Статистика (шпаргалка 2002г.)

1. Анализ рядов распределения

Ряд распределения, графики в приложении.

Группы	Частота f	S
До 10	4	4
10-20	28	32
20-30	45	77
30-40	39	116
40-50	28	144
50-60	15	159
60 и выше	10	169
Итого	169

Мода:

Медиана:

Нижний квартиль:

Верхний квартиль:

Средний уровень признака:

Группы	Частота f	x	xf
До 10	4	5	20
10-20	28	15	420
20-30	45	25	1125
30-40	39	35	1365
40-50	28	45	1260
50-60	15	55	825
60 и выше	10	65	650
Итого	169	-	5665

Средняя величина может рассматриваться в совокупности с другими обобщающими характеристиками, в частности, совместно с модой и медианой. Их соотношение указывает на особенность ряда распределения. В данном случае средний уровень больше моды и медианы. Асимметрия положительная, правосторонняя.

Асимметрия распределения такова:

< < => 27,39 31,4 33,52

Показатели вариации:

1) Размах вариации R

2) Среднее линейное отклонение

(простая)

Группы	f	x	xf	S	f		(x-)²	f(x-)²	x²	x²f
До 10	4	5	20	4	114,08	28,52	813,43	3253,72	25	100
10-20	28	15	420	32	518,58	18,52	343,02	9604,47	225	6300
20-30	45	25	1125	77	383,43	8,52	72,60	3267,11	625	28125
30-40	39	35	1365	116	57,69	1,48	2,19	85,34	1225	47775
40-50	28	45	1260	144	321,42	11,48	131,77	3689,67	2025	56700
50-60	15	55	825	159	322,19	21,48	461,36	6920,39	3025	45375
60 и в.	10	65	650	169	314,79	31,48	990,95	9909,46	4225	42250
Итого	169	-	5665	-	2032,18	121,48	-	36730,18		226625

(взвешенная)

3) Дисперсия

Другие методы расчета дисперсии:

1. Первый метод

Группы	f	x
До 10	4	5	-3	9	-12	36
10-20	28	15	-2	4	-56	112
20-30	45	25	-1	1	-45	45
30-40	39	35	0	0	0	0
40-50	28	45	1	1	28	28
50-60	15	55	2	4	30	60
60 и выше	10	65	3	9	30	90
Итого	169	-	-	-	-25	371

Условное начало С = 35

Величина интервала d = 10

Первый условный момент:

Средний уровень признака:

Второй условный момент:

Дисперсия признака:

2. Второй метод

Методика расчета дисперсии альтернативного признака:

Альтернативным называется признак, который принимает значение «да» или «нет». Этот признак выражает как количественный «да»-1, «нет»-0, это значение x , тогда для него надо определить среднюю и дисперсию.

Вывод формулы:

Признак х	1	0	всего
Частота f вероятность	p	g	p + g = 1
xf	1p	0g	p + 0 = p

Средняя альтернативного признака равна доле единиц, которые этим признаком обладают.

- Дисперсия альтернативного признака. Она равна произведению доли единиц, обладающих признаком на ее дополнение до 1.

Дисперсия альтернативного признака используется при расчете ошибки для доли.

p	g
0,1	0,9	0,09
0,2	0,8	0,16
0,3	0,7	0,21
0,4	0,6	0,24
0,5	0,5	max 0,25
0,6	0,4	0,24

, W – выборочная доля.

Виды дисперсии и правило их сложения:

Виды:

1. Межгрупповая дисперсия.

2. Общая дисперсия.

3. Средняя дисперсия.

4. Внутригрупповая дисперсия.

У всей совокупности может быть рассчитана общая средняя и общая дисперсия.

1. общая и общая.

2. По каждой группе определяется своя средняя величина и своя дисперсия: a,a; б,б; i,i

3. Групповые средние i не одинаковые. Чем больше различия между группами, тем больше различаются групповые средние и отличаются от общей средней.

Это позволяет рассчитать дисперсию, которая показывает отклонение групповых средних от общей средней:

- межгрупповая дисперсия, где m_>i> – численность единиц в каждой группе.

В каждой группе имеется своя колеблемость – внутригрупповая . Она не одинакова, поэтому определяется средняя из внутригрупповых дисперсий:

Эти дисперсии находятся в определенном соотношении. Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:

- правило сложения дисперсий.

Соотношения дисперсий используются для оценки тесноты связей между факторами влияния изучаемого фактора – это межгрупповая дисперсия. Все остальные факторы – остаточные факторы.

2. Ряды динамики

Ряд динамики, график ряда динамики в приложении.

Год	Уровень
1	40,6
2	41,5
3	49,5
4	43,6
5	39,2
6	40,7
7	38,2
8	36,5
9	38,0
10	38,7
11	39,4

Средняя хронологическая:

Производные показатели ряда динамики:

- коэффициент роста, базисный

- коэффициент роста, цепной

- коэффициент прироста

- абсолютное значение одного процента прироста

Год	Уровень		Темпы роста %	Темпы прироста %	А_>1%>
Базисные	Цепные	Базисные	Цепные
1	40,6	-	100	-	-	-	-
2	41,5	0,9	102,2167	102,2167	2,216749	2,216749	0,406
3	49,5	8	121,9212	119,2771	21,92118	19,27711	0,415
4	43,6	-5,9	107,3892	88,08081	7,389163	-11,9192	0,495
5	39,2	-4,4	96,55172	89,90826	-3,44828	-10,0917	0,436
6	40,7	1,5	100,2463	103,8265	0,246305	3,826531	0,392
7	38,2	-2,5	94,08867	93,85749	-5,91133	-6,14251	0,407
8	36,5	-1,7	89,90148	95,54974	-10,0985	-4,45026	0,382
9	38	1,5	93,59606	104,1096	-6,40394	4,109589	0,365
10	38,7	0,7	95,3202	101,8421	-4,6798	1,842105	0,38
11	39,4	0,7	97,04433	101,8088	-2,95567	1,808786	0,387

Взаимосвязь цепных и базисных коэффициентов роста:

Произведение последовательных цепных коэффициентов равно базисному:

и т. д.

Частное от деления одного базисного равно цепному коэффициенту:

и т. д.

Средний абсолютный прирост:

Средний годовой коэффициент роста:

Анализ тенденции изменений условий ряда:

Анализ состоит в том, чтобы выявить закономерность.

Метод – укрупнение интервалов и расчет среднего уровня

Год	Уровень	Новые периоды	Новые уровни
1	40,6	1	43,9
2	41,5
3	49,5
4	43,6	2	41,2
5	39,2
6	40,7
7	38,2	3	37,6
8	36,5
9	38,0
10	38,7	4	39,1
11	39,4

Тенденция изображена в виде ступенчатого графика (в приложении).

Сезонные колебания:

Месяц	Годы	Ср. уровень за каждый месяц	Индекс сезонности
1998	1999	2000
1	242	254	249	248,3333	81,24318
2	236	244	240	240	78,5169
3	284	272	277	277,6667	90,83969
4	295	291	293	293	95,85605
5	314	323	331	322,6667	105,5616
6	328	339	344	337	110,2508
7	345	340	353	346	113,1952
8	362	365	364	363,6667	118,9749
9	371	373	369	371	121,374
10	325	319	314	319,3333	104,4711
11	291	297	290	292,6667	95,747
12	260	252	258	256,6667	83,96947

Индекс сезонности:

График «Сезонная волна» в приложении.

