Метод хорд (работа 1)
Министерство образования и науки РФ
Рязанская Государственная Радиотехническая Академия
Кафедра САПР ВС
Пояснительная записка к курсовой работе
по дисциплине ,,Информатика”
Тема: ,,Метод хорд”
Выполнил:
студент 351 группы
Литвинов Е.П.
Проверил:
Скворцов С.В.
Рязань 2004г.
Контрольный пример к курсовой работе студента 351 группы Литвинова Евгения.
Задание: Разработать программу, которая выполняет уточнение корня нелинейного уравнения отделенного на заданном интервале [a,b], заданным методом.
Решить нелинейное уравнение с использованием разработанной программы и средств системы MathCAD. Сравнить полученные результаты.
Определить
количество необходимых итераций для
следующих значений погрешностей
результата: Eps=
;
;
;
;
.
Используемый метод: метод хорд.
Контрольный
пример:
;
Интервал [a,b]: [0,1].
Вариант: 2.2
Задание принял:
Число выдачи задания:
Число выполнения задания:
Проверил: Скворцов С.В.
Метод хорд.
Пусть
дано уравнение
,
где
- непрерывная функция, имеющая в интервале
(a,b)
производные первого и второго порядков.
Корень считается отделенным и находится
на отрезке [a,b].
Идея
метода хорд состоит в том, что на
достаточно малом промежутке [a,b]
дугу кривой
можно
заменить хордой и в качестве приближенного
значения корня принять точку пересечения
с осью абсцисс. Рассмотрим случай
(рис.1), когда первая и вторая производные
имеют одинаковые знаки, т.е.
.
Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки:
> >
Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:
.
Пусть x>1> - точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то
> >
x>1> может считаться приближенным значением корня.
Аналогично
для хорды, проходящей через точки
и
,
вычисляется следующее приближение
корня:
В общем случае формулу метода хорд имеет вид:
(1)
Если
первая и вторая производные имеют разные
знаки, т.е.
,
то все приближения к корню
выполняются со стороны правой границы
отрезка
(рис.2) и вычисляются по формуле:
(2)
Выбор
формулы в каждом конкретном случае
зависит от вида функции
и осуществляется по правилу: неподвижной
является такая граница отрезка
изоляции корня, для которой знак функции
совпадает со знаком второй производной.
Формула (1) используется в том случае,
когда
.
Если справедливо неравенство
,
то целесообразно применять формулу
(2).
Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением
Если обозначить через m наименьшее значение |f'(x)| на промежутке [a, b], которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:
или > >
где
-
заданная погрешность вычислений.
Список идентификаторов.
a – начало отрезка,
b – конец отрезка,
eps – погрешность вычислений,
x – искомое значение корня,
min – модуль значения производной функции в начале отрезка,
d – модуль значения производной функции в конце отрезка,
x0 – точка, в которой мы ищем производную.
****************************************************************
Program kursovaia;
uses crt;
Var
a,b,eps,x,min: real;
{Вычисление данной функции}
Function fx(x:real): real;
begin
fx:=exp(x)-10*x;
end;
----------------------------------------------------------------
{Функция вычисления производной и определение точности вычислений}
{Для
определения точности вычисления берем
значение 2-й производной в точке x*=
}
Function proizv(x0,eps: real): real;
var
dx,dy,dy2: real;
begin
dx:=1;
Repeat
dx:=dx/2;
dy:=fx(x0+dx/2)-fx(x0-dx/2);
dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4);
dy2:=dy2+fx(5*x0/4-dx);
Until abs(dy2/(2*dx))<eps;
proizv:=dy/dx;
end;
----------------------------------------------------------------
{Уточнение количества знаков после запятой}
Function utoch(eps:real): integer;
var
k: integer;
begin
k:=-1;
Repeat
eps:=eps*10;
k:=k+1;
Until eps>1;
utoch:=k;
end;
----------------------------------------------------------------
{Процедура определения наименьшего значения производной на
заданном промежутке}
Procedure minimum(a,b,eps: real; var min: real);
var
d: real;
begin
a:=a-eps;
b:=b+eps;
Repeat
a:=a+eps;
b:=b-eps;
min:=abs(proizv(a,eps));
d:=abs(proizv(b,eps));
If min>d Then min:=d
Until min <>0
end;
----------------------------------------------------------------
{Процедура уточнения корня методом хорд}
Procedure chord(a,b,eps,min: real; var x:real);
Var
x1: real;
begin
x1:=a;
Repeat
x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1));
x1:=x
Until abs(fx(x))/min<eps
end;
----------------------------------------------------------------
{Основная программа}
Begin
clrscr;
Writeln ('Введите начало отрезка a, конец отрезка b');
Readln (a,b);
Writeln ('Введите погрешность измерений eps');
Readln (eps);
minimum(a,b,eps,min);
chord(a,b,eps,min,x);
Writeln ('Корень уравнения x= ',x:3:utoch(eps));
End.
