Примеры решения
53 Найти неопределенный интеграл
Применяли
формулу интегрирования по частям
63 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями
Решение:
Сделаем чертеж
к данной задаче. Для чего построим
указанные линии
гипербола,
прямая,
.
Найдем точки пересечения данных линий. Для чего решим уравнения:
и
Значит фигура
ограничена сверху функцией
снизу функцией
на интервале от 1 до 4.
Площадь
Ответ:
.
73. Найти общее решение дифференциального уравнения.
.
Это уравнение однородное решается с
помощью подстановки
,
тогда
.
Подставим полученные выражения в
уравнение полученное из исходного
делением обеих частей на
.
Ответ:
Составляем характеристическое уравнение
тогда
Ответ:
83 Исследовать сходимость числового ряда.
Решение:
.
В этом задании
и
Применим
признак Даламбера. Найдем
,
так
то ряд расходится по признаку Даламбера.
Ответ: ряд расходится.
93. Найти интервал
сходимости степенного ряда
Решение:
Здесь
.
Применим
признак Даламбера. Найдем
Ряд сходится
если
или
то есть
.
Проверим
сходимость на концах этого интервала
при
Найдем предел
значит в силу теоремы о необходимом
условии сходимости данный ряд расходится.
Исследование
при
аналогично. Тоже получится, что предел
n-ного члена при n
стремящемся к бесконечности не равен
нулю.
Ответ: ряд
сходится при
.
На границах интервала он расходится.
103. С помощью рядов вычислить приближенное значение интеграла с точностью до 0,001
Разложим в степенной ряд arctgx, используя известное разложение:
,
тогда
Почленно
проинтегрируем данный ряд
Ответ: