Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (работа 1)

Ìîðôîëîãè÷åñêèé àíàëèç öâåòíûõ (ñïåêòðîçîíàëüíûõ) èçîáðàæåíèé.

Ïûòüåâ Þ.Ï.

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, Ìîñêâà, Ðîññèÿ

1. Ââåäåíèå

Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî изображения îäíîé è òîé æå ñöåíû, ïîëó÷åííûå ïðè ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ îñâåùåíèÿ è(èëè) èçìåíåííûõ¹ îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ îáúåêòîâ ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ðàäèêàëüíî. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîðîæäàåò çíà÷èòåëüíûå òðóäíîñòè â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ àíàëèçà è èíòåðïðåòàöèè èçîáðàæåíèé ðåàëüíûõ ñöåí, â êîòîðûõ ðåøåíèå äîëæíî íå çàâèñåòü îò óñëîâèé ðåãèñòðàöèè èçîáðàæåíèé. Ðå÷ü èäåò, íàïðèìåð, î çàäà÷àõ âûäåëåíèÿ íåèçâåñòíîãî îáúåêòà íà ôîíå èçâåñòíîé ìåñòíîñòè, èçâåñòíîãî îáúåêòà íà ïðîèçâîëüíîì ôîíå ïðè íåêîíòðîëèðóåìûõ óñëîâèÿõ îñâåùåíèÿ, î çàäà÷å ñîâìåùåíèÿ èçîáðàæåííèé îäíîé è òîé æå ñöåíû, ïîëó÷åííûõ â ðàçëè÷íûõ ñïåêòðàëüíûõ äèàïàçîíàõ è ò.ä.

Ìåòîäû ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà, ðàçðàáîòàííûå áîëåå äåñÿòè ëåò òîìó íàçàä, [1-5], äëÿ ðåøåíèÿ ïåðå÷èñëåííûõ çàäà÷, áûëè â îñíîâíîì îðèåíòèðîâàíû äëÿ ïðèìåíåíèÿ ê ÷åðíî-áåëûì èçîáðàæåíèÿì² è îêàçàëèñü äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíûìè, [5-11].

Ìåæäó òåì, ïî ìåíüøåé ìåðå äâà îáñòîÿòåëüñòâà óêàçûâàþò íà öåëåñîîáðàçíîñòü ðàçðàáîòêè ìîðôîëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ àíàëèçà öâåòíûõ èçîáðàæåíèé. Âî-ïåðâûõ, â çàäà÷å îáíàðóæåíèÿ è âûäåëåíèÿ îáúåêòà ïîñëåäíèé, êàê ïðàâèëî, ïðåæäå âñåãî öâåòîì îòëè÷àåòñÿ îò ôîíà. Âî-âòîðûõ, îïèñàíèå ôîðìû èçîáðàæåíèÿ â òåðìèíàõ öâåòà ïîçâîëèò ïðàêòè÷åñêè óñòðàíèòü ýôôåêò òåíåé è âëèÿíèå íåîïðåäåëåííîñòè â ïðîñòðàíñòâåííîì ðàñïðåäåëåíèè èíòåíñèâíîñòè ñïåêòðàëüíî îäíîðîäíîãî îñâåùåíèÿ.

2. Öâåò è ÿðêîñòü ñïåêòîçîíàëüíîãî èçîáðàæåíèÿ.

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå àñïåêòû òåîðèè öâåòà òàê íàçûâàåìûõ ìíîãîñïåêòðàëüíûõ (ñïåêòðîçîíàëüíûõ, [13]) èçîáðàæåíèé, àíàëîãè÷íîé êëàññè÷åñêîé êîëîðèìåòðèè [12]. Áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè n äåòåêòîðîâ èçëó÷åíèÿ ñî ñïåêòðàëüíûìè ÷óâñòâèòåëüíîñòÿìè _> > j=1,2,...,n, ãäå Î(0,) - äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ. Èõ âûõîäíûå ñèãíàëû, îòâå÷àþùèå ïîòîêó èçëó÷åíèÿ ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ e()³0, (0,), äàëåå íàçûâàåìîé èçëó÷åíèåì, îáðàçóþò âåêòîð _> >, w=_> >. Îïðåäåëèì ñóììàðíóþ ñïåêòðàëüíóþ ÷óâñòâèòåëüíîñòü äåòåêòîðîâ _> >, (0,), è ñîîòâåòñòâóþùèé ñóììàðíûé ñèãíàë _> > íàçîâåì ÿðêîñòüþ èçëó÷åíèÿ e. Âåêòîð _> > íàçîâåì öâåòîì èçëó÷åíèÿ e. Åñëè öâåò e è ñàìî èçëó÷åíèå íàçîâåì ÷åðíûì. Ïîñêîëüêó ðàâåíñòâà _> > è ýêâèâàëåíòíû, ðàâåíñòâî _> > èìååò ñìûñë è äëÿ ÷åðíîãî öâåòà, ïðè÷åì â ýòîì ñëó÷àå _> > - ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, ÿðêîñòü îòîðîãî ðàâíà åäèíèöå. Èçëó÷åíèå eíàçîâåì áåëûì è åãî öâåò îáîçíà÷èì _> > åñëè îòâå÷àþùèå åìó âûõîäíûå ñèãíàëû âñåõ äåòåêòîðîâ îäèíàêîâû:

_> >.

Âåêòîðû _> > , è _> > , _> >, óäîáíî ñ÷èòàòü ýëåìåíòàìè n-ìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà _> >. Âåêòîðû f_>e>, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì èçëó÷åíèÿì e, ñîäåðæàòñÿ â êîíóñå _> >_> >. Êîíöû âåêòîðîâ _> > ñîäåðæàòñÿ â ìíîæåñòâå _> >, ãäå Ï - ãèïåðïëîñêîñòü _> >.

Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñÿêîå èçëó÷åíèå _> > , ãäå E - âûïóêëûé êîíóñ èçëó÷åíèé, ñîäåðæàùèé âìåñòå ñ ëþáûìè èçëó÷åíèÿìè _> > âñå èõ âûïóêëûå êîìáèíàöèè (ñìåñè) _> > Ïîýòîìó âåêòîðû _> > â _> > îáðàçóþò âûïóêëûé êîíóñ _> >, à âåêòîðû _> >.

Åñëè _> >òî è èõ àääèòèâíàÿ ñìåñü _> >. Äëÿ íåå

_> > _> > _> >. (1)

Îòñþäà ñëåäóåò

Ëåììà 1. ßðêîñòü f_>e> è öâåò _>e> ëþáîé àääèòèâíîé ñìåñè e èçëó÷åíèé e_>1>(),...,e_>m>(), m=1,2,... îïðåäåëÿþòñÿ ÿðêîñòÿìè è öâåòàìè ñëàãàåìûõ.

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðàâåíñòâî _> >, îçíà÷àþùåå ôàêò ñîâïàäåíèÿ ÿðêîñòè è öâåòà èçëó÷åíèé e è _> >, êàê ïðàâèëî, ñîäåðæèò ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøóþ èíôîðìàöèþ îá èõ îòíîñèòåëüíîì ñïåêòðàëüíîì ñîñòàâå. Îäíàêî çàìåíà e íà _> > â ëþáîé àääèòèâíîé ñìåñè èçëó÷åíèé íå èçìåíèò íè öâåòà, íè ÿðêîñòè ïîñëåäíåé.

Äàëåå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåêòîð w òàêîâ, ÷òî â E ìîæíî óêàçàòü áàçîâûå èçëó÷åíèÿ _> >, äëÿ êîòîðûõ âåêòîðû _> >, j=1,...,n, ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïîñêîëüêó öâåò òàêèõ èçëó÷åíèé íåïðåìåííî îòëè÷åí îò ÷åðíîãî, èõ ÿðêîñòè áóäåì ñ÷èòàòü åäèíè÷íûìè, _> >, j=1,...,n.  òàêîì ñëó÷àå èçëó÷åíèå _> > õàðàêòåðèçóåòñÿ ëèøü öâåòîì _> >, j=1,...,n.

Äëÿ âñÿêîãî èçëó÷åíèÿ e ìîæíî çàïèñàòü ðàçëîæåíèå

_> >, (1*)

â êîòîðîì _> > - êîîðäèíàòû _> > â áàçèñå _> >,

èëè, â âèäå âûõîäíûõ ñèãíàëîâ äåòåêòîðîâ èçëó÷åíèÿ, - _> >, ãäå _> >, _> >, - âûõîäíîé ñèãíàë i-ãî äåòåêòîðà, îòâå÷àþùèé j-îìó èçëó÷åíèþ _>j>(), i, j=1,...,n. Ìàòðèöà _> > - ñòîõàñòè÷åñêàÿ, ïîñêîëüêó åå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êàê ÿðêîñòè áàçîâûõ èçëó÷åíèé _> > íåîòðèöàòåëüíû è _> >, j=1,...,n. Ïðè ýòîì ÿðêîñòü _> > è âåêòîð öâåòà _> >, _> >, j=1,...,n, (êîíåö êîòîðîãî ëåæèò â Ï) îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè _>j> è öâåòàìè èçëó÷åíèé _> >, j=1,...,n, è íå çàâèñÿò íåïîñðåäñòâåííî îò ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà èçëó÷åíèÿ e.

 ðÿäå ñëó÷àåâ áåëîå èçëó÷åíèå åñòåñòâåííî îïðåäåëÿòü èñõîäÿ èç áàçîâûõ èçëó÷åíèé, à íå èç âûõîäíûõ ñèãíàëîâ äåòåêòîðîâ, ñ÷èòàÿ áåëûì âñÿêîå èçëó÷åíèå, êîòîðîìó â (1*) îòâå÷àþò ðàâíûå êîîðäèíàòû: _> >.

