Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез

Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С.П. Королева

Кафедра прикладной математики

Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема работы: «Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез»

Вариант № 15

Выполнил студент группы № 625
Евгений В. Репекто

Самара - 2002

Задание на расчетно-графическую работу

Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:

№		№		№		№
1	4	31	10	61	20	91	44
2	19	32	25	62	16	92	12
3	25	33	38	63	15	93	16
4	-4	34	1	64	32	94	9
5	58	35	19	65	52	95	12
6	34	36	55	66	-5	96	40
7	32	37	9	67	21	97	17
8	36	38	11	68	30	98	10
9	37	39	6	69	27	99	31
10	4	40	31	70	12	100	49
11	24	41	17	71	19	101	25
12	3	42	-6	72	1	102	33
13	48	43	14	73	23	103	26
14	36	44	9	74	7	104	19
15	27	45	13	75	4	105	25
16	20	46	25	76	16	106	34
17	1	47	11	77	38	107	10
18	39	48	18	78	40	108	24
19	11	49	2	79	30	109	2
20	16	50	29	80	14	110	38
21	49	51	20	81	51	111	30
22	25	52	48	82	17	112	10
23	26	53	16	83	25	113	39
24	30	54	29	84	34	114	1
25	19	55	12	85	23	115	40
26	32	56	-3	86	20	116	7
27	3	57	16	87	9	117	26
28	40	58	41	88	29	118	36
29	45	59	19	89	18	119	22
30	35	60	0	90	46	120	28

Все эти протокольные значения считаются значениями выборки

некоторой случайной величины , а 60 из них, имеющие нечетные номера – значениями выборки

другой случайной величины

Требуется:

Построить вариационные ряды для случайных величин и .

Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и .

Образец заполнения таблицы для статистического ряда.

№ пр-ка	Границы промежутка	Середина промежутка	Количество элементов выборки в промежутке	Частота для промежутка
1
2
…	…	…	…	…

Построить гистограммы распределения случайных величин и .

Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные дисперсии: , случайных величин и .

Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости .

Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.

Выполнить задание 6 для случайной величины .

Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности .

Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .

Решение

Построить вариационные ряды для случайных величин и .

Вариационный ряд величины

-6	12	22	33
-5	12	23	34
-4	12	23	34
-3	12	24	34
0	13	24	35
1	14	25	36
1	14	25	36
1	15	25	36
1	16	25	37
2	16	25	38
2	16	25	38
3	16	25	38
3	16	26	39
4	16	26	39
4	17	26	40
4	17	27	40
6	17	27	40
7	18	28	40
7	18	29	41
9	19	29	44
9	19	29	45
9	19	30	46
9	19	30	48
10	19	30	48
10	19	30	49
10	20	31	49
10	20	31	51
11	20	32	52
11	20	32	55
11	21	32	58

Вариационный ряд величины

1	21
2	22
2	23
3	23
4	24
4	25
6	25
9	25
9	25
10	26
10	26
11	26
11	27
12	27
12	30
13	30
14	31
15	32
16	37
16	38
16	38
17	39
17	40
18	44
19	45
19	48
19	49
19	51
20	52
20	58

Найдем количество элементов выборок после группировки элементов

Величина :

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины

№ пр-ка	Границы промежутка	Середина промежутка	Количество элементов выборки в промежутке	Частота для промежутка
1	-8 ; 0	-4	4	0.0333
2	-0 ; 8	4	15	0.1250
3	8 ; 16	12	19	0.1583
4	16 ; 24	20	25	0.2083
5	24 ; 32	28	24	0.2000
6	32 ; 40	36	17	0.1417
7	40 ; 48	44	8	0.0667
8	48 ; 56	52	8	0.0667

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины

№ пр-ка	Границы промежутка	Середина промежутка	Количество элементов выборки в промежутке	Частота для промежутка
1	0; 9	4,5	7	0.1167
2	9 ; 18	13,5	16	0.2667
3	18 ; 27	22,5	19	0.3167
4	27 ; 36	31,5	6	0.1000
5	36 ; 45	40,5	6	0.1000
6	45 ; 54	49,5	5	0.0833
7	54 ; 63	58,5	1	0.0167

Построить гистограммы распределения случайных величин и .

Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.

Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: , случайных величин и .

Выборочное среднее случайной величины равно

Выборочное среднее случайно величины равно

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины :

=14.3632

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины :

=13.5727

Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины .

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,

Построим вспомогательную таблицу:


1	4	-1.9169	4.2461	0.0606	0.014
2	15	-1.3600	10.5760	19.572	1.850
3	19	-0.8030	19.3161	0.0999	0.005
4	25	-0.2460	25.8695	0.7561	0.0292
5	24	0.3110	25.4056	1.9757	0.0778
6	17	0.8680	18.2954	1.6780	0.0917
7	8	1.4249	9.6610	2.7590	0.2856
8	8	1.9819	3.7409	18.139	4.8491

В итоге получим = 7,2035

По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим

Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .

Для случайной величины :

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле

, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,


1	7	-1.4036	5.9274	1.1504	0.1941
2	16	-0.7405	12.0665	15.4725	1.2823
3	19	-0.0774	15.8248	10.0820	0.6371
4	6	0.5857	13.3702	54.3197	4.0627
5	6	1.2488	7.2775	1.6319	0.2242
6	5	1.9119	2.5519	5.9932	2.3485
7	1	2.5750	0.5765	0.1794	0.3111

В итоге получим = 8.1783

По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим

Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .

Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.

Выполнить задание 6 для случайной величины .

Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим образом:

Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =120 находим: =1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

То есть: (20,93721;26,12946).

Найдем доверительный интервал для математического ожидания :

Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =60 находим: =2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

То есть: (20,043;27,056).

Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности имеет вид

Для случайной величины найдем:

Таким образом, имеем доверительный интервал: (162,8696; 273,8515).

Для случайной величины найдем

Таким образом, имеем доверительный интервал: (134,82; 277,8554).

(Квантили распределения найдены по таблице [3], стр. 413).

Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .

Рассмотрим статистику

где

которая имеет распределение Стъюдента ,

Тогда область принятия гипотезы .

Найдем s:

Найдем значение статистики :

По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)

Т. к. , то гипотеза принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий не противоречит результатам наблюдений.

Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости.

Рассмотрим статистику , где , т.к. . Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы

Найдем значение статистики :

По таблицам найдем . Т.к. , то гипотеза принимается. Предположение не противоречит результатам наблюдений.

Библиографический список

Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.