3. Индексы

Товар –представитель	базисный год 1999	текущий год 2000	стоимость pq	p_>0>q_>1>	p_>1>q_>0>
цена	объем	цена	объем	базис.год	текущ.год
А	12,5	420	10,7	462	5250	4943,4	5775	4494
Б	3,2	2540	4,5	2405	8128	10822,5	7696	11430
В	45,7	84	55,3	97	3838,8	5364,1	4432,9	4645,2
Г	83,5	156	82,5	162	13026	13365	13527	12870
	p_>0>	q_>0>	P_>1>	q_>1>	p_>0>q_>0>	p_>1>q_>1>	p_>0>q_>1>	p_>1>q_>0>
Итого					30242,8	34495	31430,9	33439,2

Индивидуальные индексы:

Товар	i_>p>	i_>q>
А	85,6	110
Б	140,625	94,68504
В	121,0065646	115,4762
Г	98,80239521	103,8462

Расчет индивидуальных индексов ведется по формулам:

i_>p>_>> = ; i_>q> =

Общий индекс физического объема:

I_>q> =

Общий индекс цен:

1) I_>p> =

2) I_>p> =

3) I_>p(>_>фишер>_>)> =

Общий индекс стоимости:

I_>pq> =

Взаимосвязь индексов I_>p> , I_>q> , I_>pq> :

I_>p> x I_>q> = I_>pq>

(1,0975 x 1,0393) x 100 = 114,06

Влияние факторов на изменение стоимости:

Общее изменение стоимости составило:

pq =

в том числе :

- за счет роста цен на 9,75% дополнительно получено доходов:

p =

- за счет роста физического объема продаж на 3,93% дополнительные доходы получены в размере:

q =

Взаимосвязь p, q, pq :

pq = p + q

4252,2 = 3064,1 + 1188,1

Методика преобразования общих индексов в среднюю из индивидуальных:

Общие индексы – это относительные величины, в то же время, общие индексы являются средними из индивидуальных индексов, т.е. индивидуальный индекс i x, а Y . Вид общего индекса должен соответствовать агрегатной форме расчета. В этом случае сохраняется экономический смысл индекса и меняется только методика расчета.

Алгоритм :

1. Индекс физического объема

а) индивидуальный индекс физического объема:

i_>q> =

Товар

i_>q>

А

110

94,68504

115,4762

103,8462

б) Общий индекс физического объема:

I_>q> =

в)

г) I_>q> =

i_>q>x (q_>0>p_>0>) f

Таким образом, индекс физического объема представляет собой среднюю арифметическую из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости продукции базового периода.

2. Индекс цен Ласпейреса I_>p> = i_>p>_>> =

Товар	i_>p>
А	85,6
Б	140,625
В	121,007
Г	98,802

Индекс цен Ласпейреса – это средняя арифметическая из индивидуальных индексов, взвешанных по стоимости базового периода или удельному весу.

3. Индекс цен Пааше

а) Индивидуальный индекс цены

i_>p>_>> = б) I_>p> = в) p_>0> = I_>p> = Индекс цен Пааше является средней гармонической величиной из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости текущего периода.

7вопрос Относительные величины

Статистика широко применяет относительные величины, потребность в которых возникает на стадии обобщения. Они помогают установить закономерности, в них заключен «молчаливый вывод»; являются самостоятельными статистическими показателями и имеют самостоятельную широкую сферу применения, например, уровень рождаемости, естественного прироста населения, рентабельность и т.д.

Относительная величина – это статический показатель, полученный путем сопоставления двух других величин (абсолютных, средних и других относительных).

При пользовании относительными величинами следует применять достаточное для целей исследования число значащих цифр. Поэтому существуют различные способы выражения относительных величин. Если сравниваемая величина больше базы y_>1> > y_>0>, то удобно пользоваться коэффициентом К = у_>1>/у_>0>. Если между уровнями у_>1> и у_>0> различия абсолютных величин невелики, то удобно применять децили и проценты: Δ = 10 (у_>1>/у_>0>); Т = 100 (у_>1>/у_>0>). Если уровень у_>1> значительно меньше базы, то удобно применять промилле и продецимилле: П = 1000 (у_>1>/у_>0>); П´ = 10000 (у_>1>/у_>0>).

Например, рост цен может быть измерен и коэффициентом, и процентом (рост в 2,1 раза или 103,15%), рождаемость и естественный прирост определяют на 1000 чел. населения и т.д.