Çàìåòèì, ÷òî ñëàãàåìûå â (1*), ó êîòîðûõ _>j><0,³ ôèçè÷åñêè èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèå èçëó÷åíèÿì, "ïîìåùåííûì" â ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (1*) ñ êîýôôèöèåíòàìè -_>j>>0: _> >.  òàêîé ôîðìå ðàâåíñòâî (1*) ïðåäñòàâëÿåò “áàëàíñ èçëó÷åíèé”.

Îïðåäåëèì â _> > ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå _> > è âåêòîðû _> >, áèîðòîãîíàëüíî ñîïðÿæåííûå ñ _> >: _> >, i,j=1,...,n.

Ëåììà 2.  ðàçëîæåíèè (1*) _> >, j=1,...,n, _> >. ßðêîñòü _> >, ãäå _> >, ïðè÷åì âåêòîð  îðòîãîíàëåí ãèïåðïëîñêîñòè Ï, òàê êàê _> >, i,j=1,...,n.

×òî êàñàåòñÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèâåäåíèÿ _> >, òî åãî åñòåñòâåííî îïðåäåëÿòü òàê, ÷òîáû âûõîäíûå ñèãíàëû äåòåêòîðîâ _> > áûëè êîîðäèíàòàìè f_>e> â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå _> >. Â ýòîì áàçèñå êîíóñ _> >. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ _> > è, òåì áîëåå, äëÿ _> >, _> >⁴.

Ïóñòü Õ - ïîëå çðåíèÿ, íàïðèìåð, îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü íà ïëîñêîñòè R_>2>, èëè íà ñåòêå _> >, _> > ñïåêòðàëüíàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü j-ãî äåòåêòîðà èçëó÷åíèÿ, ðàñïîëîæåííîãî â òî÷êå _> > _> >; _> > - èçëó÷åíèå, ïîïàäàþùåå â òî÷êó _> >. Èçîáðàæåíèåì íàçîâåì âåêòîðíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ _> >

_> > (2**)

Òî÷íåå, ïóñòü Õ - ïîëå çðåíèÿ, (Õ, Ñ, ) - èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî Õ ñ ìåðîé C - -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ X. Öâåòíîå (ñïåêòðîçîíàëüíîå) èçîáðàæåíèå _> >îïðåäåëèì ðàâåíñòâîì

_> > , (2)

â êîòîðîì ïî÷òè äëÿ âñåõ _> >, _> >, - -èçìåðèìûå ôóíêöèè íà ïîëå çðåíèÿ X, òàêèå, ÷òî

_> >.

Öâåòíûå èçîáðàæåíèÿ îáðàçóþò ïîäêëàññ ôóíêöèé _> > ëåáåãîâñêîãî êëàññà _> > ôóíêöèé _> >. Êëàññ öâåòíûõ èçîáðàæåíèé îáîçíà÷èì L_>E>,_>n>.

Âïðî÷åì, äëÿ óïðîùåíèÿ òåðìèíîëîãèè äàëåå ëþáîé ýëåìåíò _> > íàçûâàåòñÿ öâåòíûì èçîáðàæåíèåì, à óñëîâèå

_> > (2*)

óñëîâèåì ôèçè÷íîñòè èçîáðàæåíèé f().

Åñëè f - öâåòíîå èçîáðàæåíèå (2), òî _> >, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, - ÷åðíî-áåëîå èçîáðàæåíèå [2], ò.å. _> >, _> >. Èçîáðàæåíèå _> >, íàçîâåì ÷åðíî-áåëûì âàðèàíòîì öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f, à öâåòíîå èçîáðàæåíèå _> >, f(x)¹0, xX - öâåòîì èçîáðàæåíèÿ f.  òî÷êàõ ìíîæåñòâà Â={xX: f(x)=0} ÷åðíîãî öâåòà (x), xÂ, - ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû èç _> >, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ: ÿðêîñòü (x)=1. ×åðíî-áåëûì âàðèàíòîì öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f áóäåì òàêæå íàçûâàòü öâåòíîå èçîáðàæåíèå b(), èìåþùåå â êàæäîé òî÷êå Õ òó æå ÿðêîñòü, ÷òî è f, b(x)=f(x), xX, è áåëûé öâåò, (x)=b(x)/b(x)=, xX.

3. Форма цветного изображения.

Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием _> >, в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения _> > в каждой точке _> >при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке _> >у вектора f(x) может измениться длина, но направление останется неизменным.

Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом  нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f(x) в терминах преобразования его цвета (). Для этого определим отображение A():_> >, ставящее в соответствие каждому вектору цвета _> >подмножество поля зрения _> >в точках которого изображение _> >, имеет постоянный цвет _> >.

Пусть при рассматриваемом изменении освещения _> >и, соответственно, _> >; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет _> > преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A(), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от . Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство _> > влечет _> >. Если _> > - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A() и A() цвет изображения _> > может оказаться одинаковым⁵.

Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.

Для определения понятия формы цветного изображения f() на _> > удобно ввести частичный порядок  , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1)_> >, 2) _> >, _> >, то _> >, _> >; отношение  должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, _> >, если _> >. Отношение  интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, _> > означает, что изображения fиg сравнимы по форме, причем форма g не сложнее, чем форма f. Если _> > и _> >, то f и g назовем совпадающими по форме (изоморфными), f _>~ >g. Например, если f и g - изображения одной и той же сцены, то g, грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f, если _> >.

В рассматриваемом выше примере преобразования изображений _> >если между множествами A(),_> > и A(),_> > существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция _> >, такая, что A(())= A(),_> >, причем_> >, если _> >. В этом случае равенства _> > и _> > эквивалентны, _> > и _> > изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.

Если же _> > не взаимно однозначно, то A()=U A() è _> >. В этом случае равенство _> > влечет _> > (но не эквивалентно) _> >, _> > передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в _> >.

Пусть, скажем, g - черно-белый вариант f, т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=, xX. Если преобразование _> > - следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, _> >. Аналогично, если fgизображения одной и той же сцены, но в gвследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то _> >. Пусть F - некоторая полугруппа преобразований _> >, тогда для любого преобразования FF _> >, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f, то они, тем более, не будут отражены в g.

Формой _> > изображения f назовем множество изображений _> >, форма которых не сложнее, чем форма f`, и их пределов в _> >(черта символизирует замыкание в _> >). Формой изображения fв широком смысле назовем минимальное линейное подпространство _> >, содержащее _> >. Если считать, что _> > для любого изображения _> >, то это будет означать, что отношение  непрерывно относительно сходимости в _> > в том смысле, что _> >.

Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.

4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.

Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде _> > здесь _> > - индикаторные функции непересекающихся подмножеств А_>i>, i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых функции _> >, _> >, j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны. Поскольку согласно лемме 2

_> > _> >_> > , (3)

то цветное изображение f_>e>, такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве A_>i>, i=1,...,N. Для изображения _> >, _> > где _> >, также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом A_>i>, если _> >, - непрерывные функции.

Если, в частности, цвет и яркость _> > постоянны на A_>i>, i=1,...,N, то это верно и для всякого изображения _> >, если _> > не зависит явно от _> >. Для такого изображения примем следующее представление:

_> >, (4)

его черно-белый вариант

_> > (4*)

на каждом A_>i> имеет постоянную яркость _> >, и цвет изображения (4)

_> > (4**)

не меняется на A_>i> и равен _> >, i=1,...,N.

Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), _> >, то форму изображения (4), имеющего на различных множествах А_>i >имеет несовпадающие яркости _> > и различные цвета _> >, определим как выпуклый замкнутый в _> >конус:

_> > _> >. (4***)

v(a), очевидно, содержится в nN мерном линейном подпространстве

_> > _> >, (4****)

которое назовем формой a() в широком смысле.

Форму в широком смысле любого изображения a(), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах A_>i >,i=1,...,N, определим как линейное подпространство _> >, íàòÿíóòîå íå âåêòîð-ôóíêöèè Fa(),FF, где F - класс преобразований _> >, îïðåäåëåííûõ êàê ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ a(x)Fa(x) во всех точках xX; здесь F - любое преобразование _> >. Òîò ôàêò, ÷òî F îçíà÷àåò êàê ïðåîáðàçîâàíèå _> >, òàê è ïðåîáðàçîâàíèå _> >, íå äîëæåí âûçûâàòü íåäîðàçóìåíèÿ.

Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a() (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах А_>i>, i=1,…………..,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a()), если речь идет о форме в широком смысле.

Ëåììà 3. Ïóñòü {À_>i>} - èçìåðèìîå ðàçáèåíèå X: _> >.

Изображение (3) имеет на каждом подмножестве A_>i> :

 постоянную яркость _> > и цвет _> > , если и только если выполняется равенство (4);

 постоянный цвет _> >, если и только если в (3) _> >;

 постоянную яркость f_>i> , i=1,...,N, если и только если в (3) _> > не зависит от _> >, i=1,…...,N.

Доказательство . На множестве A_>i> яркость и цвет изображения (3) равны соответственно⁶

_> > , _> >, i=1,.…..,N.

Если выполнено равенство (4), то _> > и _> > от _> > не зависят. Наоборот, если _> > и _> >, то и _> >, т.е. выполняется (4).

Если _> > , то цвет _> > не зависит от _> > . Наоборот, пусть _> > не зависит от _> >. В силу линейной независимости _> > координаты _>(>_>i)>(x) не зависят от _> > , т.е. _> > и, следовательно, _> > где _> > - яркость на A _>i> и _> >. Последнее утверждение очевидно 

Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств A_>i> , i=1,...,N, поля зрения X.

Итак, пусть в согласии с леммой 3

_> > , (5)

где, _> > - индикаторная функция A_>i>, _> >, функция g_>i> задает распределение яркости

_> > (6)

в пределах A_>i> при постоянном цвете

_> >, i=1,...,N, (7)

причем для изображения (5) цвета _>(i)>, i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g_>(i)>, i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям _> > i=1,.…..,N.

Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки _> >, позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на A_>i> задается функцией _> > а цвет на A_>i> равен

_> > (7*)

Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

_> > (8)

_> >,

êàæäîå èç êîòîðûõ, êàê è èçîáðàæåíèå (5), èìååò ïîñòîÿííûé öâåò â ïðåäåëàõ êàæäîãî A_>i>, i=1,...,N. Ôîðìà òàêèõ èçîáðàæåíèé íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà f() (5), ïîñêîëüêó â èçîáðàæåíèè _> > íà íåêîòîðûõ ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâàõ A_>i>, i=1,...,N, ìîãóò ñîâïàäàòü çíà÷åíèÿ öâåòà, êîòîðûå íåïðåìåíðíî ðàçëè÷íû â èçîáðàæåíèè f() (5). Ñîâïàäåíèå öâåòà _> > íà ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâàõ A_>i>, i=1,...,N âåäåò ê óïðîùåíèþ ôîðìû èçîáðàæåíèÿ _> > ïî ñðàâíåíèþ ñ ôîðìîé f() (5). Âñå èçîáðàæåíèÿ _> >, èìåþùèå ðàçëè÷íûé öâåò íà ðàçëè÷íûõ A_>i>, i=1,...,N, ñ÷èòàþòñÿ èçîìîðôíûìè fè ìåæäó ñîáîé), ôîðìà îñòàëüíûõ íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà f. Åñëè _> >, òî, î÷åâèäíî, _> >.

Åñëè â (8) ÿðêîñòü _> >, òî öâåò _> > íà A_>i> ñ÷èòàåòñÿ ïðîèçâîëüíûì (ïîñòîÿííûì), åñëè æå _> > â òî÷êàõ íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà _> >, òî öâåò _> > íà A_>i> ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì öâåòó _> > íà _> >, i=1,...,N.

Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения _> >, форма которых не сложнее, чем форма _> >, должны иметь на A_>i>, i=1,...,N, тот же цвет, что и у _> > то следует потребовать, чтобы _> >, в то время, как яркости _> > îñòàþòñÿ ïðîèçâîëüíûìè (åñëè _> >, òî öâåò _> > íà A_>i> îïðåäåëÿåòñÿ ðàâíûì öâåòó f íà A_>i>, i=1,...,N).

Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения fв том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости _> > при неизменном цвете (x) в каждой точке _> >. Множество, содержащее все такие изображения

_> > (9)

назовем формой в широком смысле изображения _> >, у которого f(x)0, -почти для всех _> >, [ср. 2]. _> > является линейным подпространством _> >, содержащем любую форму

_> >, (10)

в которой включение _> >определяет допустимые значения яркости. В частности, если _> >означает, что яркость неотрицательна: _> >, то _> > - выпуклый замкнутый конус в _> >, принадлежащий _> >.

Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

5. Çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè öâåòíûõ èçîáðàæåíèé. Форма как оператор наилучшего приближения.

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå çàäà÷è ïðèáëèæåíèÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè (ìîçàè÷íûìè) èçîáðàæåíèÿìè. Ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ ïîçâîëèò ïîñòðîèòü ôîðìó èçîáðàæåíèÿ _> > â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî _> > äëÿ ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ _> >, äåéñòâóþùåãî íà èçîáðàæåíèå _> > êàê íà âåêòîð _> > â êàæäîé òî÷êå _> > è îñòàâëÿþùåãî _> > ýëåìåíòîì _> >, ò.å. èçîáðàæåíèåì. Ôîðìà â øèðîêîì ñìûñëå _> > îïðåäåëÿåòñÿ êàê îïåðàòîð _> > íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ _> > èçîáðàæåíèÿìè _> >

_> >

ãäå _> >- êëàññ ïðåîáðàçîâàíèé _> >, òàêîé, ÷òî _> >. Èíà÷å ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî

_> > (10*)

à _> > - îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà _> >, ôîðìà êîòîðûõ íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà _> >. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì äëÿ _> > ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî, åñëè f(x)=f(y), òî äëÿ ëþáîãî _> >.

5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения _> > поля зрения X.

Задано разбиение _> >, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ÿðêîñòü è öâåò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ íà êàæäîì _> >. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ â _> > öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f() (2) èçîáðàæåíèÿìè (4), â êîòîðûõ ñ÷èòàåòñÿ çàäàííûì ðàçáèåíèå _> > ïîëÿ çðåíèÿ X è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü _> > èç óñëîâèÿ

_> >

_> > (11)

Òåîðåìà 1. Ïóñòü _> >. Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (11) èìååò âèä

_> >, i=1,...,N, j=1,...,n, (12)

è èñêîìîå èçîáðàæåíèå (4) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì

_> > . (13)

Îïåðàòîð _> > ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ïðîåêòîðîì íà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî (4****) _> > èçîáðàæåíèé (4), ÿðêîñòè è öâåòа êîòîðûõ íå èçìåíÿþòñÿ â ïðåäåëàõ êàæäîãî A_>i> , i=1,...,N.

×åðíî-áåëûé âàðèàíò _> > (4*) öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ _> >(4) ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â _> > àïïðîêñèìàöèåé ÷åðíî-áåëîãî âàðèàíòà _> > öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f, åñëè öâåòíîå èçîáðàæåíèå _> >(4) ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â _> > àïïðîêñèìàöèåé öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f. Оператор _> >, является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого _> >.

 òî÷êàõ ìíîæåñòâà _> > öâåò _> >(4**) íàèëó÷øåé àïïðîêñèìàöèè _> >(4) öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f (2) ÿâëÿåòñÿ öâåòîì àääèòèâíîé ñìåñè ñîñòàâëÿþùèõ f èçëó÷åíèé, êîòîðûå ïîïàäàþò íà _> >.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàâåíñòâà (12) - óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (11), Ï - îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð, ïîñêîëüêó â çàäà÷å (11) íàèëó÷øàÿ àïïðîêñèìàöèÿ - îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ f íà _> >. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà

_> >, âûòåêàþùåãî èç (13). Последнеå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ

_> >_> >,i=1,...,N âûòåêàþùèõ èç (12) è ðàâåíñòâà (1), â êîòîðîì èíäåêñ k ñëåäóåò çàìåíèòü íà xX. ■

Çàìå÷àíèå 1. Äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ðàçáèåíèÿ _> > îðòîãîíàëüíûå ïðîåêòîðû _> > è _> > îïðåäåëÿþò ñîîòâåòñòâåííî ôîðìó â øèðîêîì ñìûñëå öâåòíîãî èçîáðàæåíèя (4), öâåò è ÿðêîñòü êîòîðîãî, ïîñòîÿííûå â ïðåäåëàõ êàæäîãî _> >, ðàçëè÷íû äëÿ ðàçëè÷íûõ _> >, èáî _> >, è ôîðìó â øèðîêîì ñìûñëå ÷åðíî-áåëого èçîáðàæåíèя, ÿðêîñòü êîòîðого ïîñòîÿííà íà êàæäîì _> > è ðàçëè÷íà äëÿ ðàçíûõ _> >,[2].

Åñëè ó÷åñòü, óñëîâèå ôèçè÷íîñòè (2*), òî ôîðìîé öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ ñëåäóåò ñ÷èòàòü ïðîåêòîð _> >_> >íà âûïóêëûé замкнутый êîíóñ _> > (4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор _> > на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что _> > [2]. Дело в том, что оператор _> > определяет форму _> > изображения (4), а именно

_> > - множество собственных функций оператора _> >. Поскольку _> >f() - наилучшее приближение изображения _> > изображениями из _> >, для любого изображения _> > из _> > и только для таких _> >- _> >. Поэтому проектор _> > можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a()

_> >,⁷ [2]. И проектор _> > можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами _> > è _> >, êîòîðàÿ èçâåñòíà êàê òðàíçèòèâíîñòü ïðîåöèðîâàíèÿ. Èìåííî, åñëè _> > îïåðàòîð íàèëó÷øåãî â _> > ïðèáëèæåíèÿ çëåìåíòàìè âûïóêëîãî çàìêíóòîãî (â _> > è â _> >) êîíóñà _> >, òî _> >. Èíà÷å ãîâîðÿ, äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàèëó÷øåãî â _> > ïðèáëèæåíèÿ _> > ýëåìåíòàìè _> > ìîæíî âíà÷àëå íàéòè îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ _> > èçîáðàæåíèÿ _> > íà _> >, à çàòåì _> > ñïðîåöèðîâàòü â _> > íà _> >. Ïðè ýòîì êîíå÷íîìåðíûé ïðîåêòîð _> > äëÿ êàæäîãî êîíêðåòíîãî êîíóñà _> > ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí ìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, à äëÿ ìíîãèõ çàäà÷ ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà èçîáðàæåíèé äîñòàòî÷íûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ëèøü ïðîåêòîðà Ï .

Форма в широком смысле _> > (4***) èçîáðàæåíèÿ (4) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ èçìåðèìûì ðàçëîæåíèåì _> >, ïîñëåäíåå, â ñâîþ î÷åðåäü îïðåäåëÿåòñÿ èçîáðàæåíèåì

_> >,

åñëè âåêòîðû _> > ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Åñëè ïðè ýòîì _> >, òî ôîðìà â øèðîêîì ñìûñëå _> > ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà è êàê îïåðàòîð Ï îðòîãîíàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ íà _> >, îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì (13).