****************************************************************
После работы программы для различных значений погрешностей, получим результаты корня x :
0,11
0,111
0,1119
0,11183
0,111833
Результат вычислений в программе MathCAD дал следующее значение корня x:
x=0.112
График функции выглядит так:
Поведение функции вблизи точки пересеченья с осью ОХ выглядит так:
Алгоритм.
Пользуясь рекуррентной формулой (2) и формулой для оценки точности вычисления, составим процедуру уточнения корня методом хорд:
Procedure chord(a, b, eps, min : real; var x : real);
Здесь x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1)) – рекуррентная формула,
abs(fx(x))/min < eps – формула для оценки точности вычислений.
При вычислении производной функции
Function proizv(x0, eps : real) : real;
будем иметь в виду, что один из способов найти производную> > - это взять достаточно малые значения справа и слева на равном расстоянии от > > - точке, в которой мы хотим найти производную.
> >
Таким образом, вычисляется производная в середине промежутка.
По значениям f' можно таким же способом найти производную от f', т.е. f''. Можно выразить f'' непосредственно через f(x):
> >
Для производной третьего порядка можно использовать следующую формулу:
>
>
Здесь dx:=1 - первоначальная величина промежутка,
dx:=dx/2 – для уточнений делим промежуток на 2,
dy:=fx(x0+dx/2 -fx(x0-dx/2) – вычисление первой производной в точке x0 ,
dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4)+fx(5*x0/4-dx)
– вычисление второй производной, для
определения точности вычисления,
используется вторая производная в точке
abs(dy2/(2*dx))<eps - формула для оценки погрешности
дифференцирования,
proizv:=dy/dx – значение первой производной.
Для оценки точности вычисления корня необходимо вычислять наименьшее значение производной f'(x) на промежутке [a, b], поэтому надо найти производную в точке x0.
Так как мы вычислили значение производной, то составим процедуру определения модуля ее наименьшего значения на промежутке [a, b]:
Procedure minimum(a,b,eps:real;var min:real);
Для этого достаточно сравнить модуль значения производной на концах промежутка и выбрать среди этих двух значений меньшее. Это можно сделать , так как по условию, функция на промежутке строго монотонна вместе со своими производными первого и второго порядков. Следует брать значение очень близкое к a, но справа от нее, аналогично для точки b - брать близкое значение слева от b, так как если в точке a или b производная будет равна нулю, тогда деление на нуль станет невозможным и в программе будет получена ошибка.
Здесь min:=abs(proizv(a,eps))- модуль значения производной функции в начале отрезка,
d:=abs(proizv(b,eps))- модуль значения производной функции в конце отрезка,
If min>d Then – сравнение значений модуля производной.
Функция для указания точности вычисления:
Function utoch(eps:real):integer;
Применяется в выводе корня x для уточнения его порядка относительно погрешности.
Здесь k:=k+1 – оператор, подсчитывающий степень погрешности и порядка корня x.
Заданную функцию запишем так:
Function fx(x:real):real;
Здесь fx:=exp(x)-10*x – наша заданная функция.
Блок-схема алгоритма.
Список используемой литературы:
1) Математическое обеспечение САПР: Методические указания к практическим занятиям. Рязань, РРТИ, 1990 (№1706).
2) Математическое обеспечение САПР: Методические указания к лабораторным работам. Рязань, РРТИ, 1991 (№1890).
3) Бахвалов Н.С., Шадков И.П., Кобельников Г.М., Численные методы. М.: Наука, 1987.
4) Волков Е.А., Численные методы. М.: Наука, 1988.
5) Элементы вычислительной математики, под ред. С.Б.Норкина. М.: Высшая школа, 1966.