Формула Шлетца

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p_>1>,p_>2>).

А_>1>- аффинная прямая. Отнесем прямую А_>1>_> >к подвижному реперу r = {a,e}, где а иe соответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= e , de= We (1),

причем формы Пфаффа  и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D  = W , DW=WW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =e + de + 1/2d²e + 1/6d³e +... по отношению к вектору е. Тогда e* =e*e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора e* , близкого к e , по отношению к e.

Пусть R(p_>1>,p_>2>) – пространство всех пар (p_>1>,p_>2>) точек p_>1>,p_>2>_> > прямой А_>1>_>.> Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р_>1>р_>2>, а конец вектора е – в точку р_>1>; при этом р_>2>_> >совместится с концом вектора -е.

Условия стационарности точек р_>1> и р_>2> в таком репере имеют соответственно вид: W+=0, -W+=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р_>1>,р_>2>) являются формы Пфаффа : W+ , -W+.

Очевидно, что dim R(p_>1>,p_>2>)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р_>1>*р_>2>*, близкого к р_>1>р_>2>,по отношению к р_>1>р_>2>.

§ 2. Отображение f.

А_>2> – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,e_>j>}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А_>2> имеют соответственно вид :dp=W^je_>j> ; de_>j>= W_>j> ^k;

DW^j=W^k^W_>k>^j ; DW^j=W_>j>^y^W_>y>^k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А_>2> в пространстве R(p_>1>,p_>2>):f:A_>2>R(p_>1>,p_>2>).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f^-1(p_>1>,p_>2>). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=_>j>W^j ; Q-W=_>j>W^j (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f^-1: R(p_>1>,p_>2>)A_>2> обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f^-1 имеют вид :

W^j=^j(Q+W)+^j(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

^k_>j>+^k_>j>=_>j>^k

^j_>j>=1

^j_>j>=1 (*)

^j_>j>=0

^j_>j>=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А_>1> и А_>2> будем называть репером нулевого порядка отображения f.

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λ_>j>W^j-W-Q)=0,

получаем :

dλ_>j>=λ_>k>W_>j>^k+1\4(λ_>j>μ_>k>-λ_>k>μ_>j>)W^k+λ_>jk>W^k

D(μ_>j>W^j+W-Q)=0

получаем :

dμ_>j>=μ_>k>W_>j>^k+1\4(λ_>j>μ_>k>-λ_>k>μ_>j>)W^k+μ_>jk>W^k

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λ_>j>W^j

Q-W=μ_>j>W^j

dλ_>j>=λ_>k>W_>j>^k+1\4(λ_>j>μ_>k>-λ_>k>μ_>j>)W^k+λ_>jk>W^k

dμ_>j>=μ_>k>W_>j>^k+1\4(λ_>j>μ_>k>-λ_>k>μ_>j>)W^k+μ_>jk>W^j

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г_>1>={λ_>j>,μ_>j>} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

dλ_>k>^W_>j>^k+λ_>k>dW_>j>^k+1\4(λjμ_>k>-λ_>k>μ_>j>)^W^k+1\4(λ_>j>μ_>k>-λ_>k>μ_>j>)dW^k+dλ_>jk>^W^k+λ_>jk>dW^k=0.

получим:

(dλ_>jt>-λ_>kt>W_>j>^k-λ_>jk>W_>t>^k+1\4(λ_>k>μ_>jt>-μ_>k>λ_>jk>)W^k+1\16λ_>t>μ_>k>(λ_>j>-μ_>j>)W^k)^W^t=0

dμ_>k>^W_>j>^k+μ_>k>dW_>j>^k+1\4d(λ_>j>μ_>k>-λ_>k>μ_>j>)^W^k+1\4(λ_>j>μ_>k>-λ_>k>μ_>j>)dW^k+dμ_>jk>^W^k+μ_>jk>dW^k=0

получим:

(dμ_>jt>-μ_>kt>W_>j>^k-μ_>jt>W_>t>^k+1\4(λ_>k>μ_>jt>-μ_>k>λ_>jt>)W^k+1\16λ_>t>μ_>k>(λ_>j>-μ_>j>)W^k)^W^t=0

обозначим:

λ_>j>=dλ_>j>-λ_>t>W_>j>^t

μ_>j>=dμ_>j>-μ_>t>W_>j>^t

λ_>jk>=dλ_>jk>-λ_>tk>W_>k>^t-λ_>jt>W_>k>^t

μ_>jk>=dμ_>tk>W_>j>^t-μ_>jt>W_>k>^t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:

Q+W=λ_>j>W^j

Q-W=μ_>j>W^j

dλ_>j>=λ_>k>W_>j>^k+1\4(λ_>j>μ_>k>-λ_>k>μ_>j>)W^k+λ_>jk>W^k

dμ_>j>=μ_>k>W_>j>^k+1\4(λ_>j>μ_>k>-λ_>k>μ_>j>)W^k+μ_>jk>W^k (4)

λ_>jk>=(1\4(μ_>α>λ_>jk>-λ_>α>μ_>jk>)+1\16λ_>k>μ_>α>(μ_>j>-λ_>j>)+λ_>jkα>)W^α

μ_>jk>=(1\4(μ_>α>λ_>jk>-λ_>α>μ_>jk>)+1\16λ_>k>μ_>α>(μ_>j>-λ_>j>)+μ_>jkα>)W^α

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г_>2>={λ_>j>,μ_>j>,λ_>jk>,μ_>jk>} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г_>Р> порядка р :

Г_>Р>={λ_>j>,μ_>j>,λ_>j1j2>,μ_>j1j2>,...,λ_>j1j2...jp>,μ_>j1j2...jp>}.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ_>j>},{μ_>j>} образует подобъекты геометрического объекта Г_>1>. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λ_>j>X^j=1 ; μ_>j>X^j=1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λ^j,μ^j} являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ^j,μ^j} охватываются объектом Г_>1>.

Из (*) получаем:

dλ^j=-λ^kW_>k>^j-1\4(λ^j+μ^j)μ_>t>W^t-λ_>kt>λ^kλ^tW^t-μ_>kt>W^t^λ^kμ^j

dμ^j=-μ^kW_>k>^j-λ_>kt>μ^kλ^jW^t-μ_>kt>μ^kμ^jW^t+1\4λ_>t>(λ^j+μ^j)W^t

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г_>1>. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v_>1>=λ^je_>j>_> >(вектора v_>2>=μ^je_>j>) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

λ_>j>X^j=0 , μ_>j>X^j = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы {λ^j} и {μ^j} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λ_>j>X^j=1

V_>2>

V_>1> μ_>j>X^j=1

Система величин ρ_>j>=λ_>j>-μ_>j> образует ковектор: dρ_>j>=ρ_>k>W_>j>^k+(μ_>jk>-λ_>jk>)W^k.

Определяемая им прямая ρ_>j>X^j=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).

Пусть W-однородное подмногообразие в R(p_>1>,p_>2>) содержащее элементы (р_>1>,р_>2>) определяемое условием: (р_>1>^*,р_>2>^*)∈W↔p_>1>^*p_>2>^*=p_>1>p_>2>.

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f^-1(W) многообразия W при отображении f.

Доказательство:

] (p_>1>^*,p_>2>^*)∈W и p_>1>^*=p_>1>+dp_>1>+1\2d²p_>1>+... ,

p_>2>^*=p_>2>+dp_>2>+1\2d²p_>2>+... .

Тогда в репере Г: p_>1>^*p_>2>^*=e p_>1>p_>2>, где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р_>1>^*р_>2>^* по отношению к р_>1>р_>2>. Таким образом, (р_>1>^*р_>1>^*)∈W↔W=0.

Из (2) получим: W=ρ_>1>W^j

Следовательно, (р_>1>^*р_>2>^*)∈W равносильно ρ_>j>W^j=0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р_>1>,р_>2>)∈R(p_>1>p_>2>) определяется функция h: (p_>1>^*p_>2>^*)∈h(p_>1>p_>2>)→e∈R, так, что р_>1>^*р_>2>^*=е р_>1>р_>2>

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f^-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f^-1(W).

]W_>1>,W_>2>- одномерные многообразия в R(p_>1>p_>2>), содержащие элемент (р_>1>р_>2>) и определяемые соответственно уравнениями:

(p_>1>^*,p_>2>^*)єW_>1>↔p_>2>^*=p_>2>.

(p_>1>^*,p_>2>^*)єW_>2>↔p_>1>^*=p_>1>.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W_>2> (многообразия W_>1>) при отображении f.

Дифференциальные уравнения линии f^-1(W_>1>) и f^-1(W_>2>) имеют соответственно вид:

λ_>j>W^j=0

μ_>j>W^j=0.

Пусть W_>0>- одномерное подмногообразие в R(p_>1>p_>2>), содержащее (р_>1>р_>2>) и определяемое условием: (p_>1>^*p_>2>^*)єW_>0>↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р_>1>^*р_>2>^*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая (λ_>j>+μ_>j>)X^-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f^-1(W_>0>) многообразия W_>0> при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f^-1(W_>0>) имеет вид: (λ_>j>+μ_>j>)W^j=0.