2.2. Виды относительных величин

В зависимости от характера сравниваемых абсолютных величин можно выделить два типа относительных величин. Если сравниваются две абсолютные величины, имеющие одинаковые единицы измерения, то относительная величина показывает «отношение» и является безразмерной. Если сравниваются две абсолютные величины, у которых единицы измерения не совпадают, то относительные величины имеют размерность.

Относительная величина структуры определяется как отношение числа единиц f или значения признака у изучаемой части к общему числу Σf: W = f / Σf;

Относительная величина координации показывает отношение численности единиц одной части совокупности к численности единиц другой.

Изменение уровня изучается во времени относительной величиной динамики. Например, уровень показателя 1999 г. (у_>1>) сравнивается с уровнем того же показателя по тому же объекту 1990 г. (у_>0>): К_>1> = у_>1>/у_>0>.

Прогнозируемый уровень сравнивается с существующим – относительная величина прогноза: К_>пр> = у_>пр>/у_>0>.

Изменение уровня изучается по сравнению с предварительным прогнозом (нормой, планом) – относительная величина выполнения прогноза: К_>в.
пр>. = у_>1>/у_>пр>.

Относительная величина интенсивности представляет собой сравнение двух разных статических показателей, которые имеют размерность. К таким показателям относится плотность населения, автомобильных дорог и т.д.

Относительными величинами также являются индексы: биржевые, социальные, сезонности и т.д.

i_>р> = р_>1>/р_>0>; i_>q> = q_>1>/q_>0>; i_>z>_>>= z_>1>/z_>0> и т.д.

Тема 3. Средние величины и показатели вариации

3.1. Сущность и значение средних величин

Средняя величина отражает типичные размеры признака, характеризует качественные особенности явлений в количественном выражении.

Средние характеризуют одной величиной значение изучаемого признака для всех единиц качественно однородной совокупности.

К. Маркс отметил: «Средняя величина – всегда средняя многих различных индивидуальных величин одного и того же вида».

Средняя величина – величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, а значит, отвлекается от структуры совокупности.

Понятие степенной средней, формула расчета, виды средних величин и область их применения, правило мажорантности средних

Степенная средняя – это такая величина, которая рассчитана по индивидуальным значениям признака, возведенным в степень К, и приведена к линейным размерам:

В зависимости от показателя степени К средняя может быть гармонической (К = -1), арифметической (К = 1), геометрической (К = 0), квадратической (К = 2), кубической (К = 3), биквадратической (К = 4). Каждая средняя обладает определенными свойствами и имеет свою сферу применения.

Е
сли К = 1, то средняя является арифметической:

где n - число наблюдений.

Массовые по численности совокупности обобщаются в виде ряда распределения. Характер распределения, частота повторения каждого признака оказывает влияние на среднюю, которая называется средней взвешенной:

где f - частота повторения признака (статический вес).

Если К = -1, средняя является гармонической. Это величина, обратная простой средней арифметической:

Средняя гармоническая взвешенная определяется:

где ΣW - суммарное значение признака.

Если К = 0, то средняя является геометрической. Эта величина, полученная как корень m-й степени из произведения значений признака:

Взвешенная -

Если К = 2, то средняя является квадратичной:

Простая -

Взвешенная -

и т.д.

Если для одного и того же первичного ряда вычислить различные степенные средние, то чем больше показатель степени К, тем больше абсолютное значение средней:

Правило называется мажорантности степенных средних.

3.3. Свойства средней арифметической

Средняя величина арифметическая обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет.

Она не изменяется, если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число.

Если все значения признака одинаковые, то средняя равна этой же величине.

Средние суммы или разности равны сумме или разности средней:

Если из всех значений Х вычесть постоянную величину С, то средняя уменьшается на это значение.

Если все значения уменьшить в d раз (Х/d), то средняя уменьшится в d раз.

Сумма отклонений значения признака равна 0.

