Пределы

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти X_>n> если для любого числа Е>0, сколь угодно малого,  N_>0>, такое что при всех n>N_>0> будет выполн-ся нер-во |X_>n>-A|<E. lim_>n>_>>X_>n>=A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N_>0>, для кот. любые точки >N_>0> попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n) =>  E/2  N_>1> n>N_>1> |a-Xn|<E/2 Из lim Xn=b (n) =>  E/2  N_>2> n>N_>2> |Xn-и|<E/2 N_>0>=max(N_>1>;N_>2>), n>N_>0>. |a-b|=|a-Xn+Xn-b||a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N_>1> XnZnYn  limXn = lim Yn = a (n) =>  lim Zn=a (n)

Док-во: 1. из того, что  lim Xn=a (n) => n>N_>2> |Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2. Из  lim Yn=a (n) => n>N_>3>, a-E<Yn<a+E. 3. N_>0>=max(N_>1>,N_>2>,N_>3>). При всех n>N_>0> XnZnYn. a+E>XnZnYn>a-E => lim Zn=a (n)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n, если lim Xn = 0 (n). E>0, N_>0>, n>N_>0>, |Xn|<E.

Свойства б.м. величин:

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во: из Xn – б.м. =>  E/2 N_>1>, n>N_>1 >|Xn|<E/2

из Yn–б.м.=> E/2 N_>2>, n>N_>2 >|Yn|<E/2, N_>0>=max(N_>1>,N_>2>), N>N_>0>, |XnYn||Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E => lim(XnYn)=0 (n). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина =>  K, |Xn|  K,

Yn – б.м. =>  E/K N_>0> n>N_>0> |Yn|<E/K.

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины.  lim Xn=a (n) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во: Из lim Xn=a (n) => E N_>0> n>N_>0> |Xn-a|<E

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n, если M>0 N_>0>, n>N_>0>, |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn= (n).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>M N_>1>, n>N_>1> |Xn|>M

из Yn – б.б. => M  N_>2>, n>N_>2> |Yn|>M

N_>0>=max(N_>1>, N_>2>) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M²>M

Lim XnYn= (n).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn= (n) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn= => M=1/E N_>0>, n>N_>0> |Xn|>M =>n>N_>0>.

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

lim Xn=a, lim Yn=b => lim (XnYn)=ab (n)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+_>n>; lim Yn=b => Yn=b+_>n>;

Xn  Yn = (a + _>n>)  (b + _>n>) = (a  b) + ( _>n> b_>n>) => lim(XnYn)=ab (n).

limXnYn = lim Xn * lim Yn (n).

lim Xn=a, lim Yn=b (n) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+_>n>)/(b+_>n>) – a/b = (ab+_>n>b–ab–a_>n>)/b(b+_>n>) =(b_>n>-a_>n>)/b(b+_>n>)=_>n >=> Xn/Yn=a/b+_>n> =>  lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при хx_>0>, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число >0, что при x будет выпол |x-x_>0>|<, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или x выпол x_>0>-<x<x+=> A-E<f(x)<A+E.

Lim _>x>_>>_>x0> f(x)=A

Ф-ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при xx_>0> если для М>0 сколь угодно большого  >0, что x |x-x_>0>|< будет выполняться нер-во |f(x)|>M, x x_>0>-<x<x_>0>+, -M>f(x)>M.

Lim f(x)= (xx_>0>).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x, если для любого Е>0 можно найти число К, x |x|>K |f(x)-A|<E.

I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

S_>треуг> МОА< S_>сект> МОА<S_>треуг> СОА.

S_>треуг>МОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

S_>сект>МОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

S_>треуг>СОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}

1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. lim_>x>_>>_>0>(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1;

2.lim_>x>_>>_>0>(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t0}=

=lim_>t>_>>_>0>t/sint=1;

3. lim_>x>_>>_>0> (sin x)/x = lim (Sin x)/(x)=

=/ lim_>>_>x>_>>_>0>(sin x)/x=/.

II замечательный предел.

lim_>n>_>>(1+1/n)ⁿ=?

Бином Ньютона: (a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+(n(n-1)a^n-2b²)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)a^n-4b⁴)/4!+...+bⁿ.

(1+1/n)ⁿ=1+n1/n+n(n-1)/2!n²+n(n-1)(n-2)/3!n³+...+1/nⁿ= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nⁿ={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/2²(1-1/n)(1-2/n)+1/2³(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2ⁿ < 2+0.5+1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ =2+0.5(1-1/2ⁿ)/(1-0.5)=2+1-1/2ⁿ=3-1/2ⁿ <3.

2(1+1/n)ⁿ<3 =>  lim_>n>_>>(1+1/n)ⁿ=e.

Следствия:

1.lim_>x>_>>_>+>_>>(1+1/x)^x=e. Док-во: nxn+1 =>1/n1/x1/(n+1), 1/n+1  (1/x)+1  1/(n+1) + 1, (1/n+1)^x(1/x+1)^x(1+1/(n+1))^x

(1/n+1)ⁿ⁺¹(1+1/x)^x(1+1/(n+1))ⁿ lim_>n>_>>(1+1/n)ⁿ(1+1/n)=e*1=e, lim_>n>_>>(1+1/(n+1))ⁿ⁺¹*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => lim_>x>_>>_>+>_>>(1+1/x)^x=e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х_>0>, если сущ. предел фун. y=f(x) при хх_>0> равный значению фун f(x_>0>).limf(x)=f(x_>0>)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. lim_>x>_>>_>x0-0>f(x) lim_>x>_>>_>x0+0> f(x) – конечные пределы; 3. lim_>x>_>>_>x0->f(x)=lim_>x>_>>_>x0+>f(x);

4. lim_>x>_>>_>x0>_>>f(x)=f(x_>0>).

