Преобразование Фурье (работа 1)

Kalmiik-forever

Глава I

Преобразование Фурье.

§1. Класс Шварца.

Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.

Определение. Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.

.

Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.

Операции обычного сложения и умножения функции на число превращают класс Шварца в линейное векторное пространство:

,S(R), a, bК выполнено a+bS(R).

Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.

Если (x)S(R),то _> >

Если (x)S(R),то (x) ограничена на R.

Если (x)S(R),то (x)=x(x)S.

Если (x)S(R) и P(x) – многочлен, то P(x)(x)S.

Если (x)S(R),то _> >.

Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств

_> >.

Докажем свойство 3). Во первых, =xC^∞(R). Далее,

_> >.

Свойство 4) получается из 3) последовательным применением. В самом деле, если P(x)=a_>0>+a_>1>x+…+a_>n>xⁿ, то по свойству 3) имеем xⁱS(R), потому функция P(x)(x)=a_>0>+a_>1>(x)+a_>2>(x²)+…+a_>n>(xⁿ) принадлежит классу Шварца ввиду его линейности.

Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).

§2. Одномерное преобразование Фурье.

Определение. Функция

_> > (1)

называется преобразованием Фурье функции (x) и обозначается F[]. Ясно, что не для всякой функции (x) интеграл (1) сходится, и потому не для всякой функции определено преобразование Фурье.

Если _> > (интеграл Лебега), то будем говорить, что  принадлежит пространству L_>1>(R).

Предложение 1. Преобразование Фурье функции (x) из L_>1>(R) определено и ограничено по модулю на действительной оси.

Доказательство следует из равенства _> > и (1):

_> >

Следствие. Преобразование Фурье определено для функций S(R).

Доказательство. Достаточно доказать, что S(R)L_>1>(R). Заметим, что если S(R), то по свойству 4) функция (1+x²)S(R) и, следовательно, ограничена, а (1+x²)^-1L_>1>(R). Поэтому функция (1+x²)(1+x²)^-1L_>1>(R).

§3. Свойства преобразований Фурье функций из S(R).

1) _> >

Доказательство получается дифференцированием в (1) под знаком интеграла. Это законно, так как интеграл, полученный после дифференцирования, мажорируется интегралом

_> >

сходимость которого вытекает из свойства 3): x(x)S(R)L_>1>(R).

2) Если S(R), то F[]C^(R).

Так как -ixS, то доказательство немедленно вытекает из 1).

_> >

Доказательство. Очевидно

_> >

теперь можно интегрировать по частям

_> >

Это и доказывает свойство 3).

Предложение 2. Преобразование Фурье функции из класса Шварца есть снова функция из класса Шварца.

Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем

_> >

По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция

_> >

лежит в классе Шварца SL_>1> , и тогда, по предложению пункта 2, функция _> > ограничена некоторой постоянной, которую мы обозначим C_>n>_>,>_>m>. Предложение доказано.

§4. Обратное преобразование Фурье.

Определение. Функция

_> >

называется обратным преобразованием Фурье функции (y) и обозначается F^-1[].

Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из S(R) обладает свойствами, аналогичными прямому:

_> >

_> >

_> >

Докажем, что F^-1[F[]]= для любой функции S. Для этого потребуется

Лемма. Пусть непрерывная функция h(y)L_>1>(R) имеет почти всюду ограниченную производную. Пусть

_> >

такой набор точек, что на интервалах (y_>i>,y_>i>_>+1>) функция h класса C², i=1,2,…,n. Тогда для всех x, отличных от y_>i>, i=1,2,…,n+1, справедливо соотношение

_> >

Доказательство. Так как h(y)L_>1> , то для всякого >0 найдется такое А, что

_> >

при всех t>0. Заметим, что

_> > (3)

Тогда

_> >

Второе слагаемое в (4) заменой z= t(x - y) приводится к виду

_> >

и, следовательно, стремится к нулю при _> > в силу сходимости интеграла (3). Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемое в (4) также стремится _> >.

Введем обозначение

_> >

Если h класса C² в окрестности точки x, то из равенства

_> >

следует дифференцируемость функции g(y) в точке y = x. Итак, g(y) – кусочно-диференцируемая функция. Интегрируя по частям, устанавливаем

_> >

при _> > Лемма доказана.

Предложение 3. F^-1[F[]]= для любого S(R).

Доказательство.

_> >

Внутренний интеграл сходится равномерно по y[-n, n], поэтому возможна замена порядка интегрирования.

_> >

Теперь утверждение следует из леммы.

Из доказанного предложения вытекает, что преобразование Фурье взаимно-однозначно отображает класс Шварца в себя. Покажем что это отображение “на”. Определим оператор J переводящий функцию (x) в функцию (-x). Тогда очевидно равенство F=2JF^-1, откуда, умножая справа на FJ/2 и используясь равенством JJ=1, будем иметь _> >, где 1 справа надо понимать как тождественное отображение в S(R). Последнее равенство означает, что любая функция из S(R) есть преобразование Фурье некоторой функции.