Сумма квадратов отклонений

3.4. Расчет моды и медианы

Модой (М_>0>) называется чаще всего встречающийся вариант или то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

В дискретном ряду мода – это вариант с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду мода приближенно равна центральному варианту так называемого модального интервала.

где х_>М0> - нижняя граница модального интервала;

i_>M>_>0> - величина модального интервала;

f_>M>_>0> - частота, соответствующего модального интервала;

f_>M>_>0-1> - частота, предшествующая модальному интервалу;

f_>M>_>0+1> - частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (М_>е>) – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на 2 равные части: одна часть значения варьирующая признака меньшие, чем средний вариант, а другая часть – большие. Для ранжированного ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда, а с четным числом членов медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопительная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

Если предполагать, что внутри медианного интервала нарастание или убывание изучаемого признака происходит по прямой равномерно, то формула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:

где х_>ме> - нижняя граница медианного интервала;

i_>me> - величина медианного интервала;

Σf/2 - полусумма частот ряда;

Σf_>mе-1> - сумма накопительных частот, предшествующих медианному

интервалу;

f_>mе> - частота медианного интервала.

Квартили – это значения признака, которые делят ряд на 4 равные части. Различают нижний квартиль Q_>1>, медиану М_>е> и верхний квартиль Q_>3>.

где x_>min> - минимальные границы квартильных интервалов;

i - интервал ряда распределения

Σf_>Qf>_>-1>; Σf_>Q>_>3-1> - суммы частот всех интервалов, предшествующих

квартильным;

f_>Q1>; f_>Q3>- частоты квартильных интервалов

Децили (D) – варианты, которые делят ранжированный ряд на 10 равных частей. Так, первый и второй децили могут быть вычислены по формулам:

где x_>min> - минимальные границы децильных интервалов;

i - интервал ряда распределения

Σf_>О>_>f>_>-1>; Σf_>О2-1> - суммы частот всех интервалов, предшествующих

децильным;

f_>D>_>1>; f_>D>_>3>- частоты децильных интервалов

3.5. Понятие вариации признака, показатели вариации, дисперсия альтернативного признака. Упрощенный способ расчета дисперсии. Виды дисперсий в совокупности, разбитой на группы, правило сложения дисперсий

Способность признака принимать различные значения называют вариацией признака. Для измерения вариации признака используют различные обобщающие показатели – абсолютные и относительные.

Размах вариации – это разность максимального и минимального значений признака: R = х_>max> - х_>min>.

Среднее линейное отклонение – это средняя из абсолютных значений отклонений признака от своей средней:

Средняя из квадратов отклонений значений признака от своей средней, т.е. дисперсия:

Дисперсия есть разность среднего квадрата и квадрата средней

или - простая

- взвешенная

Дисперсия может быть определена методом условных моментов. Момент распределения – это средняя m отклонений значений признака от какой-либо величины А: если А = 0, то момент называется начальным; если А = , то моменты – центральными; если А = С, то моменты – условными.

В зависимости от показателя степени К, в которую возведены отклонения (х – А)^к, моменты называются моментами 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Расчет дисперсии методом условных моментов состоит в следующем:

Выбор условного нуля С;

Преобразование фактических значений признака х в упрощенные х´ путем отсчета от условного нуля С и уменьшения в d раз:

Расчет 1-го условного момента:

Расчет 2-го условного момента:

Расчет 1-го порядка начального момента:

Дисперсии

Среднее квадратичное отклонение рассчитывается по данным о дисперсии  = ²

Относительные величины вариации

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней

Относительное линейное отклонение:

Коэффициент вариации:

Коэффициент асимметрии:

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий

Общая дисперсия:

где - общая средняя всей совокупности

Межгрупповая дисперсия:

где - средняя по отдельным группам

Средняя внутри групповых дисперсий

Общая дисперсия равна сумме из межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповой дисперсии:

Дисперсия альтернативного признака.

Она равна произведению доли единиц, обладающих признаком и доли единиц, не обладающих им

Тема 4. Ряды динамики

4.1. Понятие о рядах динамики, виды рядов динамики

Ряды динамики – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления.

