Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
Магнитогорский государственный технический университет
Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
Подготовил: Григоренко М.В.
Студент группы ФГК-98
Магнитогорск –1999
Ведение
Для решения были предложены следующие уравнения:
x3 – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx
При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция ((x) = x3 – 4x – 2 и (x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции.
Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (– ; ).
Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.
Способ хорд
Теоретическая часть
Данный способ можно свести к следующему алгоритму:
Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x>1>;x>2>] функция монотонная, а на его концах значения функции (x>1>) и (x>2>) разных знаков. Так как функция (x) непрерывна на отрезке [x>1>;x>2>], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x>1>> >и x>2>.
Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = (x), соответствующие абсциссам x>1>> >и x>2>. Абсцисса a>1> точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x>1>;(x>1>)) и B(x>2>; (x>2>)), в каноническом виде:
;
Учитывая, что y = 0 при x = a>1>, выразим из данного уравнения a>1>:
Чтобы получить более точное значение корня, определяем (а>1>). Если на данном отрезке мы имеем (x>1>)<0, (x>2>)>0 и (a>1>)<0, то повторяем тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a>1>;x>2>]. Если (x>1>)>0, (x>2>)<0 и (a>1>)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x>1>;a>1>]. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а>2>, а>3> и т.д.
Пример 1. x3 – 4x – 2 = 0
(x) = x3 – 4x – 2,
(x) = 3x2 – 4,
производная
меняет знак в точках
(x)
+
– +
(x)
х
функция (x)
монотонно возрастает при
x(–;]
и при х[;),
и монотонно убывает при
x[;].
Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню.
Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для этого подставляем наугад в выражение (х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки:
(–2)= –2,
(–1)= 1,
(0)= –2,
(1)= –5,
(2)= –2,
(3)= 13.
Таким образом, корни находятся в интервалах
(–2;–1), (–1;0), (2;3).
Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для каждого из участков:
Д
a1=-0.66667 при х1=-1.00000 и x2=0.00000
a2=-0.56250 при х1=-0.66667 и x2=0.00000
a3=-0.54295 при х1=-0.56250 и x2=0.00000
a4=-0.53978 при х1=-0.54295 и x2=0.00000
a5=-0.53928 при х1=-0.53978 и x2=0.00000
a6=-0.53920 при х1=-0.53928 и x2=0.00000
a7=-0.53919 при х1=-0.53920 и x2=0.00000
a8=-0.53919 при х1=-0.53919 и x2=0.00000
ля (–2;–1): Для (–1;0):a1=-1.33333 при х1=-2.00000 и x2=-1.00000
a2=-1.55000 при х1=-2.00000 и x2=-1.33333
a3=-1.63653 при х1=-2.00000 и x2=-1.55000
a4=-1.66394 при х1=-2.00000 и x2=-1.63653
a5=-1.67195 при х1=-2.00000 и x2=-1.66394
a6=-1.67423 при х1=-2.00000 и x2=-1.67195
a7=-1.67488 при х1=-2.00000 и x2=-1.67423
a8=-1.67506 при х1=-2.00000 и x2=-1.67488
a9=-1.67511 при х1=-2.00000 и x2=-1.67506
a10=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67511
a11=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67513
д
ля
(2;3)
a1=2.13333 при х1=2.00000 и x2=3.00000
a2=2.18501 при х1=2.13333 и x2=3.00000
a3=2.20388 при х1=2.18501 и x2=3.00000
a4=2.21063 при х1=2.20388 и x2=3.00000
a5=2.21302 при х1=2.21063 и x2=3.00000
a6=2.21386 при х1=2.21302 и x2=3.00000
a7=2.21416 при х1=2.21386 и x2=3.00000
a8=2.21426 при х1=2.21416 и x2=3.00000
a9=2.21430 при х1=2.21426 и x2=3.00000
a10=2.21431 при х1=2.21430 и x2=3.00000
Приближенным значением корня уравнения на отрезке
(–2;–1) является x = –1,6751