Простые числа Мерсенна. Совершенные числа

Простые Числа Мерсенна, совершенные числа.

Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида 1)М_>р> = 2^р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М_>2>=3, М_>3>=7, М_>5>=31, М_>7>=127, то это - простые числа Мерсенна. Однако, число 2)М_>11>=2047=23 ^._> >89 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М_>2>, М_>3>, М_>5>, М_>7>, М_>13>, М_>17>, М_>19>, М_>31>. То, что М_>31>_> >- простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка

установил, что число

3)М_>127>=170141183460469231731687303715884105727

- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М_>61>=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М_>89> и М_>107> - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М_>521>, М_>607>, М_>1279>, М_>2203>, М_>2281>, М_>3217>, М_>4253>, М_>4423>, М_>2689>, М_>9941>, М_>11213> - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М_>216091> имеет 65050 цифр. Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число Р называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей кроме Р.

Евклид доказал, что если р и 2^р-1 - простые числа, то число 4)Р_>р>=2^р-1(2^р-1)=2^р-1М_>р>_> >является совершенным.

Действительно, делителями такого числа, включая само это число, являются 5)1,2, ... ,2^р-1,М_>р>,2М_>р>, ... ,2^р-1М_>р>_> >.

Их сумма S_>p>=(1+2+ ... +2^р-1)(М_>р>+1)=(2^р-1) ^. 2^р=2 ^. 2^р-1 М_>р>. Вычитая из S само число Р_>р> , убеждаемся, что сумма всех делителей числа Р_>р >равна этому числу, следовательно Р_>р> - совершенное число.

Числа Р_>2>=6 и Р_>3>=28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р_>5>=496 и Р_>7>=8128 нашел Евклид. Используя другие простые числа Мерсенна и формулу 4, находим следующие совершенные числа:

6)Р_>13>=33550336, Р_>17>=8589869056, Р_>19>=137438691328, Р_>31>=2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Р_>р>_> >имеют очень много цифр.

До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р_>17, >Р_>19, >Р_>31>_> >являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р_>17, >Р_>19>_> >нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем дилителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1. В двоичной системе совершенное число Р_>р> начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей. Например:

7)Р_>2>=110, Р_>3>=11100, Р_>5 >=111110000, Р_>7 >=1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2^{р-1 .} М_>р>, где М_>р>-простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа. Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков._> >