Теорема Штольца (работа 1)

Содержание работы:

    Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

    Применение теоремы Штольца:

    ;

    нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты > >;

    > >;

    > >.

    Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

    Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений > > типа > > часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта > >, причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и > > возрастает: > >. Тогда > >=> >,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу > >:

> >.

Тогда по любому заданному > > найдется такой номер N, что для n>N будет

или

> >.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби > >, > >, …, > >, > >лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y>n> вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь > >, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

> >.

Напишем теперь тождество:

> >,

откуда

> >.

Второе слагаемое справа при n>N становится <> >; первое же слагаемое, ввиду того, что > >, также будет <> >, скажем, для n>N’. Если при этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно, > >, что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

    Пусть, например, > >. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) > >, следовательно, вместе с y>n> и x>n>> >, причем варианта x>n> возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению > >

> >

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что > >, что и требовалось доказать.

    При а>1

> >

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:> >

> >

    Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта a>n>> >имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

> >

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты а>n>).

Действительно, полагая в теореме Штольца

X>n>=a>1>+a>2>+…+a>n, >y>n>=n,

Имеем:

> >

Например, если мы знаем, что > >,

то и > >

    Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

> >,

которая представляет неопределённость вида > >.

Полагая в теореме Штольца

x>n>=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,

будем иметь

> >.

Но

(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,

так что

nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…

и

> >.

    Определим предел варианты

> > ,

представляющей в первой форме неопределенность вида > >, а во второй – вида > >. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида > >:

> >.

Полагая x>n> равным числителю этой дроби, а y>n> – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

> >.

Но > >,

а > >,

так что, окончательно,

> >.

Пример 1.

> >=> >=> >=> >=> >=> >= > >=> >=> >=> >.

Пример 2.

> >=

=> >=

=> >=

=> >=

=> >=

=> >=

=> >.

Пример 3.

> >

=> >

=> >.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция > >, причем, начиная с некоторой x>k>, g(x>k>+1)>g(x>k>), т.е. функция возрастающая.

Тогда > >,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

> >.

Тогда, по определению предела > >

> >

или

> >.

Значит, какой бы > > ни взять, все дроби

> >, > >, …, > >

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(x>n>) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь > >, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при > >

> >.

Напишем тождество(которое легко проверить):

> >,

Откуда

> >.

Второе слагаемое справа при > > становится > >; первое же слагаемое, ввиду того, что > >, так же будет > >, скажем, для > >. Если при этом взять > >, то для > >, очевидно > >, что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

    > > очевидна неопределенность > >

> >=> >=> >=2

    > > неопределенность > >

> >=> >=> >=> >=0

    > > неопределенность > >

> >=> >=> >=> >

Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.