Ïîñìîòðèì, êàêèì îáðàçîì âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòèìè ôàêòàìè ïðè ïîñòðîåíèè ôîðìû â øèðîêîì ñìûñëå êàê îïåðàòîðà îðòîãîíàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ íà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî _> > (10*) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî èçîáðàæåíèÿ _> >. Ïóñòü _> > - ìíîæåñòâî çíà÷åíèé _> > è _> > - èçìåðèìîå ðàçáèåíèå X , ïîðîæäåííîå _> >, â êîòîðîì _> > - ïîäìíîæåñòâî X , â ïðåäåëàõ êîòîðîãî èçîáðàæåíèå _> > èìååò ïîñòîÿííûå ÿðêîñòü è öâåò, îïðåäåëÿåìûå âåêòîðîì _> >, åñëè _> >.

Îäíàêî äëÿ íàéäåííîãî ðàçáèåíèÿ óñëîâèå _> >, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâûïîëíèìî è, ñëåäîâàòåëüíî, òåîðåìà 1 íå ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð Ï íà _> >. Ïîêàæåì, ÷òî Ï ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîíå÷íîìåðíûõ îðòîãîíàëüíûõ ïðîåêòîðîâ. Çàìåòèì âíà÷àëå, ÷òî ëþáîå èçîáðàæåíèå _> > ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðåäåëà (â _> >) äîëæíûì îáðàçîì îðãàíèçîâàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîçàè÷íûõ èçîáðàæåíèé

_> > (*)

ãäå _> > - èíäèêàòîð ìíîæåñòâà _> >, ïðèíàäëåæàùåãî èçìåðèìîìó ðàçáèåíèþ _> >

 (*) ìîæíî, íàïðèìåð, èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìóþ èñ÷åðïûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé [], óäîâëåòâîðÿþùóþ ñëåäóþùèì óñëîâèÿì

- _> >- C - èçìåðèìî, _> >;

- N+1-oe ðàçáèåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì N-ãî, ò.å. äëÿ ëþáîãî _> >, íàéäåòñÿ i=i(j),_> >, òàêîå, ÷òî _> >;

- ìèíèìàëüíàÿ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ âñå _> >, ñîâïàäàåò ñ C.

Ëåììà (*). Ïóñòü _> > - èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü ðàçáèåíèé X è _> >- òî ìíîæåñòâî èç _> >, êîòîðîå ñîäåðæèò _> >. Òîãäà äëÿ ëþáîé C-èçìåðèìîé ôóíêöèè _> >

_> >

è -ïî÷òè äëÿ âñåõ _> > _> > [ ]. 

Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ðåçóëüòàòîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìû â øèðîêîì ñìûñëå Ï ïðîèçâîëüíîãî èçîáðàæåíèÿ _> >. Ïóñòü _> > - ìèíèìàëüíàÿ -àëãåáðà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé èçìåðèìî _> >, ò.å. ïóñòü _> >, ãäå _> > - ïðîîáðàç áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà _> >, B - -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ _> >. Çàìåíèì â óñëîâèÿõ, îïðåäåëÿþùèõ èñ÷åðïûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé, C íà _> > è âûáåðåì ýòó, çàâèñÿùóþ îò _> >, èñ÷åðïûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (_> > - èçìåðèìûõ) ðàçáèåíèé â ëåììå (*).

Òåîðåìà (*). Ïóñòü _> >, _> >- èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé X, ïðè÷åì _> >- ìèíèìàëüíàÿ -àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ âñå _> > è Ï^(N) - îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð _> >, îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì _> >, _> >

Òîãäà

1) äëÿ ëþáîãî _> >-èçìåðèìîãî èçîáðàæåíèÿ _> > è ïî÷òè äëÿ âñåõ _> >, _> >,

2) äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ _> > ïðè _> > _> > (â _> >), ãäå Ï - îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð íà _> >.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ëåììû (*) è îïðåäåëåíèÿ _> >. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ çàìåòèì, ÷òî, òàê êàê A^(N+1) - ïðîäîëæåíèå ðàçáèåíèÿ A^(N), N=1,2,..., òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîåêòîðîâ Ï^(N), N=1,2,..., ìîíîòîííî íåóáûâàåò: _> > è ïîòîìó ñõîäèòñÿ (ïîòî÷å÷íî) ê íåêîòîðîìó îðòîãîíàëüíîìó ïðîåêòîðó Ï. Òàê êàê _> > - ìíîæåñòâî âñåõ _> >-èçìåðèìûõ èçîáðàæåíèé è èõ ïðåäåëîâ (â _> >), à â ñèëó ëåììû (*) äëÿ ëþáîãî _> >-èçìåðèìîãî èçîáðàæåíèÿ _> >

_> >, òî äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ _> > _> >è äëÿ ëþáîãî _> > _> >, èáî _> >-èçìåðèìî, N=1,2,... 

Âîïðîñ î òîì, êàêèì îáðàçîì ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà èñ÷åðïûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçáèåíèé, îáñóæäàåòñÿ â ñëåäóþùåì ïóíêòå.

Çàäàíû âåêòîðû f_>1>,...,f_>q>, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ðàçáèåíèå _> >, íà ìíîæåñòâàõ êîòîðîãî íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå ïðèíèìàåò ñîîòâåòñòâåííî çíà÷åííèÿ f_>1>,...,f_>q. >Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåíèÿ öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f, â êîòîðîé çàäàíî íå ðàçáèåíèå _> > ïîëÿ çðåíèÿ X, à âåêòîðû _> > â _> >, è òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü èçìåðèìîå ðàçáèåíèå _> >ïîëÿ çðåíèÿ, òàêîå, ÷òî öâåòíîå èçîáðàæåíèå _> > - íàèëó÷øàÿ â _> > àïïðîêñèìàöèÿ f. Òàê êàê

_> >, (14*)

òî â A_>i> ñëåäóåò îòíåñòè ëèøü òå òî÷êè _> >, äëÿ êîòîðûõ _> >, =1,2,...,q, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, _> > =1,2,...,q. Òå òî÷êè, êîòîðûå ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó ìîãóò áûòü îòíåñåíû ê íåñêîëüêèì ìíîæåñòâàì, äîëæíû áûòü îòíåñåíû ê îäíîìó èç íèõ ïî ïðîèçâîëó. Ó÷èòûâàÿ ýòî, óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî çàïèñü

_> > _> > , (14)

îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâà (14) íå ïåðåñåêàþòñÿ è _> >.

×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ýòîò ðåçóëüòàò â òåðìèíàõ ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà, ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå _> >, â êîòîðîì

_> > (15)

è çâåçäî÷êà óêàçûâàåò íà äîãîâîðåííîñòü, ïðèíÿòóþ â (14). Îïðåäåëèì îïåðàòîð F, äåéñòâóþùèé èç _> > â _> > ïî ôîðìóëå _> >, _> >, i=1,...,q. Î÷åâèäíî, F âñåãäà ìîæíî ñîãëàñîâàòü ñ (14) òàê, ÷òîáû âêëþ÷åíèÿ _> > è _> >, i=1,...,q, ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü ýêâèâàëåíòíûìè. ⁸

Òåîðåìà 2. Ïóñòü _> > - çàäàííûå âåêòîðû R_>n>. Ðåøåíèå çàäà÷è

_> >

íàèëó÷øåãî â _> > ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ f èçîáðàæåíèÿìè _> > èìååò âèä _> >, ãäå _> > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà _> >. Ìíîæåñòâî _> > îïðåäåëåíî ðàâåíñòâîì (15). Íåëèíåéíûé îïåðàòîð _> >, êàê âñÿêèé îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ F²=F, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïðåêòîðîì.

Çàìå÷àíèå 2. Åñëè äàííûå çàäà÷è äîñòóïíû ëèøü â ÷åðíî-áåëîì âàðèàíòå, òî åñòü çàäàíû ÷èñëà _> >, i=1,...,q, êîòîðûå ìîæíî ñ÷èòàòü óïîðÿäî÷åííûìè ñîãëàñíî óñëîâèþ _> >, òî, êàê ïîêàçàíî â [3], èñêîìîå ðàçáèåíèå X ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ

_> >

ãäå _> >, è èìååò ìàëî îáùåãî ñ ðàçáèåíèåì (14).

Çàìå÷àíèå 3. Âûáåðåì âåêòîðû f_>i>,_> >i=1,..,q_> >åäèíè÷íîé äëèíû: _> >, i=1,...,q. Òîãäà

_> >. (16)

Ìíîæåñòâà (16) ÿâëÿþòñÿ êîíóñàìè â R_>n >, îãðàíè÷åííûìè ãèïåðïëîñêîñòÿìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèáëèæåíèå _> > èçîáðàæåíèÿ f èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîñëåäíåãî, íå èçìåíÿþùåãî åãî öâåò (íàïðèìåð _> >), â ÷àñòíîñòè, îòíîñèòåëüíî îáðàçîâàíèÿ òåíåé íà f.

Çàìå÷àíèå 4. Äëÿ ëþáîãî çàäàííîãî íàáîðà ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ âåêòîðîâ _> > îïåðàòîð F, ïðèâåäåííûé â òåîðåìå 2, îïðåäåëÿåò ôîðìó èçîáðàæåíèÿ, ïðèíèìàþùåãî çíà÷åíèÿ _> > ñîîòâåòñòâåííî íà èçìåðèìûõ ìíîæåñòâàõ _> > (ëþáîãî) ðàçáèåíèÿ X. Âñÿêîå òàêîå èçîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé (â _> >) òî÷êîé F: _> >, åñëè _> >, âñå îíè èçîìîðôíû ìåæäó ñîáîé. Åñëè íåêîòîðûå ìíîæåñòâà èç _> > - ïóñòûå, èëè íóëåâîé ìåðû, ñîîòâåòñòâóþùèå èçîáðàæåíèÿ èìåþò áîëåå ïðîñòóþ ôîðìó.

Èíà÷å ãîâîðÿ, â äàííîì ñëó÷àå ôîðìîé èçîáðàæåíèÿ _> > ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ èçîáðàæåíèé, ïðèíèìàþùèõ çàäàííûå çíà÷åíèÿ _> > íà ìíîæåñòâàõ ïîëîæèòåëüíîé ìåðû _> > ëþáîãî ðàçáèåíèÿ X, è èõ ïðåäåëîâ â _> >.

Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f() изображениями _> >, в котором требуется определить как векторы _> >, так и множества _> > так, чтобы

_> >.

Следствие 1.

Пусть D_>i> ,i=1,...,N, - подмножества R_>n> (15), П - ортогональный проектор (13), _> >, где _> >. Тогда необходимые и достаточные условия _> > суть следующие: _> >, где _> >, _> >.

Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть _> > - èñõîäíûå âåêòîðû â çàäà÷å (14*), _> > - ñîîòâåòñòâóþùåå îïòèìàëüíîå ðàçáèåíèå (14), F⁽¹⁾- îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ è _> > - íåâÿçêà. Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 1, îïðåäåëèì äëÿ íàéäåííîãî ðàçáèåíèÿ _> > îïòèìàëüíûå âåêòîðû _> >. Ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (13) _> >, è ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ Ï⁽¹⁾ (13) îáåñïå÷èò íå ìåíåå òî÷íîå ïðèáëèæåíèå f(), ÷åì F⁽¹⁾: _> >. Âûáåðåì òåïåðü â òåîðåìå 2 _> >, îïðåäåëèì ñîîòâåòñòâóþùåå îïòèìàëüíîå ðàçáèåíèå _> > è ïîñòðîèì îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ F⁽²⁾. Òîãäà _> >. Íà ñëåäóþùåì øàãå ïî ðàçáèåíèþ _> > ñòðîèì _> > è îïåðàòîð Ï⁽³⁾ è ò.ä.

 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïóíêòà âåðíåìñÿ ê âîïðîñó î ïîñòðîåíèè èñ÷åðïûâàþùåãî _> >-èçìåðèìîãî ðàçáèåíèÿ X, îòâå÷àþùåãî çàäàííîé ôóíêöèè _> >. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíî ïîïàðíî ðàçëè÷íûå âåêòîðû _> >èç f(X) è ïîñòðîèì ïî ôîðìóëå (15) ðàçáèåíèå R_>n> _> >. Äëÿ êàæäîãî q=1,2,... îáðàçóåì ðàçáèåíèå E^(N(q)), ìíîæåñòâà _> >, j=1,...,N(q), êîòîðîãî îáðàçîâàíû âñåìè ïîïàðíî ðàçëè÷íûìè ïåðåñå÷åíèÿìè _> > ìíîæåñòâ èç _> >. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçáèåíèé X _> >, i=1,...,N(q), q=1,2... _> > -èçìåðèìû è _> > ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì _> >

5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения _> > поля зрения X.

Çàäàíî ðàçáèåíèå _> >, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü öâåò è ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòåé íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ íà êàæäîì A_>i>,i=1,...,N.

Äëÿ ïðàêòèêè, êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò êëàññ èçîáðàæåíèé (5), öâåò êîòîðûõ íå èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ íåêîòîðûõ ïîäìíîæåñòâ ïîëÿ çðåíèÿ, è çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîëüíûõ èçîáðàæåíèé èçîáðàæåíèÿìè òàêîãî êëàññà.

Çàïèøåì èçîáðàæåíèå (5) â âèäå

_> > (17)

ãäå _> >.

Ïóñòü A_>1>,...,A_>N> - çàäàííîå ðàçáèåíèå X, _> > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ A_>i>, i=1,...,N. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèëó÷øåãî â _> > ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ _> > èçîáðàæåíèÿìè (17), íå òðåáóÿ, ÷òîáû _> >

_> > (18)

Ðå÷ü èäåò î çàäà÷å àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîëüíîãî èçîáðàæåíèÿ _> > èçîáðàæåíèÿìè, ó êîòîðûõ ÿðêîñòü ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé èç _> >, â òî âðåìÿ, êàê öâåò äîëæåí ñîõðàíÿòü ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà êàæäîì èç çàäàííûõ ïîäìíîæåñòâ A_>1>,...,A_>N >_> >ïîëÿ çðåíèÿ X, (ñì. Ëåììó 3).

Òàê êàê

_> >

òî ìèíèìóì S (19) ïî _> > äîñòèãàåòñÿ ïðè

_> >, (20)

è ðàâåí

_> > (21)

Çàäà÷à (18) òåì ñàìûì ñâåäåíà ê çàäà÷å

_> >. (22)

 ñâÿçè ñ ïîñëåäíåé ðàññìîòðèì ñàìîñîïðÿæåííûé íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð _> >

_> > . (23)

Ìàêñèìóì (íåîòðèöàòåëüíîé) êâàäðàòè÷íîé ôîðìû _> > íà ñôåðå _> >â R_>n>, êàê èçâåñòíî, (ñì.,íàïðèìåð, [11]) äîñòèãàåòñÿ íà ñîáñòâåííîì âåêòîðå y_>i> îïåðàòîðà Ô_>i>,_> >îòâå÷àþùåì ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ _> >>0,

_> >,

è ðàâåí _> >, ò.å. _> >. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìóì â (22) ðàâåí _> > è äîñòèãàåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè _> >

Òåîðåìà 3. Ïóñòü A_>1>,...,A_>N> -çàäàííîå èçìåðèìîå ðàçáèåíèå X, ïðè÷åì⁹ (A_>i>)>0, i=1,...,N. Ðåøåíèåì çàäà÷è (18) íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ _> >_> > èçîáðàæåíèÿìè g()_> > (17) ÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèå

_> > (24)

Îïåðàòîðû _> >,i=1,...,N, è _> > - íåëèíåéíûå (çàâèñÿùèå îò f()_> >) ïðîåêòîðû: Ï_>i> ïðîåöèðóåò â R_>n> âåêòîðû _> >_> > íà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî _> >, íàòÿíóòîå íà ñîáñòâåííûé âåêòîð _> > îïåðàòîðà Ô_>i >(23), îòâå÷àþùèé íàèáîëüøåìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ _>i>,

_> >; (25)

Ï ïðîåöèðóåò â _> > èçîáðàæåíèå _> >_> > íà ìèíèìàëüíîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî _> >, ñîäåðæàùåå âñå èçîáðàæåíèÿ _> >

Íåâÿçêà íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ

_> > (19*).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàâåíòñòâî (24) è âûðàæåíèå äëÿ Ï_>i> ñëåäóåò èç (17),(20) è ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ îïåðàòîðà Ô_>i >(23). Ïîñêîëüêó Ô_>i >ñàìîñîïðÿæåííûé íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð, òî çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (23) ðàçðåøèìà, âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Ô_>i > íåîòðèöàòåëüíû è ñðåäè íèõ _>i >- наибольшее.

Для доказательства свойств операторов Ï_>i>, i=1,...,N, è Ï ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ, óêàçûâàþùèå íà çàâèñèìîñòü îò f():

_> >

_> > (26*)

Ýòè ðàâåíñòâà, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî ðåçóëüòàò äâóêðàòíîãî äåéñòâèÿ îïåðàòîðîâ Ï_>i>, i=1,...,N, è Ï (26) íå îòëè÷àåòñÿ îò ðåçóëüòàòàòà îäíîêðàòíîãî èõ äåéñòâèÿ, ïîçâîëÿò ñ÷èòàòü îïåðàòîðû (26) ïðîåêòîðàìè.

Ïóñòü f_>i> - cñîáñòâåííûé âåêòîð Ô_>i> , îòâå÷àþùèé ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ _>i>. Чтобы определить _> > ñëåäóåò ðåøèòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ îïåðàòîðà _> >:

_> >.

Ïîñêîëüêó rank_> >=1, _> > èìååò åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, êîòîðîå, êàê íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ðàâíî _>i>, è åìó ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííûé ñîáñòâåííûé âåêòîð f_>i>. Ïîýòîìó

_> >.

Îòñþäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò ðàâåíñòâî (26*) äëÿ _> > 

Ëåììà 4. Äëÿ ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ _> > ðåøåíèå (24) çàäà÷è (18) íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ åäèíñòâåííî è ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì _> >.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî åäèíñòâåííûé (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî ìíîæèòåëÿ) ñîáñòâåííûé âåêòîð f_>i> îïåðàòîðà (23), îòâå÷àþùèé ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ _>i>, можно выбрать так, чтобы _> >, ïîñêîëüêó â òàêîì ñëó÷àå áóäóò âûïîëíåíû èìïëèêàöèè:

_> >,

ñîñòàâëÿþùèå ñîäåðæàíèå ëåììû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè _> > òî ñîãëàñíî (23) _> >, ïîñêîëüêó âêëþ÷åíèå _> > îçíà÷àåò, ÷òî_> >; îòñþäà è èç (25) ïîëó÷èì, ÷òî _> >,i=1,...,N, à ïîýòîìó è â (24) _> >.

Óáåäèìñÿ â íåîòðèöàòåëüíîñòè _> >.  îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå e_>1>,...,e_>n>, â êîòîðîì _> >, âûõîäíîé ñèãíàë i-ãî äåòåêòîðà â òî÷êå _> > (ñì. çàìå÷àíèå 1) çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (23*) èìååò âèä _> >, p=1,...,n,

ãäå _> >, _> >.

Òàê êàê ìàòðèöà _> > ñèììåòðè÷åñêàÿ è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ (_> >) îíà èìååò n íåîòðèöàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé_> >, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò n îðòîíîðìèðîâàííûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ _> >, à ïîñêîëüêó ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû _> >, òî ñîãëàñíî òåîðåìå Ôðîáåíóñà-Ïåððîíà ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå _> > - àëãåáðàè÷åñêè ïðîñòîå (íåêðàòíîå), à ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð ìîæíî âûáèðàòü íåîòðèöàòåëüíûì:

_> >. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð f_>i> îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî ìíîæèòåëÿ _> >, _> >. 