Если Х_>0> т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х_>0> – 1 род

Если Х_>0> – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х_>0> т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х_>0> – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f_>1>(x) и f_>2>(x) непрерывны в точке х_>0>, то сумма (разность) y(х)=f_>1>(x)f_>2>(x), произведение у(х)=f_>1>(x)*f_>2>(x), а также отношение этих фун у(х)=f_>1>(x)/f_>2>(x), есть непрерывная фун в точке х_>0>.

Док-во (суммы): По определению получ lim_>х>_>>_>х0>f_>1>(x)=f_>1>(x_>0>) и lim_>х>_>>_>х0>f_>2>(x)=f_>2>(x_>0>) на основании св-ва1 можем написать: lim_>х>_>>_>х0>у(х)=lim_>х>_>>_>х0>[f_>1>(x)+f_>2>(x) ]=

=lim_>х>_>>_>х0>f_>1>(x)+lim_>х>_>>_>х0>f_>2>(x)=f_>1>(x_>0>)+f_>2>(x_>0>)=у(х_>0>). Итак сумма есть непрерывная фун.

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=(х) непрерывна в точке х=х_>0>, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z_>0>=(х_>0>), то фун y=f((х)) непрерывна в точке х_>0>.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке

Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства(small):

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна т-ка в кот ф-ия отрицат, то  x_>0> на [a;b], f(x_>0>)=0.

Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х_>1> такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x_>1>)f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х_>2>, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю

f(x_>2>) f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число , заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xX, x_>0>; x_>0>+x X => y=f(x_>0>)=f(x_>0>+x)-f(x_>0>), y/x=(f(x_>0>+x)-f(x_>0>))/x.

Если  lim_>>_>x>_>>_>0>y/x, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х­_>0>.  Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+хХ. Lim_>>_>х>_>>_>0>(f(x_>0>+x)-f(x_>0>))/x= =f^/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y^|(x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х_>0 >равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х_>0>;f(x_>0>)).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М_>0> (при х0), то секущая приближ-ся к касат.

y^|(x_>0>)=lim_>>_>х>_>>_>0>(f(x_>0>+x)-f(x_>0>))/ /x=lim_>>_>х>_>>_>0>y/x=lim_>>_>х>_>>_>0>tg==lim_>>_>0>tg=tg_>0>.

L: y-f(x_>0>)=f^\(x_>0>)(x-x_>0>)

N_>l>=y-f(x_>0>)=-(x-x_>0>)/f^\(x_>0>).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y^|=U^|(x)+ V^|(x). Док-во: для х+х имеем: y+y=(u+u)+(v+v). Следовательно, y=u+v, y/x=u/x+v/x, y^|=lim_>>_>x>_>>_>0>y/x = lim_>>_>x>_>>_>0>u/x+ lim_>>_>x>_>>_>0>v/x=U^|(x)+V^/(x).

2. y=uv, y^|=u^|v+uv^|. Док-во: y+y=(u+u)(v+v), y=(u+u)(v+v)-uv=uv+uv+uv, y/x=uv/x+vu/x+uv/x,

y^|= lim_>>_>x>_>>_>0>y/x= lim_>>_>x>_>>_>0>uv/x + lim_>>_>x>_>>_>0>vu/x + lim_>>_>x>_>>_>0>uv/x={ lim_>>_>x>_>>_>0>u=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u^|v+uv^|.

3. y=u/v, y^|=(u^|v-uv^|)/v². Док-во: y+y=(u+u)/(v+v), y=(u+u)/(v+v)-u/v=(vu-uv)/v(v+v)

y/x...

4. y=a^x, y^|=a^xln a. Док-во: ln y=x ln a, y^|/y=ln a, y^|=yln a y^|=a^xln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество() {F(x;y)=0,у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) 0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]^/=0^/}

Формула Лейбница.

y⁽ⁿ⁾=(uv)⁽ⁿ⁾=(u)⁽ⁿ⁾v+nu^(n-1)v^|+([n(n-1)]/[1*2])*n^(n-2)v^||+…+uv⁽ⁿ⁾

Дифференцирование ф-ии в точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х_>0>, если y=Ax+O(x), где А не зависит от Х, О(Х) – б.м., более высокого порядка малости, чем Х, когда Х0, т.е. lim_>>_>x>_>>_>0>O(x)/x=0. АХ – главная часть приращения.

Теорема: y=f(x) дифф-ма в т-ке Х_>0> т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f^\(x_>0>).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: y=Ax+O(x)

f^\(x_>0>)=lim_>>_>x>_>>_>0>y/x= lim_>>_>x>_>>_>0>[(Ax+O(x))/x] = lim_>>_>x>_>>_>0>(A+O(x)/x)=A => y=f^\(x_>0>)x+O(x) => lim_>>_>x>_>>_>0>y=0 => f(x) – непрерывна.

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: f^\(x_>0>) – число, f^\(x_>0>)=lim_>>_>x>_>>_>0>y/x => y/x=f^\(x_>0>)+(x) {(ч) – б.м.}, y=f^\(x_>0>)x+(x)x => y=f^\(x_>0>)x+O(x), т.е. O(x)=(x)x => lim_>>_>x>_>>_>0>O(x)/x=lim_>>_>x>_>>_>0>(x)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит Х.

Приближ знач ф-ии в некот т-ке: y=f(x_>0>+x)-f(x_>0>) =>f(x_>0>+x)=f(x_>0>)+yf(x_>0>)+df(x_>0>)=f(x_>0>)+f^\(x_>0>)dx, dx=x.