удалены от центра, чем основание перпендикуляра. В этом случае плоскость не имеет общих точек с шаром, она его не пересекает. Если основание перпендикуляра окажется на шаровой поверхности (рис. 3), то остальные точки плоскости, как и в предыдущем случае, будут лежать вне шара. Плоскость будет иметь одну общую точку с

поверхностью; такая плоскость называется касательной к шару. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.

Действительно, если плоскость имеет с поверхностью шара един­ственную общую течку, то эта точка ближайшая к центру шара по сравнению с остальными точ­ками плоскости и потому служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость.

Если, наконец, основание пер­пендикуляра М>0> окажется внут­ри шара (рис. 4), то плоскость будет пересекать поверхность шара, так как часть ее окажется внутри шара, а часть — вне. Исследуем линию пересечения такой плоскости с шаровой поверх­ностью. Пусть расстояние ее от центра шара равно d, d<R. Тогда оказывается, что линия пересечения плоскости с поверх­ностью шара является окружностью с центром в точке М>0> и радиусом, равным . Для доказательства проведем через М>0> произвольный луч М>0>М, лежащий в секущей пло­скости. Выходя из внутренней области шара во внешнюю, он пересечет поверхность шара в некоторой точке М. Рассмотрим треугольник ОМ>0>М с прямым углом при вершине М>0>. Катет М>0>М по теореме Пифагора будет равен . Впрочем, постоянство длины отрезка независимо от направления луча М>0>М в данной плоскости видно и без применения теоремы Пифагора (пользуемся равенством прямоугольных треугольников, имеющих общие катеты и равные гипотенузы). Теперь видно, что все точ­ки пересечения плоскости , с поверхностью шара лежат на од­ной окружности с центром М>0> и радиусом, равным. Напротив, любая точка этой окружности удалена от центра шара на расстояние, равное , и потому лежит на поверхности шара (равно как и в плоскости ) и, значит, принадлежит рассматриваемой линии пересечения. Из этого видно, что линия пересечения - полная окружность, а не какая-либо часть ее.

Итак, если длина перпендикуляра, опущенного из центра О шара радиуса R на данную плоскость, равна d, то:

    при d>R плоскость не пересекает шара;

    при d = R плоскость касается шара в одной точке, радиус,
    проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости;

    при d<R плоскость пересекает шар по окружности, цент­
    ром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из

центра шара на плоскость, а радиус равен.

В частности, плоскость, проходящая через центр шара, пере­секает его по окружности максимально возможного радиуса, равного радиусу шара R. Такие сечения шара плоскостями, про­ходящими через его центр, называются большими кругами шара.

Для наглядности вышеизложенного материала я предлагаю решить две небольшие задачи.

Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельны­ми плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R>1> и R>2>. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO>1> (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО>2> находится по трем сторонам 00>1> = d, R>1> R>2> и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пе­ресечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе­кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем слу­чае она будет называться касатель­ной к шару.

2.3. Принцип Кавальери. Нахождение объёма шара с помощью принципа Кавальери.

В Европе XVII-ХVIII веков и, прежде всего, в экономически развитых государствах, укреплялся новый общественный строй - капитализм. Составной частью этого процесса была техническая революция - переход от мануфактурной промышленности к фабричной и, как следствие, серия изобретений, среди которых - создание паровой машины. Стремительное развитие математики в эту эпоху было обусловлено также усовершенствованием машин для предприятий, изобретением огнестрельного оружия и книгопечатания, постройкой судов для океанского плавания. Возникла необходимость теоретического и научного изучения движения, изменения вообще.

Открытия в астрономии, связанные с именами Н. Коперника и И. Кеплера, позволили по-новому взглянуть на место человека во Вселенной и его умение рациональным образом объяснить астрономические явления. Законы небесной механики дали возможность дополнить законы Земли.

И. Кеплер практически всю свою жизнь посвятил изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической системы Коперника. Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он в 1609-1619 гг. открыл три закона движения планет, носящие его имя, среди которых закон, связанный с площадью сектора.