Çàìå÷àíèå 4.

Åñëè _> > , ò.å. åñëè àïïðîêñèìèðóåìîå èçîáðàæåíèå íà ìíîæåñòâàõ òîãî æå ðàçáèåíèÿ _> >èìååò ïîñòîÿííûé öâåò, òî â òåîðåìå 3 _> >, _> >.

Наоборот, если _> >, то

_> >, т.е. _> > определяется выражением (17), в котором _> >.

Итак, пусть в изображении g() (17) все векторы f_>1>,.…..,f_>N> попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A_>1>,...,A_>N>_> >попарно различны. Тогда форма в широком смысле _> > изображения (17) есть множество решений уравнения

_> >,_> >, (27)

где _> >, f_>i> - собственный вектор оператора Ф_>i>: _> >, отвечающий максимальному собственному значению _>i>, i=1,...,N . В данном случае _> >, если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения _> > , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения _> > (17).

Çàäàíû âåêòîðû öâåòà _>1>,..., _>q>, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ðàçáèåíèå A_>1>,..., A_>q>, íà ìíîæåñòâàõ êîòîðîãî íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå èìååò ñîîòâåòñòâåííî öâåòà _>1>,..., _>q> è îïòèìàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòåé _> >¹⁰.

Речь идет о следующей задаче наилучшего в _> > ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ _> >

_> >. (28)

Ðàññìîòðèì âíà÷àëå çàäà÷ó (28) íå òðåáóÿ, ÷òîáû _> >. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî _> >

_> >, (29)

è äîñòèãàåòñÿ íà

_> >, (30)

òî, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ,

_> >, (31)

ãäå çâåçäî÷êà * îçíà÷àåò òî æå ñàìîå, ÷òî è â ðàâåíñòâå (14): òî÷êè xX, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî _> > ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíî îòíåñåíû ê îäíîìó èç ìíîæåñòâ A_>i> èëè A_>j>.

Ïóñòü _> > - ðàçáèåíèå _> >, â êîòîðîì

_> > (32)

à F: R_>n> R_>n >îïåðàòîð, îïðåäåëåííûé óñëîâèåì

_> > (33)

Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (28) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

_> >, (34)

ãäå _> > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà A_>i> (31), i=1,...,q è F -îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â _> > ïî ôîðìóëå (34) (ñì. ñíîñêó 4 íà ñòð. 13).

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî çàäà÷à íà ìèíèìóì (29) ñ óñëîâèåì ôèçè÷íîñòè _> >

_> > (35)

èìååò ðåøåíèå

_> > (36)

Ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèå çàäà÷è (28) ñ óñëîâèåì ôèçè÷íîñòè èìååò âèä

_> >, (37)

ãäå _> > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà

_> >, (38)

 ðÿäå ñëó÷àåâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ (34) ïîëåçíî îïðåäåëèòü îïåðàòîð F⁺: R_>n> R_>n>, äåéñòâóþùèé ñîãëàñíî ôîðìóëå

_> > (39)

ãäå

_> >, òàê ÷òî _> >,i=1,...q. (40)

Ïîäûòîæèì ñêàçàííîå.

Òåîðåìà 4. Ðåøåíèå çàäà÷è (28) íàèëó÷øåãî â _> >ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ _> > èçîáðàæåíèÿìè íà èñêîìûõ ìíîæåñòâàõ A_>1>,...,A_>q> ðàçáèåíèÿ X çàäàííûå öâåòàìè _>1>,..., _>q> ñîîòâåòñòâåííî, äàåòñÿ ðàâåíñòâîì (34), èñêîìîå ðàçáèåíèå A_>1>,...,A_>q >îïðåäåëåíî â (31). Òðåáîâàíèå ôèçè÷íîñòè íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ (37) è îïðåäåëÿåò èñêîìîå ðàçáèåíèå ôîðìóëàìè (38). Ðåøåíèå (34) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëþáîãî, à (37) - îòíîñèòåëüíî ëþáîãî, ñîõðàíÿþùåãî ôèçè÷íîñòü, ïðåîáðàçîâàíèÿ, íåèçìåíÿþùåãî åãî öâåò.

Ôîðìîé â øèðîêîì ñìûñëå èçîáðàæåíèÿ, èìåþùåãî çàäàííûé íàáîð öâåòîâ _>1>,..., _>q >íà íåêîòîðûõ ìíîæåñòâàõ ïîëîæèòåëüíîé ìåðû A_>1>,...,A_>q> ðàçáèåíèå ïîëÿ çðåíèÿ ìîæíî íàçâàòü îïåðàòîð _> > (34), ôîðìîé òàêîãî èçîáðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð F⁺ (37). Âñÿêîå òàêîå èçîáðàæåíèå g(), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì ôèçè÷íîñòè (íåîòðèöàòåëüíîñòè ÿðêîñòåé), óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ F⁺g()=g(), òå èç íèõ, ó êîòîðûõ (A_>i>)>0, i=1,...,q, èçîìîðôíû, îñòàëüíûå èìåþò áîëåå ïðîñòóþ ôîðìó. 

 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà âåðíåìñÿ ê ïîíÿòèþ ôîðìû èçîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì ôèçè÷íîñòè, ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿðêîñòè. Ðå÷ü èäåò î ôîðìå èçîáðàæåíèÿ _> >, çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèåì öâåòà _> >, ïðè ïðîèçâîëüíîì (ôèçè÷íîì) ðàñïðåäåëåíèè ÿðêîñòè, íàïðèìåð, _> >. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôîðìû _> > ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèëó÷øåãî â _> > ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ _> > òàêèìè èçîáðàæåíèÿìè

_> >, (41)

Òåîðåìà 5. Ðåøåíèå _> > çàäà÷è (41) äàåòñÿ ðàâåíñòâîì

_> >, (42)

â êîòîðîì _> >, ãäå _> > . Íåâÿçêà ïðèáëèæåíèÿ

_> >, (43)

( _> > !) 

Îïðåäåëåíèå. Ôîðìîé èçîáðàæåíèÿ, çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèåì öâåòà _> >, íàçîâåì âûïóêëûé, çàìêíóòûé êîíóñ èçîáðàæåíèé

_> >

èëè - ïðîåêòîð _> > íà _> >.

Âñÿêîå èçîáðàæåíèå g(), ðàñïðåäåëåíèå öâåòà êîòîðîãî åñòü () è òîëüêî òàêîå èçîáðàæåíèå ñîäåðæèòñÿ â _> > è ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïåðàòîðà

_> >: _> >g() = g(). (#)

Ïîñêîëüêó íà ñàìîì äåëå äåòàëè ñöåíû, ïåðåäàâàåìûå ðàñïðåäåëåíèåì öâåòà (), íå ïðåäñòàâëåíû íà èçîáðàæåíèè f() = f()() â òîé îáëàñòè ïîëÿ çðåíèÿ, â êîòîðîé ÿðêîñòü f(x)=0, xX, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî _> > - ôîðìà ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ f(x) = f(x)(x), f(x)>0, xX(mod), âñå òàêèå èçîáðàæåíèÿ èçîìîðôíû, à ôîðìà âñÿêîãî èçîáðàæåíèÿ g(), óäîâëåòâîðÿþùåãî óðàâíåíèþ (#), íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà f().

Çàìå÷àíèå 5. Ïóñòü _>1>,..., _>N>_> > - èñõîäíûé íàáîð öâåòîâ, _> >, A_>1>,...,A_>N> - ñîîòâåòñòâóþùåå îïòèìàëüíîå ðàçáèåíèå X, íàéäåííîå â òåîðåèå 4 è

_> >, (34*)

- íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå f(). Òîãäà â ðàâåíñòâå (24)

_> >, (24*)

åñëè A_>1>,...,A_>N >- èñõîäíîå ðàçáèåíèå X â òåîðåìå 3. Íàîáîðîò, åñëè A_>1>,...,A_>N >- çàäàííîå â òåîðåìå 3 ðàçáèåíèå X è f_>1>,...,f_>N >- ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðîâ Ô_>1>,...,Ô_>N> (23) ñîîòâåòñòâåííî, îòâå÷àþùèå ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, òî f_>1>,...,f_>N> _> > è áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (24), åñëè â (34*) îïðåäåëèòü _>i> êàê öâåò f_>i> â (24), i=1,...,N.

Ïðîâåðêà ýòîãî çàìå÷àíèÿ íå ïðåäñòàâëÿåò çàòðóäíåíèé.

В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A_>i>, i=1,...,N.

Ðàçóìååòñÿ, óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà öâåòà íà ìíîæåñòâàõ A_>i>, i=1,...,N, íà ïðàêòèêå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ëèøü ñ îïðåäåëåííîé òî÷íîñòüþ. Ïîñëåäíþþ ìîæíî ïîâûñèòü êàê ïóòåì ïåðåõîäà ê áîëåå ìåëêîìó ðàçáèåíèþ _> >, òàê è äîïóñтив íåêîòîðûå èçìåíåíèÿ öâåòà â ïðåäåëàõ êàæäîãî A_>i>, i=1,...,N, íàïðèìåð, âûáðàâ âìåñòî (17) êëàññ èçîáðàæåíèé

_> > (17*)

â êîòîðîì _> > â (3).

Ïîñêîëüêó â çàäà÷å íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ f() èçîáðàæåíèÿìè ýòîãî êëàññà ïðåäñòîèò íàéòè _> > , âåêòîðû _> > ïðè ëþáîì i=1,...,N, ìîæíî ñ÷èòàòü îðòîãîíàëüíûìè, îïðåäåëèâ

_> >, (*)

èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà íåâÿçêè ïî _> >. Ïîñëå ýòîãî äëÿ êàæäîãî i=1,...,N âåêòîðû _> > äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû èç óñëîâèÿ

_> > (**)

ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè îðòîãîíàëüíîñòè

_> >. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è äàåòñÿ â ñëåäóþùåé ëåììå

Ëåììà 5. Ïóñòü _> > îðòîãîíàëüíûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà Ô_>i >(23), óïîðÿäî÷åííûå ïî óáûâàíèþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé:

_> >.

Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (**) äàåòñÿ ðàâåíñòâàìè _> >.

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó Ô_>i> - ñàìîñîïðÿæåííûé íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð, åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíû, à åãî ñîáñòâåííûå âåêòîðû âñåãäà ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè îáðàçîâàëè îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â R_>n>. Ïóñòü P_>i> - îðòîãîíàëüíî ïðîåöèðóåò â R_>n> íà ëèíåéíóþ îáîëî÷êó _> > ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ _> > è

[P_>i> Ô_>i> P_>i>] - ñóæåíèå îïåðàòîðà P_>i> Ô_>i> P_>i >íà _> >. Òîãäà ëåâàÿ ÷àñòü (*) ðàâíà ñëåäó оператора [P_>i> Ô_>i> P_>i>]

_> >, ãäå _> > - j-îå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå îïåðàòîðà _> > (ñì., íàïðèìåð, [10]). Ïóñòü _> >. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå Ïóàíêàðå, [10], _> >, îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäàåìîå â ëåììå. ■

Âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèÿìè (*) è ëåììîé 5, íàéäåì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå, àíàëîãè÷íîå òåîðåìå 3.

Òåîðåìà 3*. Íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå ëþáîãî èçîáðàæåíèÿ f() èçîáðàæåíèÿìè (17*) èìååò âèä

_> >,

Ãäå _> >: îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð íà ëèíåéíóþ îáîëî÷êó _> >, ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ çàäà÷è

_> >.

Íåâÿçêà íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ðàâíà

_> >. 

Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ f èçîáðàæåíèÿìè (17), â êîòîðûõ çàäàíû è ôèêñèðîâàíû âåêòîðû _> >, è íàäëåæèò îïðåäåëèòü èçìåðèìîå ðàçáèåíèå _> > è ôóíêöèè _> >, êàê ðåøåíèå çàäà÷è

_> > (30)

Ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè _> >ìèíèìóì â (30) ïî _> > äîñòèãàåòñÿ ïðè _> >, îïðåäåëÿåìûõ ðàâåíñòâîì (20).  ñâîþ î÷åðåäü, î÷åâèäíî, ÷òî

_> > (31)

ãäå òî÷êè _> >, â êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî _> > ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíî âêëþ÷åíû â îäíî èç ìíîæåñòâ : ëèáî â _> >, ëèáî â _> >. Ýòî ñîãëàøåíèå îòìå÷åíî çâåçäî÷êîé â (31).

Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíà

Òåîðåìà 6. Ïóñòü _> > çàäàííûå âåêòîðû R_>n>. Ðåøåíèåì çàäà÷è (30) ÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèå

_> >,

ãäå îðòîãîíàëüíûé ïðîåêòîð _> > îïðåäåëåí ðàâåíñòâîì (25), à _> > - èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà (31), i=1,...,N. Íåâÿçêà íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ðàâíà

_> >. 

Çàìå÷àíèå 5. Òàê êàê ïðè _> >

_> >,

òî óñëîâèÿ (31), îïðåäåëÿþùèå ðàçáèåíèå _> >, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

_> >, (32)

ïîêàçûâàþùåì, ÷òî ìíîæåñòâî _> > â (32) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èçîáðàæåíèÿ _> >, íå èçìåíÿþùåãî åãî öâåò.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f() изображениями (17), при котором должны быть найдены _> > и _>i>⁰ , i=1,...,N, такие, что

_> >.

Теорема 7. Для заданного изображения f() определим множества _> > равенствами (32), оператор П - равенством (24), _> > - равенствами (25). Тогда _> >,

определено равенством (32), в котором _> > - собственный вектор оператора Ф_>i> (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) _> >, наконец, _> > будет дано равенством (20), в котором _> >, где _> > - собственный вектор оператора _> >, отвечающий наибольшему собственному значению _> >; наконец,

_> >. 

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании _> >: Для изображения f() зададим _> > и по теореме 5 найдем _> > и _> >, затем по теореме 3, используя _> > найдем _> > и _> >. После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по _> > найдем _> > и _> > и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений _> > очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность _> >, k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности _> >.

Формы _> > (10) и _> > (9) удобно задавать операторами П_>f> и П_>*>_>f> соответственно.

Теорема 7. Форма _> > в широком смысле изображения _> >определяется ортогональным проектором П_>*>_>f> :

_> > ,

при этом _> > и _> >.

Доказательство. Так как для _> > _> >, то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум _> >, решение которой определяется условиями (см., например, [11]) _> >. Отсюда следует, что _> > и тем самым доказано и второе утверждение 

Замечание. Так как _> >, где f_>i>(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке _> >, причем f_>i>(x)0 ,i=1,...,n, и, следовательно цвет _> > реальных изображений непременно имеет неотрицательные _> >, то для реальных изображений _> >, условия _> > и _> >, эквивалентны. Если же для некоторого _> >, то условие _> > не влечет _> >. Заметим также, что для изображений g(), удовлетворяющих условию _> >, всегда _> >.

Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением

_> > (40)

В котором

_> >. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f() , в которых f_>1>() - любая неотрицательная функция из _> >, _>1>() - фиксированное векторное поле цвета, f_>2>() - термояркость, _>2>() - термоцвет в точке _> >. Форма П_>*>_>f> видимой компоненты f() (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче

_> >, в данном случае

_> >, причем П_>*>_>f> действует фактически только на "видимую компоненту" g(), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g() в ноль.

Форма ИК компоненты f() может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований _>2>() f_>2>().

Некоторые применения.

Задачи идентификации сцен.

Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.

1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.

Можно ли считать f() è g() изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?

 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå äëÿ èäåíòèôèêàöèè äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé 5, à èìåííî, f() è g() ìîæíî ñ÷èòàòü èçîáðàæåíèÿìè îäíîé è òîé æå ñöåíû, åñëè ñóùåñòâóåò ðàñïðåäåëåíèå öâåòà _> >, äëÿ êîòîðîãî v(()) ñîäåðæèò f() è g(). Åñëè _> >, è _> >, òî, î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò _> >, ïðè êîòîðîì f(x)v(()), g(x)v(()), à èìåííî, _> >, _> >, åñëè _> >, _> >, åñëè _> >, è, íàêîíåö, _> > - ïðîèçâîëüíî, åñëè _> >.

Íà ïðàêòèêå óäîáíåå èñïîëüçîâàòü äðóãîé ïîäõîä, ïîçâîëÿþùèé îäíîâðåìåííî ðåøàòü çàäà÷è ñîâìåùåíèÿ èçîáðàæåíèé è âûäåëåíèÿ îáúåêòîâ. Ìîæíî ëè, íàïðèìåð, ñ÷èòàòü g() èçîáðàæåíèåì ñöåíû, ïðåäñòàâëåííîé èçîáðàæåíèåì f()? Îòâåò ñëåäóåò ñ÷èòàòü óòâåðäèòåëüíûì, åñëè

_> >.

Çäåñü () - ðàñïðåäåëåíèå öâåòà íà èçîáðàæåíèè f(), ñèìâîë ~0 îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèå (g()) ìîæíî îáúÿñíèòü íàëè÷èåì øóìà, êàêèõ-ëèáî äðóãèõ ïîãðåøíîñòåé, èëè, íàêîíåö, - íàëè÷èåì èëè, íàîáîðîò, îòñóòñòâèåì îáúåêòîâ îáúÿñíÿþùèì íåñîâïàäåíèå g() è f() ñ òî÷íîñòüþ äî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòåé. Òàêèå îáúåêòû, èçìåíèâøèå ðàñïðåäåëåíèå öâåòà g() ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàñïðåäåëåíèåì öâåòà f(), ïðåäñòàâëåíû â _> >.

2).Èäåíòèôèêàöèÿ ïðè ïðîèçâîëüíîì èçìåíåíèè ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè è ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîì èçìåíåíèè ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà îñâåùåíèÿ.

Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü èçîáðàæåíèåì ñöåíû, ïðåäñòàâëåííîé íà èçîáðàæåíèè f(), èçîáðàæåíèå, ïîëó÷åííîå ïðè èçìåíèâøèõñÿ óñëîâèÿõ ðåãèñòðàöèè, íàïðèìåð, ïåðåìåùåíèåì èëè èçìåíåíèåì òåíåé è èçìåíåíèåì ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà îñâåùåíèÿ?

Ïóñòü Ï - ôîðìà â øèðîêîì ñìûñëå èçîáðàæåíèÿ f(), îïðåäåëåííàÿ â òåîðåìå @, Ï_>*> - ôîðìà f(). Òîãäà îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ ìîæíî ñ÷èòàòü óòâåðäèòåëüíûì, åñëè _> >. Åñëè èçìåíåíèå g() îáóñëîâëåíî íå òîëüêî èçìåíèâøèìèñÿ óñëîâèÿìè ðåãèñòðàöèè, íî òàêæå ïîÿâëåíèåì è (èëè) èñ÷åçíîâåíèåì íåêîòîðûõ îáúåêòîâ, òî èçìåíåíèÿ, îáóñëîâëåííûå ýòèì ïîñëåäíèì îáñòîÿòåëüñòâîì áóäóò ïðåäñòàâëåíû íà _> >.