§5. Класс Шварца в многомерном случае.

Мультииндексом =(_>1>,…,_>n>) будем называть набор из неотрицательных целых чисел. Порядком мультииндекса будем называть число _> >

Глава II

Задача Коши для уравнения теплопроводности.

§1. Постановка задачи коши для уравнения теплопроводности.

Требуется найти функцию u(x,t), непрерывную при t_> >0 и x_> >R и класса C² при t>0, удовлетворяющую уравнению

_> > (1)

при t>0, x_> >R и начальному условию

u(x,0)=(x). (2)

Задача (1),(2) имеет, вообще говоря, много решений. Поэтому обычно накладывают дополнительное условие, которому должно удовлетворять решение.

Теорема (Тихонова). Пусть u(x,t) – решение задачи (1),(2) с функцией (x)0. Пусть >0 существует постоянная C>0 такая, что

_> >

при всех xR и t0. Тогда u0.

Из этой теоремы следует, что при среди функций, растущих, грубо говоря, медленнее чем _> > при любом >0, не может найтись более одного решения задачи (1),(2).

Эту теорему мы приводим без доказательства, но ниже докажем теорему единственности при более сильных ограничениях.

§2. Формальный поиск решения.

Применим преобразование Фурье

_> >_> > (3)

Выкладки этого пункта будем проделывать, не заботясь об обосновании. Дифференцируя (3) по t, устанавливаем:

_> >

Кроме того, по свойству 3) преобразования Фурье

_> >

Учитывая (1), имеем

_> > (4)

Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром y, находим

_> >

Где g(y) – произвольная функция. Используя (2), определяем g(y):

_> >

§3. Решение задачи Коши с начальной функцией из класса Шварца.

Теорема 2. Если S(R), то формула

_> > (5)

дает решение задачи (1), (2), бесконечно дифференцируемое при t0.

Доказательство. Так как _> >, то _> > при любом t0 и обратное преобразование Фурье в формуле (5) определено. Дифференцируя (5) по t, имеем

_> > (6)

так как _> >, то интеграл (6) сходится равномерно при t0, и дифференцирование законно. Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x,t) по t и x.

Дифференцируя (5) дважды по x, устанавливаем:

_> > (7)

Из формул (6),(7) вытекает, что функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (1). Справедливость условия (2) очевидна. Теорема доказана.

§4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Преобразуем формулу (5) к более удобному ”явному” виду. Для этого запишем ее в интегралах

_> >

меняем порядок интегрирования

_> > (8)

В формуле (8) внутренний интеграл есть преобразование Фурье от функции _> > при значении аргумента –(x-z), поэтому из (9.2) имеем

_> >

Подставляя это в (8), получим

_> > (9)

Функцию

_> >

называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Легко проверяются следующие свойства этой функции:

_> >

§5. Решение задачи с непрерывной ограниченной начальной функцией.

Теорема 3. Пусть (z) ограничена и непрерывна на вещественной оси. Тогда формула (9) дает решение задачи (1),(2).

Доказательство. Продифференцируем (9) под знаком интеграла

_> > (10)

Чтобы обосновать законность такого дифференцирования, достаточно показать равномерную сходимость по x интеграла (10), для чего произведем замену

_> >

_> >

Из ограниченности функции  следует равномерная сходимость интеграла как по xR, так и по t>.

Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость функции u(x, t) по x и t при t>0. Из свойства 3) фундаментального решения следует, что u есть решение уравнения (1).

Для доказательства (2) снова сделаем замену переменной интегрирования в (9):

_> >

Так как последний интеграл сходится равномерно по x и t, то возможен предельный переход под знаком интеграла

_> >

Теорема доказана.

§6. Единственность решения в классе ограниченных функций.

Теорема 4. Пусть ограниченная функция u(x, t) является решением задачи (1), (2) с начальной функцией 0. Тогда u(x, t)0.

Доказательство. Рассмотрим функцию

(x, t)=(x²+3a²t)+u(x, t),

где >0,  - любого знака. Легко проверить, что

_> > (11)

Так как функция u ограничена, то функция v(x, y) в области t>0 достигает минимума в некоторой точке (x⁰, t⁰). Покажем, что v(x⁰, t⁰)0. Пусть, напротив v(x⁰, t⁰)<0. Тогда, очевидно, t⁰>0, так как v(x, 0)0. Как необходимые условия минимума имеем соотношения

_> >

которые противоречат (11).

Итак, v(x, t)0 при всех x и t0. При фиксированных x и t,переходя к пределу при 0 в неравенстве

(x²+3a²t)+u(x, t)0,

получаем u(x, y)0. Ввиду произвольности знака  отсюда следует u=0.Теорема доказана