Задача вычисления секториальных площадей требовала умения пользоваться бесконечно малыми величинами. Этих знаний недоставало и для решения других задач практического характера. Круг, в представлении Кеплера, состоял из бесконечно большого числа треугольников с общей вершиной в центре, а шар - из бесконечно большого числа утончающихся пирамид с вершинами в его центре. Книга ученого «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) произвела большое впечатление на читателей, так как в ней был описан доступный метод определения объема 93 различных тел вращения (бочек). Каждому из них он дал оригинальное название: лимон, груша, чалма и т. п. Кеплер заменял неизвестный объем известным путем деления данного тела на сколь угодно малые части и образования из них нового тела (быть может, путем деформации), объем которого можно найти. Доказательства были нестрогими, и это вызывало много споров у математиков. Как видим, Кеплер получил новый результат весьма простым приемом. «Стереометрия винных бочек» - первая работа того времени, вводящая в геометрию бесконечно малые величины и принципы интегрального исчисления, хотя, как говорил сам ученый во введении к этой книге, поводом и целью написания труда первоначально явился частный и практический вопрос об измерении объема винных бочек с помощью одного промера их поперечной длины. Интерес математиков сосредотачивался главным образом на общих принципах определения объемов тел вращения с помощью бесконечно малых величин.

Среди таких математиков был итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых». Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе, зато у Кавальери в 1635 г. вышла книга «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин». При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например, разрезать на части и составлять новые (так называемые равносоставленные фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами. Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев - «неделимых» или «нитей» и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами.

Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды.

Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными некоторой заданной.

Однако интегральное исчисление содержит общие методы для вычисления площадей и объемов, причем там, где применение принципа Кавальери требовало нестандартных построений, к успеху приводят стандартные вычисления, и постепенно принцип Кавальери отошел в область истории. Но поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все «школьные» объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому.

Видный советский ученый, историк математики, профессор Д. Д. Мордухай-Болтовский (1876—1952), которому принадле­жит самый совершенный русский перевод «Начал» Евклида с об­стоятельными комментариями, дал интересный вывод формулы объема шара на основе принципа Кавальери.

Вот это доказатель­ство.

Поместим между двумя парал­лельными плоскостями полусфе­ру АВС и цилиндр A'B'C'D' (рис. 6) с основанием того же радиуса R, что и шар, и с высо­той, равной радиусу, с входящим в него конусом C'D'O', который имеет своим основанием верхнее основание цилиндра, а верши­ной — центр нижнего основания.

На основании принципа Кавальери мы вправе сделать за­ключение, что объем шара равен объему тела, получаемого вырезыванием конуса из цилиндра. В самом деле, легко видеть, что круг ab, полученный в сечении сферы плоскостью , равновелик с кольцом a'c'd'b', получаемым в сечении вышеуказанного тела той же самой плоскостью. Действительно, на основании теоремы Пифагора в полусфере

, где , (2.3.1)

и, следовательно, площадь сечения ab равна

; (2.3.2)

с другой стороны, площадь круга а'b'

(2.3.3)

а так как, очевидно, радиус круга c'd' равен k, то площадь круга c'd'

(2.3.4)

Следовательно, площадь кольца a'c'd'b' равна

(2.3.5)

Замечая далее, что объем цилиндра равен , а объем конуса , мы получаем для объема полусферы величину , а для объема всей сферы

(2.3.6)

2.4. Интегральное исчисление. Понятие интеграла.

Мы с вами познакомились с принципом Кавальери, который довольно близок к другому методу нахождения объёмов тел – методу интегрирования. Этот метод основывается, как уже можно было догадаться, на интегральном исчислении.

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести.

В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейбниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от упомянутых частных геометрических задач. Тем самым была установлена связь между интегральным и дифференциальным исчисле­нием.

Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера. Труды М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева завершили развитие этих методов.

С моей точки зрения будет полезно ввести понятие интеграла, так как для рассмотрения такого вопроса, как объём тела, не только шара или сферы, очень часто используется интеграл.

Понятие об интеграле.

Пусть линия MN (рис.7) дана уравнением

,

и надо найти площадь «криволинейной трапеции» aABb.

Разделим отрезок ab на n частей (равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на рис.7. Её площадь равна

(2.4.1)

Если ввести обозначения

(2.4.2)

то формула 1 имеет вид

(2.4.3)

Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно большём n. Лейбниц ввел для этого предела обозначение

(2.4.4)

в котором (курсивное s) — началь­ная буква слова summa (сумма), а вы­ражение уdx указывает типичную форму отдельных слагаемых.

