О некоторых применениях алгебры матриц
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Лакунова Залина
Дипломная работа
«О некоторых применениях алгебры матриц»
Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А /В.Н.Шокуев /
Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент /В.М.Казиев/
Допущена к защите 2002г.
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент /А.Х.Журтов/
Нальчик 2002
Оглавление
стр.
Введение 3
§1. О правиле Крамера 4
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9
§3. Матричный вывод формулы Кардано 17
Литература 21
Отзыв
О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.
В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.
В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.
Предварительная оценка – «хорошо»
д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/
§1. О правиле Крамера
В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем.
Пусть дана Крамерова система,
т.е. квадратная система
линейных уравнений с неизвестными
(1)
Определитель которой отличен от нуля:
(2)
Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения
(3)
где
-
матрица коэффициентов при неизвестных
системы (1),
(4)
-
столбец (Матрица-столбец) неизвестных
-
столбец свободных членов системы (1)
Так
как
,
то матрица
невырожденная и для нее существует
обратная матрица
.
Умножив равенство (3) на
(слева), получим (единственное) решение
системы в следующей матричной форме (в
предположении, что она совместима и
-
ее решение)
,
где
обратная матрица
имеет вид:
(
-алгебраическое
дополнение элемента
в определителе
)
Другой известный способ можно
назвать методом алгебраических
дополнений. Его использование
предполагает владение понятием
алгебраического дополнения
как и в матричном способе, теоремой о
разложении определителя по столбцу
(строке), теоремами о замещении и об
аннулировании.
Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц.
Суть
этого метода можно понять легко, если
сначала рассмотрим случай
.
Очевидно, что при
выполняются следующие матричные
равенства (если задана система (1)):
Переходя
к определителям в этих равенствах и
обозначив определители правых частей
соответственно через
получим формулы Крамера:
(
)
(Правило Крамера)
Переход
к общему случаю Крамеровых систем (1)
порядка
ничего по существу не меняет. Просто
следует заметить, что матрица
с определителем
получается из единичной матрицы заменой
-го
столбца столбцом неизвестных:
(5)
Теперь из
равенств
,
где
-
матрица, получающаяся заменой
-
го столбца матрицы
столбцом свободных членов системы (1),
причем к формулам Крамера, взяв
определители от обеих частей в каждом
равенстве:
,
откуда ввиду
имеем
.
(здесь
получается из
,
как и
из
).
Другой, еще более короткий способ
отыскания решения системы (1) состоит в
следующем (по-прежнему
):
пусть система (1) совместна и числа
(после переобозначений) образуют ее
решение. Тогда при
имеем, используя два линейных свойства
определителя:
Можно начать и с определителя
,
в котором вместо свободных членов в
-м
столбце подставлены их выражения
согласно (1); используя соответствующие
свойства определителя, получим:
(),
откуда и получаются формулы Крамера.
Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов.
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.
Матрица вида:
- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)
.
Прибавив первые две строки к третьей, получим:
.
Вынесем общий множитель
из последней строки:
.
Так как
,
то
.
С другой стороны, по определению детерминанта имеем:
Следовательно, выполняется тождество
(1)
Имеет место следующее предложение.
Предложение 1. Уравнение
(2)
не имеет решений в натуральных
числах
Доказательство:
Если
-
вещественные положительные числа, не
все равные между собой, то
(3)
Пусть
-
не все равные между собой положительные
числа. Тогда существуют положительные
числа
и
,
не все равные между собой, такие, что
.
К этим числам применим тождество (1). Так
как не все числа
между собой равны, то последний сомножитель
правой части тождества (1) есть число
положительное и, следовательно,
,
.
(4)
Так
как
,
то неравенство (4) дает неравенство (3).
(Неравенство (3) можно переписать в виде
;
получим известный факт о том, что среднее
арифметическое трех положительных, не
равных между собой чисел больше их
среднего геометрического).
Пусть
и
-
натуральные числа, удовлетворяющие
уравнению (2). Представляются две
возможности: либо числа
все равны между собой, либо не все эти
числа равны друг другу.
