Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией
Министерство образования Российской Федерации
Башкирский государственный педагогический университет
Кафедра математического анализа
Дипломная квалификационная работа
Автор: Гарипов Ильгиз.
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.
К защите допущен ____________
Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.
Уфа 2001
Содержание
Стр.
Введение 3
§ 1
Свойства функции
. 4
§ 2
Свойства функции
и ее производных. 5
2.1
5
2.2
6
2.3
где >0 7
2.4
9
§ 3 Поведение
11
3.1
11
3.2
11
3.3
12
3.4
13
§ 4 Поведение
14
4.1
14
4.2
15
4.3
15
4.4
16
Заключение 17
Литература 18
Введение
Пусть
произвольная функция, определенная
на
,
и
при
Введем в рассмотрение
функцию
с помощью следующего равенства:
(1)
Назовем эту функцию
усреднением функции
Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить
§ 2 Свойства функции
.
Если
,
при
,
то
при
Доказательство:
,
,
N
>0,
:
(2)
(3)
Дифференцируя формулу (1) по dx получаем
(4)
(5)
§ 2 Свойства функции
и ее производных.
I)
Рассмотрим вид функции
для случаев когда
:
2.1
2.2
2.3
где >0;
Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.
Второй интеграл не
оказывает влияния на первый, так как
при
функция
стремится к 0.
Доказательство:
Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
Рассматривая первый интеграл, получаем:
Последние два слагаемых
полученных при интегрировании содержат
в произведении
,
то есть при возрастании x
эти слагаемые будут очень
быстро уменьшатся и весь интеграл при
становится очень малым по сравнению с
первой частью. Поэтому можно считать
что при
Следовательно:
2.4.
Наложить
на
ограничение, такое чтобы
присутствие
не влияло на поведение функции.
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части
как
только 
.
Ограничение №1
В тоже время
Становится
бесконечно малым как только 
. Ограничение
№2
Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что
должен
быть очень малым при
то
есть
так
как
ограниченная функция, к 0 должен стремится
.
Ограничение
№3
Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:
Следовательно,
ограничение на
удовлетворяющее поставленной задаче,
при котором присутствие
не
влияет на поведение функции
.
§ 3 Рассмотрим поведение
функции
для
случаев:
3.1)
3.2)
3.3)
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
=
=
рассматривая
пределы при
видим что на поведение функции оказывает
влияние только главный член
Поведение
данной функции при
эквивалентно поведению функции
(*)
Вычислим интеграл в знаменателе:
=
(**)
Учитывая (*)и (**) получаем
Следовательно,
по формуле (2) получаем
3.4
Отдельно вычислим числитель и знаменатель:
По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:
Вычислим знаменатель:
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
По пункту 2.4 можем
вывести что второй интеграл не влияет
на поведение функции при
Следовательно, знаменатель:
§4. Рассмотрим поведение второй
производной
Для облегчения вычислений введем обозначения:
При этом формула
для
примет
вид
(6)
4.1
Виду того, что
d(x)
очень мал то
будет несравним с d(x)
т.е.
4.2
используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:
(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).
Отсюда следует
что
4.3
Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
Возвращаясь к п. 3.3 находим:
Вычисляя
по
формуле 6, получаем:
и
4.4
и
Заключение
В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