Выражение Лейбниц стал называть интегралом — от латин­ского слова integralis — целостный») Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, при­дав ему вид

(2.4.5)

Здесь явно указаны начальное и конечное значения x. Теперь понятно, что интеграл используется для того, чтобы освободить нас от некоторых громоздких вычислений (порой, как в данном примере, весьма и весьма однообразных, а также требующих огромного внимания, т.к. даже малейшая неточность может повлечь за собой существенные расхождения с правильным ответом), а так же по ряду других причин, углубляться в которые сейчас нет никакого смысла.

2.5. Вычисление объёмов тел с помощью интеграла.

Рассмотрим способ вычисления объемов тел, основанный на понятии интеграла, которое известно из курса алгебры и на­чал анализа.

Пусть тело Т, объем которого нужно вычислить, заключено между двумя параллельными плоскостями и (рис. 8). Вве­дем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикуляр­на к плоскостям и , и обозначим буквами а и Ь абсциссы точек пересечения оси Ох с этими плоскостями (а<b). Будем счи­тать, что тело таково, что его сечение Ф(х) плоскостью, прохо­дящей через точку с абсциссой х и перпендикулярной к оси Ох, является либо кругом, либо многоугольником для любого (при х = а и х = b сечение может вырождаться в точку, как, например, (при х=а на рисунке 8). Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(х) и предположим, что S(х) — непрерыв­ная функция на числовом отрезке [а; b]. Разобьем числовой отрезок [а;b] на п равных отрезков точ­ками и через точки с абсциссами про­ведем плоскости,

перпендикулярные к оси Ох (рис. 9). Эти плос­кости разбивают тело Т на п тел: . Если сечение — круг, то объем тела (заштрихованного на рисунке 9) приближенно равен объему цилиндра с основанием и высотой . Если — многоугольник, то объем тела приближенно равен объему прямой призмы с основанием и высотой . И в том и в другом случае объем тела приближенно равен , а объем V всего тела T можно при­ближенно вычислить по формуле

(2.5.1)

Приближенное значение > > объема тела Т тем точнее, чем больше п и, следовательно, меньше > >. Примем без доказательства, что > > равен объему тела, т.е. > >. С другой стороны,

сумма V>n> является интегральной суммой для непрерывной функции S(х) на числовом отрезке [а;b], поэтому > >.

Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема

тела с помощью интеграла:

> >. (2.5.2)

Назовем ее основной формулой для вычисления объемов тел.

2.6. Объём шара.

После столь длительных подготовок, мы, основываясь на теоретических знаниях изложенных выше, можем приступить к доказательству теоремы о вычислении объёма шара с помощью определённого интеграла.

Теорема. Объём шара радиуса R равен> >.

Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 10). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходя­щей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х — абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямо­угольного треугольника ОМС находим:

. (2.6.1)

Так как , то

. (2.6.2)

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х, удовлетворяющих условию . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при , , получим

. (2.6.3)

Теорема доказана.

2.7. Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсе­ченная от него плоскостью (рис. 11). Всякая плоскость, пересекающая шар, разби­вает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рас­суждений из рис. 11, стоит лишь веять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию. Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте х от плоскости основания полушара, т.е. на расстоянии от верхней точки полушара. Величина h называется стрелкой сегмента. Искомый объем будет равен раз­ности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен , то получаем для объема сегмента

. (2.7.1)

Раскрывая скобки и упрощая выражение, приведем его к виду

. (2.7.2)

Эта формула выведена для сегмента, стрелка которого не превосходит радиуса шара. Она остается верна и для сегмента c любой стрелкой . Пусть сегмент со стрелкой - дополнительный к сегменту со стрелкой . Вычислим его объём как разность объёмов шара и сегмента со стрелкой h:

. (2.7.3)

Заменим здесь h через 2R-h>1>:

. (2.7.4)

Раскрывая скобки и производя упрощения, получим

, (2.7.5)

т.е. такую же формулу, что и раньше.

Интересен вывод формулы объёма шарового сегмента с помощью определённого интеграла.

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h ( на рисунке 12 h=AB), то V шарового сегмента вычисляется по формуле

. (2.7.6)

Действительно, проведём ось Ox перпендикулярно к плоскости (рис. 12). Тогда площадь S(x) произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ox, выражается формулой (1) при . Применяя основную формулу для вычисления объёмов тел при , получим

. (2.7.7)

Как видите, вычисление объёмов тел с помощью интеграла даёт большой выигрыш во времени.

2.8. Шаровой слой. Объём шарового слоя.

Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями(рис. 13). Объём шарового слоя можно найти как разность объёмов двух шаровых сегментов, и запоминать отдельную формулу для его вычисления нет надобности.