3). Çàäà÷è ñîâìåùåíèÿ èçîáðàæåíèé è ïîèñêà ôðàãìåíòà.

Ïóñòü f() - çàäàííîå èçîáðàæåíèå, AX - ïîäìíîæåñòâî ïîëÿ çðåíèÿ, _>A>() - åãî èíäèêàòîð, _>A>()f() -íàçîâåì ôðàãìåíòîì èçîáðàæåíèÿ f() íà ïîäìíîæåñòâå A, ïðåäñòàâëÿþùåì âûäåëåííûé ôðàãìåíò ñöåíû, èçîáðàæåííîé íà f(). Ïóñòü g() - èçîáðàæåíèå òîé æå ñöåíû, ïîëó÷åííîå ïðè äðóãèõ óñëîâèÿõ, â ÷àñòíîñòè, íàïðèìåð, ñäâèíóòîå, ïîâåðíóòîå, ò.å. ãåîìåòðè÷åñêè èñêàæåííîå ïî ñðàâíåíèþ ñ f(). Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óêàçàòü íà g() ôðàãìåíò èçîáðàæåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèé íà f() ôðàãìåíò ñöåíû è ñîâìåñòèòü åãî ñ _>A>()f().

Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà óïîìÿíóòûå ãåîìåòðè÷åñêèå èñêàæåíèÿ ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ãðóïïîé ïðåîáðàçîâàíèé R_>2>->R_>2>, ïðåîáðàçîâàíèå èçîáðàæåíèÿ _> > íàçîâåì ñäâèãîì g() íà h. Çäåñü

Q(h): R_>n>->R_>n>, hH, - ãðóïïà îïåðàòîðîâ. Âåêòîðíûé ñäâèã íà hH äàñò

_> >.

 çàäà÷å âûäåëåíèÿ è ñîâìåùåíèÿ ôðàãìåíòà ðàññìîòðèì ôðàãìåíò ñäâèíóòîãî íà h èçîáðàæåíèÿ g() â “îêíå” A:

_> > (100)

ïðè÷åì, ïîñêîëüêó _> > ãäå _> > òî â (100) _> > - îãðàíè÷åíèå íà ñäâèã “îêíà” À, êîòîðîå äîëæíî îñòàâàòüñÿ â ïðåäåëàõ ïîëÿ çðåíèÿ X.

Åñëè êðîìå öâåòà g() ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò f(), ñêàæåì, ïðîèçâîëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòè ïðè íåèçìåííîì ðàñïðåäåëåíèè öâåòà è _> > - ôîðìà ôðàãìåíòà f(), òî çàäà÷à âûäåëåíèÿ è ñîâìåùåíèÿ ôðàãìåíòà ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé çàäà÷å íà ìèíèìóì

_> >.(101)

Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ôðàãìåíò èçîáðàæåíèÿ g(), ñîîòâåòñòâóþùèé ôðàãìåíòó _>A>()f(), áóäåò ïîìåùåí â “îêíî”.À ïóòåì ñîîòâåòñòâóþùåãî ñäâèãà h=h_>*>, ñîâïàäàåò ñ _>A>()f() _> >ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÿðêîñòè íà íåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

_> >.

ò.å. â (101) ïðè h=h_>*> äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì.

4).  ðÿäå ñëó÷àåâ âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ çàäà÷à àíàëèçà ñïåêòðîçîíàëüíûõ èçîáðàæåíèé: âûäåëèòü îáúåêòû êîòîðûå “âèäíû”, ñêàæåì, â ïåðâîì êàíàëå è “íå âèäíû” â îñòàëüíûõ.

Ðàññìîòðèì äâà èçîáðàæåíèÿ _> > è _> >. Îïðåäåëèì ôîðìó â øèðîêîì ñìûñëå _> > êàê ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé _> >: _> > (A - ëèíåéíûé îïåðàòîð R_>2>->R_>2>, íå çàâèñÿùèé îò xX). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîåêòîðà íà _> > ðàññìîòðèì çàäà÷ó íà ìèíèìóì

_> >. [*]

Ïóñòü _> >, _> >, òîãäà çàäà÷à íà ìèíèìóì [*] ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé: tr A^*AS - 2trAB _>~> _> >. Åå ðåøåíèå _> > (çíàêîì ^- îáîçíà÷åíî ïñåâäîîáðàùåíèå).

_> >=_> >

_> >=_> >

Ðèñ.1.

f_>e> - âåêòîð âûõîäíûõ ñèãíàëîâ äåòåêòîðîâ, îòâå÷àþùèé èçëó÷åíèþ e(), _>e> - åãî öâåò; _>1>,_>2>,_>3>, - âåêòîðû (öâåòà) áàçîâûõ èçëó÷åíèé,  - áåëûé öâåò, êîíåö âåêòîðà  íàõîäèòñÿ íà ïåðåñå÷åíèè áèññåêòðèñ.

Ëèòåðàòóðà.

[1] Ïûòüåâ Þ.Ï. Ìîðôîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ â çàäà÷àõ àíàëèçà èçîáðàæåíèé, - Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1975, ò. 224, ¹6, ññ. 1283-1286.

[2] Ïûòüåâ Þ.Ï. Ìîðôîëîãè÷åñêèé àíàëèç èçîáðàæåíèé, - Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ, 1983, ò. 296, ¹5, ññ. 1061-1064.

[3] Ïûòüåâ Þ.Ï. Çàäà÷è ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà èçîáðàæåíèé, - Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ïðèðîäíûõ ðåñóðñîâ çåìëè èç êîñìîñà, ðåä. Çîëîòóõèí Â.Ã., Íàóêà, Ìîñêâà, 1984, ññ. õõõõ-õõõõõ.

[4] Ïûòüåâ Þ.Ï., ×óëè÷êîâ À.È. ÝÂÌ àíàëèçèðóåò ôîðìó èçîáðàæåíèÿ, - Çíàíèå,ñåð. Ìàòåìàòèêà, Êèáåðíåíòèêà, Ìîñêâà, 1988, 47 ñòð.

[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.

[6] Àíòîíþê Â.À., Ïûòüåâ Þ.Ï. Ñïåöïðîöåññîðû ðåàëüíîãî âðåìåíè äëÿ ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà ðåàëüíûõ ñöåí. Îáðàáîòêà èçîáðàæåíèé è äèñòàíöèîííîå èññëåäîâàíèÿ, -Íîâîñèáèðñê, 1981, ññ. 87-89.

[7] Àíòîíþê Â.À., Ïûòüåâ Þ.Ï., Ðàó Ý.È. Àâòîìàòèçàöèÿ âèçóàëüíîãî êîíòðîëÿ èçäåëèé ìèêðîýëåêòðîíèêè,Ðàäèîòåõíèêà è ýëåêòðîíèêà, 1985, ò. ÕÕÕ,¹12, ññ. 2456-2458.

[8] Åðìîëàåâ À.Ã., Ïûòüåâ Þ.Ï. Àïðèîðíûå îöåíêè ïîëåçíîãî ñèãíàëà äëÿ ìîðôîëîãè÷åñêèõ ðåøàþùèõ àëãëðèòìîâ, - Àâòîìàòèçàöèÿ, 1984, ¹5, ññ. 118-120.

[9] Ïûòüåâ Þ.Ï, Çàäîðîæíûé Ñ.Ñ., Ëóêüÿíîâ À.Å. Îá àâòîìàòèçàöèè ñðàâíèòåëüíîãî ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà ýëåêòðîííîìèêðîñêîïè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, - Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, ñåð. ôèçè÷åñêàÿ, 1977, ò. 41, ¹11, ññ. õõõõ-õõõõ.

[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.

[11] Ïûòüåâ Þ.Ï.. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èíòåðïðåòàöèè ýêñïåðèìåíòà, Âûñøàÿ øêîëà, 351 ñòð., 1989.

[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).

[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

1 Íàïðèìåð, â ñâÿçè ñ èçìåíåíèåì âðåìåíè ñóòîê, ïîãîäû, âðåìåíè ãîäà è ò.ï.

2 Ôðàãìåíò ìîðôîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà öâåòíûõ èçîáðàæåíèé ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòå[3].

3 âåêòîð f_>e> áóäåò èìåòü îòðèöàòåëüíûå êîîðäèíàòû, åñëè îí íå ïðèíàäëåæèò âûïóêëîìó êîíóñó

_> >

4÷åðòà ñèìâîëèçèðóåò çàìûêàíèå, _> > - âûïóêëûé çàìêíóòûé êîíóñ â R_>n>.

5 Если _> > - более детальное изображение , то некоторые A() могут “ращепиться” на несколько подмножеств A(), на каждом из которых цвет _> > постоянный, но различный на разных подмножествах A(). Однако, поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f(), v(f()) не может содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную сцену.

6 Äëÿ ïðîñòîòû ÿðêîñòü èçîáðàæåíèÿ ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé â êàæäîé òî÷êå ïîëÿ çðåíèÿ Õ.

7_> >- êëàññ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé _> > ïðèíàäëåæàùèõ _> >.

8Îäíà è òà æå áóêâà F èñïîëüçîâàíà êàê äëÿ îïåðàòîðà _> >, òàê è äëÿ îïåðàòîðà _> >. Ýòà âîëüíîñòü íå äîëæíà âûçûâàòü íåäîðàçóìåíèÿ è ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ðàáîòå.

9Åñëè (A_>s>)=0, òî â çàäà÷å íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ (18) öâåò è ðàñïðåäåëåíèå ÿðêîñòè íà A_>s> ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîèçâîëüíûìè, ïîñêîëüêó èõ çíà÷åíèÿ íå âëèÿþò íà âåëè÷èíó íåâÿçêè s.

10Âåêòîðû _>1>,..., _>q >âûáèðàþòñÿ, íàïðèìåð, ñîîáðàçíî öâåòàì îáúåêòîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ èíòåðåñ.

1