Структура сходящихся последовательностей

Удмуртский государственный университет


Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {x>n>} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x>n>-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {x>n>}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {x>n>} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа  можно указать номер N такой, что при nN все элементы x>n> этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|x>n>-a|<.


При этом число а называется пределом последовательности.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {x>n>}. Тогда, используя специальное представление для элементов x>n> сходящейся последовательности {x>n>}, получим x>n>=а+>n>, x>n>=b+>n>, где >n> и >n> – элементы бесконечно малых последовательностей {>n>} и {>n>}.

Вычитая данные соотношения, найдем >n>->n>=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {>n>->n>} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {>n>} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {x>n>} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

x>n>=а+>n>,


где >n>- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {>n>} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |>n>|А. Поэтому | x>n> |  |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {x>n>}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {x>n>-a} и {x>n+1>-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(x>n>-a) – (x>n+1>-a)}={x>n>– x>n+1>} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |x>n>– x>n+1>| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {х>n>} и {y>n>} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х>n>} и {y>n>}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х>n>} и {y>n>}. Тогда:

x>n>=а+>n>, y>n>=b+>n>,


где {>n>} и {>n>) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х>n> + y>n>) - (а + b) =>n>+>n>.

Таким образом, последовательность {(х>n> + y>n>) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х>n> + y>n>} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {х>n>} и {y>n>} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х>n>} и {y>n>}.


Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х>n>} и {y>n>}.Тогда:

x>n>=а+>n>, y>n>=b+>n>,


где {>n>} и {>n>) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х>n> - y>n>) - (а - b) =>n>->n>.

Таким образом, последовательность {(х>n> - y>n>) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х>n> - y>n>} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {х>n>} и {y>n>} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х>n>} и {y>n>}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х>n>} и {y>n>}, то x>n>=а+>n>, y>n>=b+>n> и x>n>y>n>=ab+a>n>+b>n>+>n>>n>. Следовательно,

x>n>y>n>-аb=a>n>+b>n>+>n>>n>.


(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a>n>+b>n>+>n>>n>} бесконечно малая, и поэтому последовательность {x>n>y>n>-аb} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {x>n>y>n>} сходится и имеет своим пределом число аb. Теорема доказана.

ЛЕММА: Если последовательность {y>n>} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

Доказательство: Пусть . Так как b0, то >0. Пусть N – номер, соответствующий этому , начиная с которого выполняется неравенство:

|y>n>-b|< или |y>n>-b|<


из этого неравенства следует, что при nN выполняется неравенство |y>n>|>. Поэтому при nN имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {x>n>} и {y>n>} при условии, что предел {y>n>} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x>n>} и {y>n>}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {y>n>} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {x>n>} и {y>n>}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как x>n>=а+>n>, y>n>=b+>n>, то

.
Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {x>n>}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству x>n>b (x>n>b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству аb (ab).

Доказательство: Пусть все элементы x>n>, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x>n>b. Предположим, что а<b. Поскольку а – предел последовательности {x>n>}, то для положительного =b-a можно указать номер N такой, что при nN выполняется неравенство

|x>n>-a|<b-a.

Это неравенство эквивалентно

-(b-a)<x>n>-a<b-a

Используя правое из этих неравенств мы получим x>n><b, а это противоречит условию теоремы. Случай x>n>b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Элементы сходящейся последовательности {x>n>} могут удовлетворять строгому неравенству x>n>>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если x>n>=1/n, то x>n>>0, однако .

Следствие 1: Если элементы x>n> и у>n> у сходящихся последовательностей {x>n>} и {y>n>}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x>n>  у>n>, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

.

Элементы последовательности {y>n>-x>n>} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

.

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {x>n>} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как аx>n>b, то acb.

ТЕОРЕМА: Пусть {x>n>} и {z>n>}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y>n>}удовлетворяют неравенствам x>n>y>n>z>n>. Тогда последовательность {y>n>} сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {y>n>-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства x>n>-а  y>n>-а  z>n>-а. Отсюда следует, что при nN’ элементы последовательности {y>n>-a} удовлетворяют неравенству

|y>n>-a|  max {|x>n>-a|, |z>n>-a|}.


Так как и , то для любого >0 можно указать номера N>1> и N>2> такие, что при nN>1> |x>n>-a|<, а при nN>2> |z>n>-a|<. Итак последовательность {y>n>-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

ПРИМЕРЫ

    Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было >0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число n>>, что n>>>. Поэтому для всех nn>>, а это означает, что .

    Последовательность сходится и , что следует из того, что

, и того, что .

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА № 1

Пусть числовая последовательность а>1>, а>2>, а>3>, … удовлетворяет условию

(m, n = 1, 2, 3, … ),

тогда последовательность

,…

должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

РЕШЕНИЕ:

Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань  конечна. Пусть >0 и +. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а>0>=0, имеем:

a>n>=a>qm+r>a>m>+a>m>+…+a>m>+a>r>=qa>m>+a>r>,

,

ЗАДАЧА № 2

Пусть числовая последовательность а>1>, а>2>, а>3>, … удовлетворяет условию

тогда существует конечный предел

,

причем

(n = 1, 2, 3, … ).