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f^-1(W_>1>), f^-1(W_>2>), f^-1(W), f^-1(W_>0>) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.

Рассмотрим отображения:

П_>1>: (р_>1>,р_>2>)∊R(p_>1>,p_>2>)→p_>1>∊A_>1> (5.1)

П_>2>: (р_>1>,р_>2>)∊R(p_>1>,p_>2>)→p_>2>∊A_>1> (5.2)

Отображение f: A_>2>→R(p_>1>,p_>2>) порождает точечные отображения:

φ_>1>=П_>1>∘f: A_>2>→A_>1> (5.3)

φ_>2>=П_>2>∘f: A_>2>→A_>1> (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ_>1> и φ_>2> меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г_>1,2>={λ_>j>,λ_>jk>} и Г_>2,2>={μ_>j>,μ_>jk>} объекта Г_>2> являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ_>1> и φ_>2>.

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λ_>j>X^j+1/2λ_>jk>X^jX^k+1/4λ_>y>ρ_>k>X^jX^k+<3>, (5.5)

y=-1+μ_>j>X^j+1/2μ_>jk>X^jX^k+1/4μ_>y>ρ_>k>X^jX^k+<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λ_>jk>=λ_>jk>+1/4(λ_>j>ρ_>k>+λ_>k>ρ_>j>),

Μ_>jk>=μ_>jk>+1/4(μ_>j>ρ_>k>+μ_>k>ρ_>j>)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λ_>j>X^j+1/2Λ_>jk>X^jX^k+<3> (5.7)

y=-1+μ_>j>X^j+1/2Μ_>jk>X^jX^k+<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А_>2>, в котором выполняется:

λ_>1 > λ_>2> 1 0

=

μ_>1> μ_>2> 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X¹+1/2Λ_>jk>X^jX^k+<3> (5.9),

y=-1+X²+1/2Μ_>jk>X^jX^k+<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

G_>jk>=1/2(λ_>j>μ_>k>+λ_>k>μ_>j>)

Из (3.1) получим:

dG_>jk>=1/2(dλ_>j>μ_>k>+λ_>j>μ_>k>+dλ_>k>μ_>j>+λ_>k>dμ_>j>)=1/2(μ_>k>λ_>t>W_>j>^t+1/4λ_>j>μ_>k>μ_>t>W^t-1\4μ_>k>μ_>t>λ_>t>W^t+μ_>k>λ_>jt>W^t+λ_>j>μ_>t>W_>k>^t+

+1/4λ_>j>λ_>k>μ_>t>W^t-1/4μ_>j>λ_>k>μ_>t>W^t-1/4μ_>j>λ_>t>μ_>k>W^t+μ_>j>λ_>kt>W^t+λ_>k>μ_>t>W_>j>^t+1/4λ_>k>λ_>j>μ_>t>W^t-1/4λ_>k>λ_>t>μ_>j>W^t+

+λ_>k>μ_>jt>W^t),

dG_>jk>=1/2(μ_>k>λ_>t>+λ_>k>μ_>t>)W_>j>^t+1/2(λ_>j>μ_>t>+λ_>t>μ_>j>)W_>k>^t+G_>jkt>W^t,

где G_>jkt>=1/2(μ_>k>λ_>jt>+λ_>y>μ_>kt>+μ_>j>λ_>kt>+λ_>k>μ_>jt>-1/2μ_>j>μ_>k>λ^t+1/2λ_>j>λ_>k>μ_>t>-1/4λ_>j>μ_>k>λ_>t>+1/4λ_>j>μ_>k>μ_>t>+1/4μ_>j>λ_>k>μ_>t>-

-1/4μ_>j>λ_>k>λ_>t>) (6.3).

Таким образом, система величин {G_>jk>} образует двухвалентный тензор. Он задает в А_>2> инвариантную метрику G:

dS²=G_>jk>W^jW^k (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS²=θ²-W² (6.5) в R(p_>1>,p_>2>).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением G_>jk>W^jW^k=0 или

λ_>j>W^jμ_>k>W^k=0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V_>1> и V_>2> определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U^’) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU^’)

Теорема: Метрика dS²=θ²-W² совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p_>1>,p_>2>,p_>1>+dp_>1>,p_>2>+dp_>2>

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS²=θ²-W²

Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Г^l_>jk>=1/2G^tl(G_>tkj>+G_>jtk>-G_>jkt>)

п
севдоримановой связности G фундаментальным объектом Г_>2>={λ_>j>,μ_>j>,λ_>jk>,μ_>jk>}.

