Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

(алгебра и начала анализа)

Исполнитель: Зырянов Р.Б.

Руководитель: Попова Н.Б.

Екатеринбург 1998

Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.

§1. Определения.

§2. Алгоритм решения.

§3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.

§1. Определения.

§2. Алгоритм решения.

§3. Примеры.

IV. Список литературы.

V. Приложения.

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

§1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а_>0>, b = b_>0>, c = c_>0>, …, k = k_>0>, x = x_>0>,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

Записываем ответ.

§3. Примеры

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

_> > или _> >

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+)_> > , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения _> > относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение _> >.

Если а  _> >, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений _> > и _> >, получаем

_> >_> > и _> >.

Если а  _> > , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а  (-;-1](1;+)_> >, то _> >;

Если а  _> >, то _> >_> > , _> >;

Если а  _> > , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение _> > имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде _> > и рассмотрев пару функций _> > , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции _> >, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции _> >.

В системе координат хОу построим график функции _> >). Для этого можно представить её в виде _> > и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

_> >

Поскольку график функции _> > – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный _> > , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции _> >. Поэтому находим производную _> >

Ответ: _> >.

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

_> >

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим _> > при _> > Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы _> > “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

_> >

Множеством точек плоскости _> >, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

_> > и _> >

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой _> >), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то _> >.

Случай касания “полупараболы” с прямой _> > определим из условия существования единственного решения системы

_> >

В этом случае уравнение

_> >

имеет один корень, откуда находим :

_> >

Следовательно, исходная система не имеет решений при _> >, а при _> > или _> > имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] (_> >;+).

IV. Решить уравнение

_> >

Решение.

Использовав равенство _> >, заданное уравнение перепишем в виде

_> >

Это уравнение равносильно системе

_> >

Уравнение _> > перепишем в виде

_> >. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций _> > и _> > Из графика следует, что при _> > графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если _> >, то при _> > графики функций совпадают и, следовательно, все значения _> > являются решениями уравнения (*).

При _> > графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой _> >. Таким образом, при _> > уравнение (*) имеет единственное решение - _> >.

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

_> >

Пусть _> >, тогда _> >. Система примет вид

_> >

Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что _> > , можно заключить, что при _> > исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда _> > . Система неравенств примет вид

_> >

Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но _> >, поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение _> >.

Ответ:

если а (-;3), то решений нет;

если а=3, то х [3;5);

если a (3;7), то _> >;

если a [7;), то решений нет.

V. Решить уравнение

_> > , где а - параметр. (5)

Решение.

При любом а : _> >

Если _> >, то _> >;

если _> >, то _> >.

Строим график функции _> > , выделяем ту его часть , которая соответствует _> >. Затем отметим ту часть графика функции _> > , которая соответствует _> >.

По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:

если _> >, то _> > _> >

если _> >, то _> >;

если _> >, то решений нет;

если _> >, то _> >, _> >.

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров _> > и _> >, при которых системы

_> > (1)

и

_> > (2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что _> > имеет смысл только при _> >, получаем после преобразований систему

_> > (3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

_> > (4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом _> >

Поскольку _> >, а _> >, то _> >, и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При _> > окружность касается прямой _> > и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если _> >, то система (4) имеет четыре решения, если _> >, то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда _> >, и больше четырех решений, если _> >.

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением _> > , иметь общие точки с гиперболой _> > при _> > (прямая _> > всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции _> >).

Для решения этого рассмотрим уравнение

_> >,

которое удобнее переписать в виде

_> >

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

если _> >, т.е. если _> >, то система (3) имеет два решения;

если _> >, то система (3) имеет три решения;

если _> >, то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда _> >.

Ответ: _> >

II. Неравенства с параметрами.

§1. Основные определения

Неравенство

(a, b, c, …, k, x)>(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а_>0>, b = b_>0>, c = c_>0>, …, k = k_>0>, при некоторой функции

(a, b, c, …, k, x) и

(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

_> >называется допустимым значением х, если

(a, b, c, …, k, x) и

(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х_>0> называется частным решением неравенства (1), если неравенство

(a, b, c, …, k, x_>0>)>(a, b, c, …, k, x_>0>)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

(a, b, c, …, k, x)>(a, b, c, …, k, x) и (1)

(a, b, c, …, k, x)>(a, b, c, …, k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

§2. Алгоритм решения.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

_> >

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

_> >

данное неравенство равносильно системе неравенств

_> >

Если _> >, то решения исходного неравенства заполняют отрезок _> >.

Ответ: _> >, _> >.

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

_> >

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

_> > (*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

_> >

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где _> >, а значения _> > и _> > находятся из системы

_> >

а значения _> > и _> > находятся из системы

_> >

Решая эти системы, получаем, что

_> >

Ответ: _> >

III. Решить неравенство _> > на _> > в зависимости от значений параметра а.

Решение.

Находим область допустимых значений – _> >

Построим график функции в системе координат хОу.

при _> > неравенство решений не имеет.

при _> > для _> > решение х удовлетворяет соотношению _> >, где _> >

Ответ: Решения неравенства существуют при _> >

_> >, где _> > , причем при _> > решения _> >; при _> > решения _> > .

IV. Решить неравенство

_> >

Решение.

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

_> > _> >

_> >

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

_> >

Разложим числитель на множители.

_> >

т. к. _> > то

_> >

Разделим обе части равенства на _> > при _> >. Но _> > является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при _> >.

_> >

_> >

_> >

3. Строим в ПСК хОа графики функций

_> >

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

№	точка	неравенство: > >	вывод
1	> >	> >	-
2	> >	> >	+
3	> >	> >	-
4	> >	> >	+
5	> >	> >	-
6	> >	> >	+
7	> >	> >	-
8	> >	> >	+
9	> >	> >	-

5. Найдем точки пересечения графиков

_> >

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от - до +.

Ответ.

при _> > _> >

при _> > _> >

при _> > _> >

при _> > решений нет

при _> > _> >

Литература

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.