Построение линии пересечения 2-х конусов и цилиндра

Министерство общего и

профессионального образования РФ

Брянский Государственный

Технический Университет

кафедра

«Высшая математика»

Расчетно-графическая работа №1

Вариант №103

Студент группы 97ДПМ-1

Копачев Д.В.

Преподаватель

Салихов В.Х.

Брянск 1997

1. Описание изделия

На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ).

Дополнительные сведения:

раствор конуса b = 30⁰

радиус цилиндра R = 5 см

расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см

расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см

Выбор системы координат

В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой.

Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2

+ l = + 2 = 7.7 (см)

таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:

Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина второго конуса - (0; -7.7; 0).

Аналитическое описание несущих поверхностей

Уравнение цилиндрической поверхности:

(х+2)²+(y+2)² = R² ( I )

Параметризация цилиндрической поверхности:

(II)

Определение положения шва на цилиндрической детали:

потребуем, чтобы параметр uÎ. При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным уравнением x = y = - l -.

Уравнение первой конической поверхности:

(x + 7.7)² tg²b = y ²+ z² (III)

Параметризация первой конической поверхности:

(IV)

Определение положения шва на первой конической детали:

потребуем, чтобы jÎ[-psinb;psinb]

Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.

Уравнение второй конической поверхности:

(y+7.7)² tg²b=x²+z² (V)

Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV):

(VI)

(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).

Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра

Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса (III), получаем уравнение:

(-2+Rcos+7.7)²tg²b=(-2+Rsin)²+v², которое в дальнейшем преобразуется к виду:

v = v(u) = ± (VII)

Знак «+» соответствует «верхней» половине линий отреза, Z ³ 0 , знак «-» - «нижней» половине этой линии. При некоторых значениях параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.

Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке цилиндра

Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = , получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.

Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса

Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра (I), получаем уравнение:

(-7.7+rcosb+2)² + (rsinbcos+2)² = R²

преобразуем:

(rcosb-5.7)² + (rsinbcos+2)² = R²

r²cos²b-2*5.7*rcosb+32.49+r²sin²bcos²+4rsinbcos+4-R² = 0

r²(cos2b+sin²bcos²)+2r(-5.7cosb+2 sinbcos)+36.49-R² = 0

Отсюда

r=r(j)= (IX)

a(j)=1- sin²bsin² ;

b(j)=2(2sinbcos-5.7cosb);

c=36.49-R² .

Линия пересечения симметрична относительно луча j=0; ветвь, соответствующая знаку «-» в формуле (IX), посторонняя.

Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса

Подставляя параметризацию первого конуса (IX), в уравнение второго конуса(V), получаем уравнение:

(rsinbcos+7.7)²tg²b=(-7.7+rcosb)2+r²sin²bsin² квадратное уравнение относительно переменной r.

После упрощения получим:

r²(sin²bcos²tg²b- cos²b-sin²bsin²)+r(2d(sinbcos tg²b+cosb))+d² (tg²b-1)=0

r=, (X)

где а = sin²bcos²tg²b- cos²b- sin²bsin²;

b = d(sinbcos tg²b+cosb);

c = d²(tg²b-1).

Выкройка второго конуса

Она идентична выкройке первого конуса.

Расчет выкройки цилиндрической детали

Подставляем в формулу (VII) конкретные числовые данные и рассчитываем несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу 1.

Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u£; отражая эту линию пересечения относительно прямой u=, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра примем равной 8 см.

Расчет выкройки конических деталей

Произведем расчет по формулам (j; r) по формулам (IX, X). Результаты расчетов заносим в таблицы 2 и 3.

Возьмем сектор радиуса r_>0>=26см., и, учитывая симметричность относительно луча j=0, построим выкройку конической детали.

Изготовление выкроек деталей, сборка изделия

Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая предыдущее описание. Вырежем и склеим.