Математическая теория захватывания
Введение и краткое резюме
Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.
Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.
В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр таким образом, чтобы при = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.
Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".
В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.
В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.
§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:
При = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
Рассмотрим случай, когда бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:
Начальные условия выберем так:
F>2> - степенной ряд по >1> >2>, начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):
Сравнивая коэффициенты при > > >1> >2>, получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).
Решая задачи Коши, получим:
Для
того, чтобы (3) представляли периодические
решения необходимо и достаточно, чтобы
Введем
обозначения
;
для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:
Если
в этой системе можно >1>
>2
> представить в виде функции
так, чтобы >1>
>2>,
исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое
решение уравнения (1). Иначе Х- не
периодично. Достаточным условием
существования периодического решения
при малых
служит неравенство 0 Якобиана. 
В
нашем случае:
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.
§ 2 Исследование устойчивости периодического решения
Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени и '.
Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:
Это
линейное дифференциальное уравнение
с периодическими коэффициентами. Его
решение мы будем искать в виде
функции времени
Удовлетворяют тому же уравнению, что и
,
то есть (10). Начальные условия для них
определены следующим образом.
;
аналогичным образом можно показать,
что
(11).
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по .
будем
искать в виде:
(12).
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим:
Начальные условия для А>о> , В>о>, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим
Для В'>о> и В>о> аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:
(14)
Решение (13) можно найти при помощи квадратур:
(15)
Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:
S>1>, S>2> - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). >1>, >2> - характеристические показатели.
Если
все
, т.е. колебания затухают, то в этом
случае выполняется теорема, доказанная
Ляпуновым, относительно того, что
периодическое решение уравнения первого
приближения вполне устойчиво. Согласно
Пуанкаре характеристические показатели
можно определить из следующего уравнения:
=0
(16) Полагаем
;
Тогда определитель будет:
Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком R>e> (), или что все равно . Если < 1 имеет место устойчивость = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. > 1 имеет место неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае -комплексные; 2 =q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.
Случай
второй -
- действительные:
; (21) устойчивость соответствует
p и
q нетрудно получить в
виде рядов по степени
из формул (19) (12).
(22)
Если принять во внимание (15)
(22a)
(23)
Мы видим, что при достаточно малом и n; n Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.
В нашем случае b имеет вид:
(23a)
§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда >о>; 2 = 1+ a>о> , (24) (a>о >, - расстройка , реальный физический резонанс наступает при a>о> 0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :
(25)
При
= 0 периодическое решение будет иметь
вид :
(26)
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:
(27);
Начальные условия возьмем как и раньше:
Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при >1> >2>, и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).
(29)
Запишем условия периодичности для (27):
Делим на :
( 30a )
Необходимым условием существования периодического решения является:
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :
(31)
Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).
D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить >1,> >2>, в виде рядов по степеням . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.
(33)
P,Q-определяются формулами (31) (32).
§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса
Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).
Решение
опять будем искать в виде
.
Однако нет необходимости проделывать
все выкладки заново. Воспользуемся
результатами § 2, приняв:
Из
формул (22)
(34) , тогда
- тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:
(36)
;
Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить в виде функции P, Q и a>о>.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:
; (37)
Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых )
1)
p2 -
q < 0
2)
p2
- q > 0
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0.
Во
втором случае
(*) последнее
может быть выполнено только, если b
< 0, а
>
0. Нетрудно видеть, что необходимым
достаточным условием в обоих случаях
является b < 0,
>
0. (Это можно получить из неравенства
(*) ).
§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Р>о> sin >1> t.
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:
(39)
Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:
(40)
S-крутизна
характеристики, К - напряжение насыщения
.
Далее,
вводя обозначения:
Получим дифференциальное уравнение для х:
(41)
А: (случай далекий от резонанса).
Для
него применяем результаты § 1, полагая
.
Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:
Если > 1, т.е. >о> > >1>, то разность фаз равна 0, если > > < 1, то разность фаз равна . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).
(42).
Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.
В: (область резонанса , § 3, 4).
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.
Или преобразовав их, получим следующее:
Полагая Р = R sin ; Q = R cos . Далее найдем для амплитуды R и фазы для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :
Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, > 0. Считаем b и через формулы (35-37).
(46)
Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления a>о,> соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.
1)
a>0> - является общим корнем уравнений
2)
Сама ширина , отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: = a>о> 2>о> (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:
а) 2>о> << 1; = >о> Р>о>/Vо>g>.
б)
для очень сильных сигналов
( Vо>g
>- амплитуда
сеточного напряжения при отсутствии
внешней силы).
Список литературы
Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.