РЕШЕНИЕ:

Из неравенств 2a>m>-1<a>2m><2a>m>+1 получаем:

(*)

Ряд

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

|a>1>|+2-1+2-2+2-3+…

запишем целое число n по двоичной системе:

n=2m+>1>2m-1+>2>2m-2+…+>m> (>1>, >2>, …, >m> = 0 или 1)

согласно предположению

.

Применяя теорему (1) для данных:

s>0>=0, s>1>=, s>m-1>=, s>m>=, …, p>n0>=0, p>n1>=, …, p>n, m-1>=,

, p>n, m+1>=0, …,

заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:

.

ЗАДАЧА № 3

Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.

РЕШЕНИЕ:

Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s>1>, s>2>, …, s>n>, … ограничены. Пусть , , l - целое положительное число, l>2 и .

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

-, m+, m+2, …, M-2, M-, +.

Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |s>n>-s>n+1>|<. Пусть, далее, s>n1> (n>1>>N) лежит в первом интервале и s>n2> (n>2>> n>1>) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной . Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

ЗАДАЧА № 4

Пусть для последовательности t>1>, t>2>, … , t>n>, … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел …, что для каждого n

.

Тогда числа t>1>, t>2>, … , t>n>, …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.

ЗАДАЧА № 5

Пусть v>1>, v>2>, … , v>n>, … - положительные числа, v>1 > v>2 > v>3> … Совокупность предельных точек последовательности

, …

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА № 6

Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.

РЕШЕНИЕ:

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

РЕШЕНИЕ:

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

ЗАДАЧА № 8

Пусть l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l>n> меньше всех предшествующих ему членов последовательности l>1>, l>2>, l>3>, … , l>n-1>.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задано целое положительное число m и  – наименьшее из чисел l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>; >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем . Пусть n – наименьший номер, для которого l>n><. Тогда:

n>m; l>n><l>1>, l>n><l>2>, …, l>n><l>n-1>.

ЗАДАЧА № 9

Пусть l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l>n> превосходит все следующие за ним члены l>n+1>, l>n+2>, l>n+3>,…

ЗАДАЧА № 10

Пусть числовые последовательности

l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>, … (l>m>>0),

s>1>, s> 2>, s> 3>, … , s> m>, … (s>1>>0, s>m+1>>s>m>, m=1, 2, 3, …)

обладают тем свойством, что

, .

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

l>n>>l>n+1>, l>n>>l>n+2>, l>n>>l>n+3>, …

l>n>s>n>>l>n-1>s>n-1,> l>n>s>n>>l>n-2>s>n-2,> … l>n>s>n>>l>1>s>1,>

РЕШЕНИЕ:

Будем называть l>m> «выступающим» членом последовательности, если l>m> больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

,…

Каждый невыступающий член l>v> заключается (для v>n>1>) между двумя последовательными выступающими членами, скажем n>r-1><v<n>r>. Имеем последовательно:

,

значит

(*)

отсюда заключаем, что

Действительно, в противном случае , значит, в силу (*) и вся последовательность
l>1>s>1>, l>2>s>2>, … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и  – наименьшее из чисел ,… ; >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем . Пусть k – наименьший номер, для которого <. Тогда:

k>m; .

ЗАДАЧА № 11

Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n1, что n отношений


все не больше А, а бесконечное множество отношений

,…
все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

Имеем . Пусть минимум последовательности

L>0>-0, L>1>-A, L>2>-2A, L>3>-3A, …

Будет L>n>-nA; тогда

L>n-u>-(n-u)A L>n>-nA; L>n+v>-(n+v)A L>n>-nA,

u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

ЗАДАЧА № 12

Пусть относительно числовой последовательности l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>, … предполагается лишь, что

.
Пусть, далее, А>l>1>. Тогда существует такой номер n, n  1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А, то также n.

РЕШЕНИЕ:

Пусть

l>1>+l>2>+l>3>+…+l>m>=L>m>, m=1, 2, 3, …; L>0>=0.

Так как L>1>-A<0, то L>0>-0 не является минимумом в предыдущем решении. l>n+1>A; поэтому l>n+1, >а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.

ЗАДАЧА № 13

Пусть числовая последовательность l>1>, l>2>, l>3>, … , l>m>, … удовлетворяет условиям

,


Пусть, далее, l>1>>A>0. Тогда существует такой номер n, n  1, что одновременно выполняются все неравенства

.
Если А0, то также n0.

РЕШЕНИЕ:

Положим

l>1>+l>2>+l>3>+…+l>m>=L>m>, m=1, 2, 3, …; L>0>=0.

Тогда . Последовательность

L>0>-0, L>1>-A, L>2>-2A, L>3>-3A, …, L>m>-mA, …

стремится к -. Пусть ее наибольший член будет L>n>-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L>0>, L>1>, …, L>m>, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть L>s> будет один из них. Тогда числа:

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L>n>) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.

1