В
первом случае все они должны быть равны
1, так как она положительные и
,
и мы имели бы:
-
противоречие.
Значит,
не все три числа
равны между собой; поэтому в силу
неравенства (3) имеем
,
откуда
.
Таким образом, доказано что уравнение
не
имеет решений в натуральных числах
.
Предложение 2. Уравнение
разрешимо
в натуральных числах
.
Доказательство:
удовлетворяют нашему уравнению. Если
не все три числа
между собой равны, то как мы видели в
ходе доказательства Предложения (1),
выполняется неравенство
-
противоречие. Таким образом, должно
быть
,
и из нашего уравнения следует, что каждое
из этих чисел равно 1, так что
.
Поэтому получаем
.
Итак, мы доказали, что заданное
уравнение имеет бесконечно много решений
в натуральных числах
.
Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц (второго порядка)
где
-
мнимая единица. Переходя к определителям,
получим равенство
.
(5)
Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов.
Доказательство:
Пусть число
делится на простое число
вида
:
.
Требуется
доказать, что частное
имеет вид
.
Предположим, что задача уже решена, т.е.
,
(6)
и
с помощью анализа попробуем найти
искомые числа
и
.
Гипотетическое равенство (6) подсказывает
целесообразность рассмотрения матричных
равенств.
и
перемножив правые части этих равенств, получим:
отсюда имеем:
(7)
(8)
.
(9)
Так
как
-
простое число и
делит
,
то равенство (9) показывает, что
или
делится на
.
Пусть
.
Тогда из тождества
,
верного
в силу (5) следует, что на
делится и число
,
а поскольку
-
простое,
,
так что в силу (7)
-
целое число. Таким образом, в рассматриваемом
случае имеем:
и Предложение 4 доказано.
Если
же
,
т.е. в силу (8)
-
целое, то, рассуждая как и выше, можем
написать:
;
отсюда
следует, что
,
т.е.
-
целое. В этом случае
.
§3. Матричный вывод формулы Кардано
В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для корней кубического произведения уравнения.
Пусть дано любое кубическое уравнение
. (1)
Если
-
его корень, то
,
поэтому
,
т.е.
есть корень уравнения, получающегося
из (1) делением всех коэффициентов т
правой части на
,
и обратно. Поэтому (1) эквивалентно
уравнению.
.
(2)
Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным 1, т.е. уравнения вида
,
(3)
которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку
,
(4)
получим:
,
т.е.
,
(5)
где
и
определяются по заданным коэффициентам
уравнения (3). Уравнение (5) эквивалентно
уравнению (3), поэтому достаточно научиться
решать уравнения типа (5). В силу этого,
обозначив через
неизвестное, мы видим, что решение любого
кубического уравнения вида
,
(6)
называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего порядка имеет место тождество
, (7)
где
-
любые числа,
-
один из корней третьей степени из
единицы, так что
(проверка тождества опирается на
равенство
).
Попробуем теперь отождествить наше
уравнение (6) с уравнением
,
(8)
т.е. положим
где
и
пока неизвестны. Чтобы вычислить их,
имеем систему
которая показывает (в силу теоремы
Виета), что
и
являются корнями квадратного уравнения
т.е.
и поэтому
(9)
Таким
образом, уравнение (6) эквивалентно
уравнению (8), в котором
и
определяются по формулам (9). В свою
очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно
уравнению
и теперь получаем:
(10)
где
и
определяются по (9). При этом надо иметь
ввиду, что кубические корни из (9) имеют
по три значения и их необходимо
комбинировать с учетом равенства
;
если одна пара значений
и
выбрана указанным образом, то все три
корня определяются по формулам (10).
Сказанное можно представить и по другому;
можно сказать, что значения неизвестного
определяются из равенства
т.е.
(11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих кубических радикалов.
Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.
ЛИТЕРАТУРА
Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.
Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г.
А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.
Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. «Мир», М., 1980 г.