Он определяется формулой: Г^l_>jk>=λ^jΛ_>jk>+μ^lΜ_>jk>-λ^lλ_>t>λ_>k>+μ^lμ_>t>μ_>k>.

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

g_>jk>=λ_>j>λ_>k>+μ_>j>μ_>k> (7.1)

Из (3.1) получаем:

dg_>jk>=dλ_>j>λ_>k>+dλ_>k>λ_>j>+dμ_>j>μ_>k>+dμ_>k>μ_>j>=λ_>k>λ_>t>W_>j>^t+1/4λ_>k>λ_>j>μ_>t>W^t-1/4λ_>j>λ_>t>μ_>j>W^t+λ_>k>λ_>jt>W^t+λ_>j>λ_>t>W_>k>^t+

+1/4λ_>j>λ_>k>μ_>t>W^t-1/4λ_>j>λ_>t>μ_>k>W^t+λ_>j>λ_>kt>W^t+μ_>k>μ_>t>W_>j>^t+1/4μ_>k>λ_>j>μ_>t>W^t-1/4μ_>k>λ_>t>μ_>j>W^t+μ_>k>μ_>jt>W^t+

+μ_>j>μ_>t>W_>k>^t+1/4μ_>j>λ_>k>μ_>t>W^t-1/4μ_>j>λ_>t>μ_>k>W^t+μ_>j>μ_>kt>W^t.

dg_>jk>=(λ_>k>λ_>t>+μ_>k>μ_>t>)W_>j>^t+(λ_>j>λ_>t>+μ_>j>μ_>t>)W_>k>^t+g_>jkt>W^t, (7.2)

где g_>jkt>=1/2λ_>j>λ_>k>μ_>t>-1/2μ_>j>μ_>k>λ_>t>-1/4λ_>k>λ_>t>μ_>j>-1/4λ_>j>λ_>t>μ_>k>+1/4λ_>j>μ_>k>μ_>t>+1/4μ_>j>λ_>k>μ_>t>+λ_>k>λ_>jt>+λ_>j>λ_>kt>+

+μ_>k>μ_>jt>+μ_>j>μ_>kt> (7.3)

Таким образом, система величин {g_>jk>} образует двухвалентный тензор. Он задает в А_>2> инвариантную метрику g:

dS²=g_>jk>W^jW^k (6^’.4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6^’.4) соответствует при отображении f метрике:

dS²=2(θ²+W²) (6^’.5)

в R(p_>1>,p_>2>)

Из (6^’.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6^’.6)

или (λ_>j>X^j)²+(μ_>j>X^j)²=1 (6^’.7)

Из (6^’.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.

V_>1>

V_>2> рис.3.

Пусть g^jk=λ^jλ^k+μ^jμ^k (6.8)

В силу (2.7) имеем:

g^jtg_>tk>=(λ^jλ^t+μ^jμ^t)(λ_>t>λ_>k>+μ_>t>μ_>k>)=λ^jλ^k+μ^jμ^k=δ_>k>^j (6^’.9)

Таким образом, тензор g^jk является тензором взаимных к g_>jk>. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {λ^j} (вектора {μ^j}) соответствует в метрике g полю основного ковектора {λ_>j>} (ковектора {μ_>j>}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.

Доказательство:

λ^jλ^kg_>jk>=λ^jλ^kλ_>j>λ_>k>+λ^jλ^kμ_>j>μ_>k>=1,

μ^jμ_>k>g_>jk>=μ^jμ^kλ_>j>λ_>k>+μ^jμ^kμ_>j>μ_>k>=1,

λ^jμ^kg_>jk>=λ^jμ^kλ_>j>λ_>k>+λ^jμ^kμ_>j>μ^k=0.

Таким образом, f задает на А_>2> структуру риманова пространства (A_>2>,g_>f>).

В работе <2> был построен охват объекта

γ_>jk>^l=1/2g^tl(g_>tkj>+g_>jtk>-g_>jkt>)

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г_>2>={λ_>j>,μ_>j>,Λ_>jk>,Μ_>jk>}

Он определяется формулой:

γ_>jk>^l=λ^lΛ_>jk>+μ^lM_>jk>+G_>jk>(λ^l-μ^l)+1/2(λ^l+μ^l)(μ_>j>μ_>k>-λ_>j>λ_>k>),

где G_>jk>=1/2(λ_>j>μ_>k>+λ_>k>μ_>j>).