2.9. Шаровой сектор. Объём шарового сектора.

Рассмотрим конус вращения с вершиной в центре шара (рис. 14). Часть шара, лежащая внутри такого конуса, называется шаровым сектором. Шаровой сектор разлагается на два тела: шаровой сегмент высоты h и конус высоты R-h. Шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности. Ее радиус равен

. (2.8.1)

Плоскость этой окружности и разбивает сектор на две указанные части. Для объёма сектора находим, пользуясь формулами, выражающими объёмы сегмента и конуса:

Если - угол между осью и образующей конуса, то

(2.8.3)

и формула для объёма сектора примет вид

. (2.8.4)

Предлагается решить пару интересных задач на изложенный выше материал.

Задача 1. Найти объём сегмента, отсекаемого от шара радиуса R гранью вписанного в шар куба (при её продолжении).

Решение. Диагональ куба, вписанного в шар, является диаметром шара. Отсюда имеем для ребра куба , (рис. 15). Стрелка сегмента, объём которого мы должны определить, равна

и по формуле для объёма сегмента находим

.

Ответ: V>сегм>=.

Задача 2. Найти объем шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду с ребром основания, равным а, и плоским углом при вершине, равным а (рис. 16).

Решение. В этой, как и в других аналогичных задачах, полезно использовать общее замечание, относящееся к вычисле­нию радиуса шара, вписанного в выпуклый многогранник (т. е. касающегося каждой из граней). Представим себе, что в центре шара мы поместим вершину ряда пирамид, основаниями которых будут грани многогранника. Радиус шара будет служить высотой каждой из этих пирамид. Тогда объем многогранника V можно вычислить как сумму объемов указанных пирамид; объем каж­дой из них будет равен одной трети произведения ее высоты (т. е. радиуса вписанного в многогранник шара) на площадь ее основания (т. е. на площадь соответствующей грани многогран­ника). Сумма объемов пирамид будет равна одной трети произ­ведения радиуса вписанного шара на полную поверхность мно­гогранника: . В нашем случае площадь основания пирамиды (рис. 16)

;

площадь одной из боковых граней

;

полная площадь поверхности пирамиды

.

Высота пирамиды MM>0>, как катет треугольника MM>0>K, равна

.

Объём пирамиды

.

Для радиуса вписанного шара находим

; .

Ответ: .

2.10. Площадь поверхности шара.

Здесь даётся очень простой, хотя и не совсем строгий вывод формулы для площади сферической поверхности; по своей идее он очень близок к методам интеграль­ного исчисления. Итак, пусть дан неко­торый шар радиуса R. Выделим на его поверхности какую-либо малую область (рис. 17) и рассмотрим пирамиду или конус с вершиной в центре шара О, имеющие эту область своим осно­ванием; строго говоря, мы лишь условно говорим о конусе или пирамиде, так как основание не плоское, а сферическое. Но при малых размерах основания по сравнению с радиусом шара оно будет весьма мало отличаться от плоского (так, на пример, при измерении не очень большого земельного участка пренебрегают тем, что он лежит не на плоскости, а на сфере). Тогда, обозначая через площадь этого участка—основание «пирамиды», найдем ее объем как произведение одной трети вы­соты на площадь основания (высотой служит радиус шара):

. (2.10.1)

Если теперь всю поверхность шара разложить на очень большое число N таких малых областей , тем самым объем шара—на N объемов «пирамид», имеющих эти области своими основаниями, то весь объем представится суммой

, (2.10.2)

где последняя сумма равна полной поверхности шара:

. (2.10.3)

Итак, объем шара равен одной трети произведения его радиуса на площадь поверхности. Отсюда для площади поверхности имеем формулу

, (1.10.4) или . (2.10.5)

Последний результат формулируется так:

Площадь поверхности шара равна учетверенной площади его большого круга.

2.11. Площадь поверхности сектора шара.

Приведенный вывод пригоден и для площади поверхности сектора шара (имеем в виду только основание, т. е. Сферическую поверхность, или «шапочки»; см. рис. 14). И в этом случае объем сектора равен одной трети произведения радиуса шара на площадь его сферического основания:

, (2.11.1)

откуда находим для площади шапочки формулу

. (2.11.2)

2.12. Площадь поверхности шарового пояса.

