Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области
Прусаков Д. В.
«Первая
краевая задача для уравнения
теплопроводности в нецилиндрической
неограниченной области» 1998- 99 уч. г.
Введение 3
1.Постановка задачи 3
2. Оценочный анализ решения задачи. 4
2.1. Оценка решения сверху. 4
2.2. Оценка решения в виде интеграла 5
2.3. Выбор интервала ( ) и оценка погрешности 8
3. Формулировка результата в виде теоремы 10
4. Примеры 11
Заключение 12
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 13
Введение
В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.
1.Постановка задачи
В дипломной работе рассматривается задача:
(З)
0
.
t
x
Требуется
привести пример оценки решения задачи
(З) в области
, и исследовать полученную оценку при
2. Оценочный анализ решения задачи.
Оценка решения задачи (З) основывается
на принципе максимума для уравнения
теплопроводности : «Всякое решение
уравнения
в прямоугольнике
, непрерывное вплоть до границы, принимает
свои наибольшее и наименьшее значения
на нижних или на боковых его границах»
[2].
2.1. Оценка решения сверху.
В области t=t
, x=
рассмотрим решение задачи :
,
V(0,x) =
(
x ), x
, (1)
это решение имеет вид [1]:
v
(t, x) =
.
(2)
Зафиксируем
некоторое
и
перейдем к исходной системе координат,
тогда (2) в системе t=t,
x=
будет выглядеть так:
V(t,
x) =
(2’)
Из принципа максимума [2] заключаем, что:
U(
t, x )
V( t, x ). (3)
Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).
2.2. Оценка решения в виде интеграла
Разобьем интервал
<
x
на две части
и
,
тогда интеграл (2’)
запишется в виде:
V( t, x ) =
.
(*)
Исследуем знак подинтегрального
выражения, принимая во внимание, то что
:
;
(а)
;
;
где
.
После проведенного исследования видно, что
Использовав
известное разложение
,
где
Z
0,
,
заменим экспоненты во втором
интеграле рядами:
(а)
;
(б)
.
В результате получим :
Здесь:
,
, (4.1)
,
.
(4.2)
Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:
m=1,
U(t,
x)
.
(5)
Выше
приведенная оценка не отражает
качественной картины и может быть
использована при дальнейших исследованиях
задач подобного вида. ( т .к .
фиксированно)
Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).
пусть
(т.е.
финитна),
в соответствии с принципом максимума:
, (3’)
при
где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:
Аналогично, как и выше
здесь:
Таким образом,
(используем разложение в ряд Тейлора)
В итоге,
(5.1)
Рассмотрим два случая:
а) Пусть
,
тогда
в правой части неравенства (5.1) третье
и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к
нулю быстрее любой степени
,
поэтому (5.1) можно переписать как:
(5.2)
б) Пусть
тогда:
где
В результате получаем:
(5.3)
2.3. Выбор интервала
(
) и оценка погрешности
Зададим
произвольно некоторую константу
>0,
потребовав чтобы в (5)
<.
при
.
Неравенство (5) можно только усилить, если
<
(6)
Рассмотрим
общий вид
:
; (7)
,
(7.1)
b=x
( k=1 ) , b=2
(k=2)
оценка (7.1) эквивалентна системе
неравенств:
,
откуда:
.
(8)
Т.
к. в работе исследуется поведение
неравенства (3) при
то принимаем что для некоторого
:
.
(9)
3. Формулировка результата в виде теоремы
Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие теоремы:
1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача
(З)
-
гладкая, непрерывно - дифференцируемая
функция на
,а
функция
ограничена
на R :
.
Тогда
для любого сколь малого числа
можно указать число
,
такое что имеет место следующая оценка «сверху» решения задачи (З):
Раскрыв квадратные скобки, получим:
.
Пусть
в имеет место задача (З),
-
монотонная, неограниченная, возрастающая
функция,
тогда:
если
,
то
2) если
то
Замечанние:видно,
что оценку полученную в теореме 2 можно
получить и при более слабых ограничениях
4. Примеры
Пусть
,
.
Заключение
В дипломной работе произведена оценка решения «сверху» для уравнения теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно получить оценку решения «снизу». Для этого нужно рассмотреть ступенчатую область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной выше оценкой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1966 (с. 230 -233);
С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1973 . 33-34);
Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. «Наука», М. 1989.