Ряды динамики бывают:

В зависимости от времени – моментные и интервальные ряды.

От формы представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин.

От расстояния между датами – полные и неполные хронологические ряды.

От числа показателей – изолированные и комплексные ряды.

4.2.Производные показатели рядов динамики

Показатели	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост	у_>i> – у_>0>	у_>i> – у_>i-1>
Коэффициент роста (К_>р>)	у_>i> : у_>0>	у_>i> : у_>i-1>
Темп роста (Т_>р>)	(у_>i> : у_>0>) · 100	(у_>i> : у_>i>_>-1>) · 100
Коэффициент прироста (К_>пр>)	К_>р> – 1; у_>i> – у_>0> у_>0> Δ_>баз> : у_>0>	К_>р> – 1; у_>i> – у_>i>_>-1> у_>i>_>-1> Δ_>цеп> : у_>i>_>-1>
4.3. Взаимосвязь цепных и базисных темпов роста
Темп прироста (Т_>пр>)	К_>пр> · 100 : Т_>р> - 100	К_>пр> · 100 : Т_>р> - 100
Абсолютное значение 1-го процентного прироста (1%А)	у_>0> : 100	у_>i>_>-1> : 100; Δ : Т_>пр> у_>i> - у_>i>_>-1> Т_>р> - 100

Соотношения: у_>2>/у_>1> · у_>3>/у_>2> · у_>4>/у_>3> · у_>5>/у_>4> = у_>5>/у_>1> у_>4>/у_>1> : у_>3>/у_>1> = у_>4>/у_>3>

4.4. Средние показатели ряда динамики

Если ряд динамики интервальный и содержит все последовательные уровни, то средний уровень определяется как средняя арифметическая величина: Если ряд динамики моментный с одинаковыми промежутками времени между датами, то средняя хронологическая определяется как простая арифметическая:

А если с разновеликими интервалами между датами, то как средняя арифметическая взвешенная по времени: где t - время, в течение которого уровень не менялся Средний абсолютный прирост: Средний темп роста:

Средний темп прироста:

4.5. Измерение сезонности явлений.

Индексы сезонности. Построение сезонной волны

Метод простых средних:

а) определяется средняя хронологическая для каждого месяца б) средняя хронологическая общая: Индекс сезонности:

Метод сравнения фактического и сглаженного уровней а) метод скользящего среднего уровня:

б) метод аналитического выравнивания:

Колеблемость уровня ряда измеряется средним отклонением индекса сезонности i_>сез> от 100%: Среднее квадратичное отклонение

4.6. Выравнивание рядов динамики

Выравнивание рядов динамики производят одним из способов:

а) Механическое выравнивание состоит в укрупнении интервала времени и расчете средней хронологической

б) Аналитическое выравнивание – это описание тенденций с помощью подбора адекватной модели, представляющей математическую функцию зависимости среднего уровня от времени: По уравнению прямой:

где a_>0> и а_>1> - это параметры уравнения, которые рассчитываются на

основе фактических данных методом наименьших квадратов

- это условное время принятое от какой-то базы.

Выравнивание может выполняться по параболе 2-го порядка: а_>0>, а_>1,> а_>2> -параметры, определяемые с помощью системы уравнений:

если Σt = 0, то Σt³ = 0

Если применяется показательная функция, то уравнения взаимосвязи следующая: , для решения такой модели переходят к логарифмам:

Это уравнения прямой для логарифмов уравнений, поэтому выравнивание осуществляется аналогично прямой, но предварительно определяются логарифмы

При выборе модели можно руководствоваться правилами

, если абсолютные приросты колеблются около постоянной величины, то можно использовать модель прямой линии

Δy = у_>i> - у_>i-1>; а_>0> - база; а_>1>t - прирост.

, если приросты приростов, т.е. ускорение колеблется около постоянной величины, то можно использовать параболу 2-го порядка: а_>0>- база; а_>1>t - прирост; а_>2>t² - ускорение (Δу_>2> – Δу_>1>)