Шаровым поясом (см. рис. 13) называют сферическую поверх­ность шарового слоя. Чтобы вычислить площадь поверхности шарового пояса, находим разность поверхностей двух сфери­ческих шапочек:

, (2.12.1)

или

, (2.12.2)

где h—высота слоя. Итак, площадь поверхности шарового пояса для данного шара зависит только от высоты соответствующего слоя, но не от его положения на шаре.

Как и при изучении предыдущего материала, я хочу показать одну задачу на данную тему.

Задача. Боковая поверхность конуса, описанного вокруг шара, имеет площадь, равную полуторной площади поверхности шара. Найти высоту конуса, если

радиус шара равен .


Решение. Введем для удобства угол а между высотой и образующей конуса (рис. 18). Найдем для высоты, радиуса основания и образующей конуса выражения

,,

.

Площадь боковой поверхности конуса равна

.

По условию задачи имеем уравнение

,

откуда для получается квадратное уравнение

; ;

решая его, имеем для два значения:

, ,

которым отвечают два условия поставленной задачи:

, .

Ответ: , .

3.Задачи.

3.1 Задачи на поверхности.

Задача №1.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, а боковое ребро равно 2a. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

Решение:

SO – высота пирамиды; SO=h.

Пусть O – центр основания пирамиды, M – середина BC, AM – высота в .

.

Центры обеих сфер лежат на прямой SO, SO плоскости ABC. Найдём R – радиус описанной сферы. Продолжим SO до пересечения с описанной сферой в точке D. SD – диаметр шара, . Из подобия треугольников и :

.

,

.

Проведём отрезок SM.

Из .

, поэтому из :

Найдём радиус r вписанной сферы.

Пусть Q – центр вписанного шара, тогда в QM – биссектриса .

.

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:

, .

,

Ответ: .

Задача №2.

В правильной четырёхугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Решение:

Продолжим высоту пирамиды PH до пересечения со сферой в точке Q. PQ – диаметр, центр описанной сферы лежит на высоте PH, или на её продолжении за точку H. Соединим отрезком точку A с точкой H. Рассмотрим сечение плоскостью APQ.

как опирающийся на диаметр,

Пусть a – сторона основания, тогда .

Тогда .

Проведём , отрезок PL. , плоскость плоскости . Пусть O – центр вписанной сферы, - биссектриса .

.

Пусть .

;

.

Из .

Решим систему:

Разделим обе части на .

Ответ: см; 8 см или 6 см, см.

3.2 Задачи на объёмы тел.

Задача №3

В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Какое боковое ребро составляет с основанием угол . Найдите площадь поверхности и объём шара.

Решение:

Проведём высоту пирамиды MF; проведём отрезки

FA, FB, FC, FD.

, так как они прямоугольные, MF – общий катет, - по условию. Таким образом, FA=FC=FB=FD, точка F равноудалена от вершин основания, то есть является центром описанной около основания окружности. Нарисуем сечение пирамиды и шара плоскостью AMC. Точка O – центр шара, . По теореме синусов в :

, где R – радиус шара.

.

Площадь поверхности шара:

(см2).

Объём шара:

(см3).

Ответ: .

Задача №4

Цистерна имеет форму цилиндра ,к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?

Дано: . .

- шаровые сегменты.

Решение:

, где

Ответ: м.

4. Заключение.

Итак, при прочтении и изучении данного материала вы, надеюсь, узнали о шаре и сфере несколько больше чем ранее. Проделан немалый путь: вы ознакомились с понятиями шара и сферы, увидели доказательства важных теорем, а также пронаблюдали решения некоторых интересных задач. Автору реферата будет очень приятно если эти знания смогут вам помочь в дальнейшей деятельности. При написании этой работы я узнал весьма интересные сведения: более широкое понятие шара и сферы, принцип Кавальери. Также мои знания укрепились в области работы с интегральным исчислением. Несомненно, были трудности при подборе и изучении некоторых задач. При освещении данной проблемы мне очень помогли следующие книги: Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с., Энциклопедия элементарной математики кн. IV, V. /Под ред. В. И.Битюукова, И. Е, Морозовой, М.: Наука, 1966.- 624 с., Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классов6 Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики./А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - 3-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 1992.- 464с.

5. Литература.

    Адамар Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия : Пособие – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958.- 760 с.

    АбрамовА.М, Виленкин Н.Я, ДорофеевГ.В, и др Избранные вопросы маиематики10 кл.: Факультативный курс./Под ред. ФирсоваВ.В/--М. : Просвещение 1980.

    Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классов6 Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики./А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - 3-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 1992.- 464с.

    Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классов средней школы.-М: Просвещение, 1992.- 208.

    Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с.

    Глаголев Н. А. Проективная геометрия: Учеб. Пособие. – 2 –ое изд. испр. и доп. – М.: высш. школа, 1963. – 344 с.

    Давидов А. Начала тригонометрии: 3-е изд., 1885 г.

    Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ / Под ред. И с предсл. В. И. Аршинова, Ю. В. Сачкова. – М.: Мир, 1988. – 295 с., ил.

    Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч II. Геометрия в пространстве: учеб. для пед. инст-ов. –М. Л.: гос. изд-во техн-теоретич. литер. 1949 г. – 333 с.

    Трайнин Я. А. Основания геометрии: Пособие для пед. институтов /Под ред. Ю. И. Сорокина. – М.: гос. учеб. под-ое изд-во мин. просв. РСФСР 1961.-326 с.

    Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике.-М.:Просвещение, 1995.-240 с.:

    Энциклопедия элементарной математики кн. IV, V. /Под ред. В. И.Битюукова, И. Е, Морозовой, М.: Наука, 1966.- 624 с.

TYPE=RANDOM FORMAT=PAGE>26


Министерство образования Российской Федерации

Средняя школа №20

РЕФЕРАТ

ТЕМА: «Шар и сфера»

Выполнил: ученик 11 класса А

Плеханов Александр

Владимир, 2003

1. Оглавление.

    Вступление.

    Шар и сфера.

      Шар и шаровая поверхность.

      Взаимное расположение шара и плоскости.

      Принцип Кавальери. Нахождение объёмов тел с помощью принципа Кавальери.

      Интегральное исчисление. Понятие интеграла.

      Вычисление объёмов тел с помощью интеграла.

      Объём шара.

      Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента.

      Шаровой слой. Объём шарового слоя.

      Шаровой сектор. Объём шарового сектора.

      Площадь поверхности шара.

      Площадь поверхности сектора шара.

      Площадь поверхности шарового пояса.

3.Задачи.

3.1 Задачи на поверхности.

3.2 Задачи на объёмы тел.

4.Заключение.

5.Литература.

1.Вступление.

На протяжении многих веков человечество не переставало пополнять свои научные знания в той или иной области науки. Стереометрия, как наука о фигурах в пространстве, неотъемлемо связана со многими из научных дисциплин. К таким дисциплинам относятся: математика, физика, информатика и программирование, а также химия и биология. В последних стоит проблема изучения микромира, который представляет собой сложнейшую комбинацию различных частиц в пространстве относительно друг друга. В архитектуре постоянно используются теоремы и следствия из стереометрии.

Множество учёных геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его «оболочкой», носящей название сфера. Удивительно, но шар является единственным телом, обладающим большей площадью поверхности при объёме, равном объёму других сравниваемых тел, таких как куб, призма или прочие всевозможные многогранники. С шарами мы имеем дело ежедневно. К примеру, почти каждый человек пользуется шариковый ручкой в конец стержня которой вмонтирован металлический шар, вращающийся под действием сил трения между ним и бумагой и в процессе поворота на своей поверхности шар «выносит» очередную порцию чернил. В автомобильной промышленности изготавливаются шаровые опоры, являющиеся очень важной деталью в автомобиле и обеспечивающей правильный поворот колёс и устойчивость машины на дороге. Элементы машин, самолётов, ракет, мотоциклов, снарядов, плавательных судов, подвергающиеся постоянным воздействиям воды или воздуха, преимущественно имеют какие либо сферические поверхности, называемые обтекателями.

В своём реферате я дал понятие шара и сферы, привёл некоторые свойства этих тел. Был рассмотрен принцип Кавальери, позволяющий более просто вычислять объёмы тел. С помощью принципа Кавальери мною приведено доказательство формулы объёма шара. По каждому вопросу я постарался привести несколько показательных задач. В реферате имеются некоторые исторические сведения, так же по каждой из рассмотренных тем. При написании этой работы, на каждом этапе разработки, одной из главных моих задач являлось предание определённого уровня читабельности тексту, потому что анализ чужой работы – дело нелёгкое и ответственное.

Основными этапами работы над данной темой явились: подборка соответствующей литературы, изучение нужного для работы материала, систематизация материала (план), применение к конкретным задачам, а также практическое применение.